GEOMETRÍA

FIGURAS GEOMÉTRICAS - CURVAS

hélice, en geometría, es el nombre que recibe toda línea curvacuyas tangentes forman un ángulo constante (α), siguiendo una dirección fija en el espacio.

Animación de una hélice.

Ecuación vectorial[editar]

Si su ecuación vectorial es ${\displaystyle {\bar {R}}={\bar {R}}(s)}$, siendo s el arco, quiere decir que existe un vector unitario ${\displaystyle {\bar {a}}}$ fijo tal que para todo s se verifica ${\displaystyle {\bar {T}}(s)\cdot {\bar {a}}=\cos \alpha }$ (constante).

Teorema de Lancret[editar]

Una caracterización de las hélices viene dada por el siguiente teorema conocido como teorema de Lancret.

Es condición necesaria y suficiente para que una curva sea una hélice el que se verifique ${\displaystyle {\frac {\kappa }{\tau }}=\tan \alpha }$, siendo ${\displaystyle \tan \alpha }$ una constante. Aquí ${\displaystyle \kappa \,}$ es la curvatura y ${\displaystyle \tau \,}$ la torsión.

Hélices singulares[editar]

Las hélices más singulares son: la hélice circular, o hélice cilíndrica, la hélice cónica y la hélice esférica.

Hélice cilíndrica[editar]

Paso dos a derecha.	Paso dos a izquierda.
Paso tres a derecha.	Paso tres a izquierda.
Paso cuatro a derecha.	Paso cuatro a izquierda.
De una entrada a derecha.	De una entrada a izquierda.
De dos entrada a derecha.	De dos entrada a izquierda.
De tres entrada a derecha.	De tres entrada a izquierda.

Una hélice cilíndrica es una curva que corta a las generatrices de un cilindro recto con un ángulo constante. Es decir, que la distancia entre dos puntos de corte consecutivos de la hélice con cualquiera de las mencionadas generatrices (rectas paralelas al eje del cilindro y contenidas en su superficie externa) es una constante de la curva, independiente de la generatriz o los puntos escogidos, llamada "paso de hélice".

Expresión analítica[editar]

Desde un punto de vista analítico, una hélice queda definida por las siguientes expresiones paramétricas:

(1)

${\displaystyle x=r\cos(\omega \,t)\,}$

${\displaystyle y=\epsilon r\sin(\omega \,t)\,}$

${\displaystyle z=k\,t\,}$

Donde r es el radio de giro de la espiral, ${\displaystyle \omega \,}$ es el ángulo girado por unidad de tiempo, t es el tiempo y k es el avance en el sentido z por unidad de tiempo, ${\displaystyle \epsilon =\pm 1}$ según el sentido sea levógiro (+1) o dextrógiro (-1). Si de la tercera ecuación:

Forma de hélice cónica en la naturaleza.

${\displaystyle z=k\,t\,}$

despejamos t:

${\displaystyle t={\frac {z}{k}}\,}$

y lo sustituimos en las dos primeras, tendremos:

(2)

${\displaystyle x=r\cos {\Big (}{\frac {\omega \,z}{k}}{\Big )}\,}$

${\displaystyle y=\epsilon r\sin {\Big (}{\frac {\omega \,z}{k}}{\Big )}\,}$

Como ${\displaystyle \omega \,}$ y ${\displaystyle k\,}$ son valores conocidos y constantes, podemos definir:

${\displaystyle a={\frac {\omega }{k}}\,}$

con lo que tenemos:

(3)

${\displaystyle x=r\cos(a\,z)\,}$

${\displaystyle y=\epsilon r\sin(a\,z)\,}$

Con lo que queda determinadas las coordenadas de la espiral, obteniéndose x e y en función de los parámetros de la espiral y de z.

Propiedades[editar]

• La proyección de la hélice sobre un plano paralelo al eje del cilindro es una curva sinusoidal.
• La geodésica de un cilindro recto de base circular es un arco de hélice (es decir, el camino más corto entre dos puntos situados en la superficie de un cilindro, que no salga de dicha superficie, es un trozo de hélice).
• Para una hélice cilíndrica dada por las ecuaciones (3) y de altura H la longitud de arco viene dada por:

${\displaystyle L_{H}=\int _{0}^{H}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}}}\ dz=\int _{0}^{H}{\sqrt {(R^{2}a^{2}+1)}}\ dz=H{\sqrt {(R^{2}a^{2}+1)}}}$

• La curvatura de la hélice cilíndrica dada por las ecuaciones (3) es constante y viene dada por:

${\displaystyle \chi ={\frac {Ra^{2}}{R^{2}a^{2}+1}}}$

Hélice cónica[editar]

Esta curva está situada sobre un cono.

Expresión analítica[editar]

Una forma paramétrica conveniente para la espiral cónica viene dada por

${\displaystyle x=t\cos t\,}$

${\displaystyle y=\epsilon t\sin t\,}$

${\displaystyle z=t/\tan(\alpha )\,}$

donde ${\displaystyle \alpha }$ es el ángulo de semiobertura del cono sobre el que yace la curva y ${\displaystyle \epsilon =\pm 1}$ controla si la curva es levógira o dextrógira.

