GEOMETRÍA

GEOMETRÍA DIFERENCIAL

análisis de formas es la disciplina que se ocupa del procesamiento de las figuras geométricas para posibilitar su caracterización.¹​ Está relacionado con el análisis estadístico de formas, y su propósito es posibilitar la determinación de la coincidencia entre formas y facilitar su reconocimiento. Se aplica exclusivamente a la geometría de un objeto, pero no a su análisis estructural (que trata sobre el comportamiento predecible de sus partes mecánicas).

El análisis de formas permite la clasificación (principalmente automática) de formas geométricas, por ejemplo, usando un ordenador para detectar objetos de forma parecida a partir de una base de datos o partes que encajan entre sí. Para que una máquina analice y procese automáticamente formas geométricas, los objetos deben representarse en forma digital. Más comúnmente, se utilizan representaciones de contorno para describir el objeto por sus límites (generalmente, su envoltura externa, véase también modelado 3D). Sin embargo, otras representaciones basadas en el volumen (por ejemplo, la geometría constructiva de sólidos) o representaciones basadas en puntos (nube de puntos) se pueden usar para representar las formas.

Una vez recibidas las representaciones de los objetos en forma numérica, ya sea mediante modelado (diseño asistido por computadora), escaneado (escáner 3D) o extrayendo la forma de imágenes 2D o 3D, se deben simplificar antes de poder ser comparadas. La representación simplificada a menudo se denomina descriptor de forma (o firma o huella digital). Estas representaciones simplificadas pretenden almacenar la mayor parte de la información relevante, a la vez que son más fáciles de manejar, almacenar y comparar que las propias formas directamente.

Un descriptor de forma completa es una representación que se puede usar para reconstruir totalmente un objeto original (por ejemplo, mediante la transformación a partir de un eje medio).

Campos de aplicación[editar]

El análisis de formas se usa en muchos campos de aplicación:²​

• Arqueología, por ejemplo, para encontrar objetos similares o partes faltantes
• Arquitectura, por ejemplo, para identificar objetos que encajen espacialmente en un espacio específico
• Imagen médica para comprender los cambios de forma en los tejidos relacionados con una enfermedad o como medio auxiliar en cirugía
• Realidad virtual o modelado 3D para identificar objetos con fines comerciales y de derechos de propiedad
• Aplicaciones de seguridad, como el reconocimiento facial
• Industria del entretenimiento (películas, juegos) para construir y procesar modelos geométricos o animaciones
• Diseño asistido por computadora y fabricación asistida por computadora para procesar y comparar diseños de piezas mecánicas u objetos de diseño

Descriptores de forma[editar]

Los descriptores de forma se pueden clasificar por su invarianza con respecto a las transformaciones permitidas en la definición de forma asociada. Muchos descriptores son invariables con respecto a la "congruencia", lo que significa que las formas congruentes (formas que podrían traducirse, rotarse y reflejarse) tendrán el mismo descriptor (por ejemplo, descriptores basados ​​en su momento de giro, armónicos esféricos o análisis de Procrustes que operan en nubes de puntos).

Otra clase de descriptores de formas (llamados descriptores de formas "intrínsecas") es invariante con respecto a la isometría. Estas descripciones no cambian con diferentes incrustaciones isométricas de la forma. Su ventaja es que pueden aplicarse muy bien a objetos deformables (por ejemplo, una persona en diferentes posturas corporales) ya que estas deformaciones no implican mucho estiramiento, pero de hecho son casi isométricas. Dichos descriptores se basan comúnmente en medidas de distancias geodésicas en la superficie de un objeto o en otras características invariantes de isometría, como el espectro del operador de Laplace-Beltrami (véase también análisis espectral de formas).

Hay otros descriptores de formas, como los descriptores basados ​​en gráficos como eje medio o el grafo de Reebque capturan información geométrica y/o topológica y simplifican la representación de formas, pero no se pueden comparar tan fácilmente como los descriptores que representan la forma como un vector numérico.

De esta discusión queda claro, que diferentes descriptores de formas se dirigen a diferentes aspectos de la forma y se pueden usarse para una aplicación específica. Por lo tanto, dependiendo de la aplicación, es necesario analizar con qué eficacia un descriptor captura las características de un objeto que se pretenden procesar.

ángulo tangencial en un punto específico de una curva del plano cartesiano, es el ángulo formado entre la recta tangente a la curva en el punto dado y el eje x.¹​ Debe tenerse en cuenta que algunos autores definen el ángulo como la desviación de la dirección de la curva con respecto a algún punto de partida fijo. Esto es equivalente a la definición dada aquí mediante la adición de una constante al ángulo o a rotar la posición de la curva.

Ecuaciones[editar]

Si (x(t), y(t)) define una curva paramétricamente, el ángulo tangencial φ en t está definido (hasta un múltiplo de 2π) por ³​

${\displaystyle {\frac {{\big (}x'(t),\ y'(t){\big )}}{{\big |}x'(t),\ y'(t){\big |}}}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).}$

Aquí, la prima (') indica la derivada con respecto a t. Si se considera en términos cinemáticos que la ecuación anterior representa el movimiento de una partícula respecto al tiempo, el ángulo tangencial especifica la dirección del vector velocidad (x(t), y(t)), mientras que la magnitud del vector especifica su celeridad. El vector

${\displaystyle {\frac {{\big (}x'(t),\ y'(t){\big )}}{{\big |}x'(t),\ y'(t){\big |}}}}$

se llama vector tangente unitario, por lo que una definición equivalente es que el ángulo tangencial en t es el ángulo φ tal que (cos φ, sin φ) es el vector tangente unitario en t.