Hélice esférica[editar]

Se denomina hélice esférica a la contenida en una superficie esférica. Por ser hélice se verificará ${\displaystyle {\frac {\kappa }{\tau }}=\tan \alpha \,}$(constante), o lo que es lo mismo ${\displaystyle \tau =\kappa \cot \alpha \,}$.

Por ser una curva esférica la esfera osculatriz será constante, siendo la esfera sobre la que está situada la curva. Entonces, el radio de la esfera osculatriz es constante. Por consiguiente ${\displaystyle {\frac {1}{\kappa ^{2}}}+{\frac {\kappa ^{'2}}{\kappa ^{4}\tau ^{2}}}=a^{2}}$ (constante).

La hélice esférica.

Como ${\displaystyle \tau =\kappa \cot \alpha \,}$, será ${\displaystyle {\frac {1}{\kappa ^{2}}}+{\frac {\kappa ^{'2}}{\kappa ^{6}\cot ^{2}\alpha }}=a^{2}}$

Haciendo el cambio ${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{\rho }}}$, se obtiene:

${\displaystyle \rho ^{2}+\rho ^{2}\rho ^{'2}\tan ^{2}\alpha =a^{2}\,}$, o lo que es lo mismo, :${\displaystyle {\frac {\rho d\rho }{\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}}\tan \alpha =ds}$

Integrando la igualdad anterior se obtiene: ${\displaystyle -{\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}\tan \alpha =s+C}$.

Se puede hacer C = 0, tomando como origen de arcos el punto en el que ${\displaystyle \kappa (s)={\frac {1}{a}}}$ y por tanto ${\displaystyle \rho =a\,}$.

Aceptando esta hipótesis y elevando al cuadrado ${\displaystyle -{\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}\tan \alpha =s}$ se obtiene ${\displaystyle a^{2}-\rho ^{2}=s^{2}\cot ^{2}\alpha \,}$.

Como: ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{\kappa }}}$, será: ${\displaystyle a^{2}-{\frac {1}{\kappa ^{2}}}=s^{2}\cot ^{2}\alpha }$

y como ${\displaystyle \kappa =\tau \tan \alpha \,}$, resulta: ${\displaystyle a^{2}-{\frac {\cot ^{2}\alpha }{\tau ^{2}}}=s^{2}\cot ^{2}\alpha }$, y por tanto:

${\displaystyle s^{2}+{\frac {1}{\tau ^{2}}}=a^{2}\tan ^{2}\alpha }$

Las ecuaciones obtenidas anteriormente determinan las ecuaciones intrínsecas de las hélices esféricas. Despejando ${\displaystyle \kappa ^{2}y\tau ^{2}\,}$ se obtiene:

${\displaystyle \kappa ^{2}={\frac {1}{a^{2}-s^{2}\cot ^{2}\alpha }}}$

${\displaystyle \tau ^{2}={\frac {1}{a^{2}\tan ^{2}\alpha -s^{2}}}}$

En el caso general, se obtiene como ecuaciones intrínsecas:

${\displaystyle \kappa ^{2}={\frac {1}{a^{2}-\left(s+C\right)^{2}\cot ^{2}\alpha }}}$

${\displaystyle \tau ^{2}={\frac {1}{a^{2}\tan ^{2}\alpha -\left(s+C\right)^{2}}}}$

La hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del eje elegido, el hiperboloide puede ser de una o dos hojas.

Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la hipérbola de referencia, cuya ecuación es

${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$,

en el sistema de coordenadas ${\displaystyle (O,{\vec {i}},{\vec {j}})}$ (ver el esquema siguiente).

La revolución alrededor del eje de simetría rojo genera un hiperboloide conexo, mientras que la rotación alrededor del eje azul, que atraviesa dos veces la hipérbola, da un hiperboloide de dos hojas.

Ecuaciones del hiperboloide[editar]

Ecuación Cartesiana[editar]

Generación de un hiperboloide.

Superficie matemática del hiperboloide de una hoja

Superficie matemática del hiperboloide de una hoja

Para hallar las ecuaciones de estas superficies, resulta más cómodo trabajar en el sistema de coordenadas ${\displaystyle (O,{\vec {u}},{\vec {v}})}$, cuyos ejes son los de simetría. Sean X e Y las coordenadas en este sistema, entonces tenemos la igualdad:

${\displaystyle X{\vec {u}}+Y{\vec {v}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}}$

es decir

${\displaystyle X({\vec {i}}+{\vec {j}})+Y(-{\vec {i}}+{\vec {j}})=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}}$.

Luego, identificando los coeficientes de sendos vectores:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}X-Y=x\\X+Y=y\end{matrix}}\right.}$

la ecuación inicial se escribe también xy = 1, es decir (X-Y)·(X+Y) = 1, luego: ${\displaystyle \,X^{2}-Y^{2}=1}$

Si se gira alrededor del eje Y, de vector director ${\displaystyle {\vec {v}}}$, entonces se otorga a la tercera coordenada Z el mismo papel que a X, por tanto Z y X aparecen bajo la misma forma en la ecuación, concretamente precedido del signo «+»:

${\displaystyle \,x^{2}+z^{2}-y^{2}=1}$

Del mismo modo, Si se gira alrededor del eje X, de vector director ${\displaystyle {\vec {u}}}$, entonces Z aparece bajo la misma forma que Y en la ecuación, es decir con un signo «-»:

${\displaystyle \,x^{2}-y^{2}-z^{2}=1}$

Reagrupando las coordenadas del mismo signo, cambiando los signos si hay dos negativos, y renombrando las variables para obtener el orden habitual x,y,z, se obtiene una de estas dos ecuaciones:

${\displaystyle \,x^{2}+y^{2}-z^{2}=1}$           ${\displaystyle \,x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1}$
(una hoja)                                  (dos hojas)

Se generalizan estos dos ejemplos así: un hiperboloide es una cuádricacuya ecuación es, en un sistema de coordenadas adecuado, (con el centro situado en el centro de simetría, y cuyos planos son planos de simetría de la superficie), de la forma:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ {\mbox{ (hiperboloide de una hoja) }}\qquad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ {\mbox{ (hiperboloide de dos hojas) }}}$

Estas superficies se obtienen, de las mostradas en el ejemplo, estirando en la dirección de los x por el factor a, multiplicando las distancias en los y por b, y en los z por c. Es decir que, fundamentalmente, tienen la misma forma.

Ecuación paramétrica[editar]

En un espacio euclídeo tridimensional, los puntos de la superficie del hiperboloide pueden ser parametrizados de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\,\cosh(\theta )\cos(\phi )\\y=b\,\cosh(\theta )\sin(\phi )\\z=c\,\sinh(\theta )\\\end{cases}}\qquad {\mbox{con }}\theta \in \mathbb {R} ,\ \ {\mbox{ y }}\ \ 0<\phi \leq 2\pi \,\,{\mbox{(Hiperboloide de una hoja)}}}$

Parametrización sin usar las funciones hiperbólicas:

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\,{\sqrt {1+u^{2}}}\cos(v)\\y=b\,{\sqrt {1+u^{2}}}\sin(v)\\z=c\,u\\\end{cases}}\qquad {\mbox{con }}0$

Área[editar]

La superficie de un hiperboloide de una hoja de altura h, situado entre los planos ${\displaystyle z=h/2\,}$ y ${\displaystyle \,z=-h/2}$ y de sección transversal circular, es decir, ${\displaystyle \,a=b}$. Su ecuación queda de la forma ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$ .

Si ${\displaystyle \,a=c}$

${\displaystyle {\acute {A}}rea(S)=\pi \,a^{2}\left(\,{\sqrt {2}}\,\mathrm {asinh} \left({\frac {{\sqrt {2}}\,h}{2\,}}\right)+{\frac {h\,{\sqrt {2\,{h}^{2}+4\,}}}{2}}\right)}$

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Volumen[editar]

El volumen comprendido por la función del hiperboloide de una hoja ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$ y los planos z=h/2 y z=-h/2 .

${\displaystyle V=\pi abh\left(1+{\frac {h^{2}}{12c^{2}}}\right)}$

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Secciones[editar]

Sección de un hiperboloide de una hoja.

Sección de un hiperboloide de dos hojas.

La sección producida por un plano perpendicular al eje es una elipse.La ecuación de un plano cualquiera ${\displaystyle z=k,\,k\in \mathbb {R} }$ cuya intersección con el hiperboloide nos dará una elipse de ecuación:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1+{\frac {k^{2}}{c^{2}}}={\mbox{ constante}}\,,a,b,c\in \neq 0}$.

El caso particular dónde ${\displaystyle a=b}$ la sección producida por el plano será una circunferencia. La elipse menor de todas las posibles recibe el nombre de elipse de garganta.

La sección producida por un plano paralelo a su eje es una hipérbolade distintas orientaciones. Un plano, por ejemplo, de ecuación ${\displaystyle x=k\,,k\in \mathbb {R} \,}$ corta el hiperboloide según la curva de ecuación

${\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1-{\frac {k^{2}}{a^{2}}}=k'\,{\mbox{ constante}}}$.

Dependiendo del valor de ${\displaystyle k'}$ se obtienen las siguientes curvas:

• Hipérbola con hojas en horizontal: ${\displaystyle \quad {\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=k'\qquad si\,\,k'\in (0,1)}}$

• Hipérbola con hojas en vertical: ${\displaystyle \quad {\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-k'\qquad si\,\,k'\in \mathbb {R} -[0,1]}}$

• Un par de rectas que se cortan : ${\displaystyle \quad {\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0\qquad si\,\,k'=1}}$

La sección producida por un plano inclinado respecto del eje de revolución es una elipse, de ecuación:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=\mathrm {constante} }$

En las figuras se representa la sección de hiperboloides, de una y dos hojas, cortados por un plano paralelo a su eje de revolución, y por otro perpendicular.