Si la curva está parametrizada por la longitud de arco s, entonces |x′(s), y′(s)| = 1, la definición se simplifica a

${\displaystyle {\big (}x'(s),\ y'(s){\big )}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).}$

En este caso, la curvatura κ viene dada por φ′(s), donde se considera que κ es positiva si la curva gira hacia la izquierda y negativo si la curva gira hacia la derecha.¹​

Si la curva está dada por y = f(x), entonces se puede tomar (x, f(x)) como parametrización, y suponer que φ está entre −π2 y π2. Esto produce la expresión explícita

${\displaystyle \varphi =\arctan f'(x).}$

Ángulo tangencial polar⁴​[editar]

En coordenadas polares, el ángulo tangencial polar se define como el ángulo entre la línea tangente a la curva en el punto dado y el radio desde el origen hasta el punto.⁵​ Si ψ indica el ángulo tangencial polar, entonces ψ = φ − θ, φ se ajusta a la definición ya dada y θ es el ángulo polar.

Si la curva se define en coordenadas polares con r = f(θ), entonces se define el ángulo tangencial polar ψ en θ(hasta un múltiplo de 2π) por

${\displaystyle {\frac {{\big (}f'(\theta ),\ f(\theta ){\big )}}{{\big |}f'(\theta ),\ f(\theta ){\big |}}}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )}$.

Si la curva se parametriza por la longitud de arco s como r = r(s), θ = θ(s), entonces |r′(s), rθ′(s)| = 1, y la definición toma la forma

${\displaystyle {\big (}r'(s),\ r\theta '(s){\big )}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )}$.

La espiral logarítmica se puede definir como una curva cuyo ángulo tangencial polar es constante.

base coordenada o base holonómica para una variedad diferenciable${\displaystyle M}$, es un conjunto de bases de campos vectoriales ${\displaystyle \{e_{a}\}}$ definido en cada punto ${\displaystyle P}$ de una región de la variedadcomo

${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha }=\lim _{\delta x^{\alpha }\to 0}{\frac {\delta \mathbf {s} }{\delta x^{\alpha }}},}$

donde ${\displaystyle s}$ es el vector de desplazamiento infinitesimal entre el punto ${\displaystyle P}$ y un punto cercano ${\displaystyle Q}$ cuya separación de coordenadas desde ${\displaystyle P}$ es ${\displaystyle \delta x^{a}}$ a lo largo de la curva de coordenadas ${\displaystyle x^{a}}$ (ej. la curva en la variedad a través de ${\displaystyle P}$para la cual la coordenada ${\displaystyle x^{a}}$ varía pero todas las demás coordenadas son constantes.¹​

Es posible hacer una asociación entre tal base y operadores derivados direccionales. Dada una curva parametrizada ${\displaystyle C}$ en la variedad definida por ${\displaystyle x^{a}(\lambda )}$ con el vector tangente ${\displaystyle u=u^{a}e_{a}}$, donde ${\displaystyle u^{a}={\tfrac {dx^{a}}{d\lambda }}}$, y una función ${\displaystyle f(x^{a})}$ definida en un entorno de ${\displaystyle C}$, la variación de ${\displaystyle f}$ a lo largo de ${\displaystyle C}$ puede ser escrita como

${\displaystyle {\frac {df}{d\lambda }}={\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}=u^{\alpha }{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}.}$

Ya que tenemos que ${\displaystyle u=u^{a}e_{a}}$, la identificación es comúnmente hecha entre un vector de base de coordenadas ${\displaystyle e_{a}}$ y el operador diferencial parcial ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x^{a}}}}$, bajo la interpretación de las relaciones de todos los vectores como iguales entre operadores actuando en cantidades escalares.²​

Una condición local para que una base ${\displaystyle \{e_{k}\}}$ sea holonómica es que (con esta interpretación) todas las derivadas de Lie mutuas, desaparezcan:³​

${\displaystyle \left[\mathbf {e} _{\alpha },\mathbf {e} _{\beta }\right]=0.}$

Una base que no es holonómica, se le llama base no holonómica o base no coordenada.

Es generalmente imposible encontrar una base holonómica que también sea ortogonal en cada región abierta ${\displaystyle U}$de una variedad ${\displaystyle M}$, con una obvia excepción del espacio coordenado real ${\displaystyle R^{n}}$, considerado como una variedad con la métrica euclidiana ${\displaystyle {\delta }_{ij}}$ en cada punto.

En geometría diferencial, una base natural es un tipo base vectorial del espacio tangente a una variedad diferenciable que puede ser asociada naturalmente a un sistema de coordenadas curvilíneo.

Definición de base natural[editar]

Dada una variedad diferenciable ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ de dimensión n y un conjunto de n campos vectoriales ${\displaystyle V_{1},...,V_{n}\;\in T{\mathcal {M}}}$definidos sobre un conjunto abierto A esa variedad tales que en cada punto forman una base vectorial del espacio tangente a la variedad, es una base natural si y sólo si existe una carta local o sistema de coordenadas local ${\displaystyle \varphi :A\subset {\mathcal {M}}\to \mathbb {R} ^{n}\land \varphi (P)\mapsto (x_{1}(P),...,x_{n}(P))}$ que cumpla alguna de las siguientes condiciones:

1. Los campos vectoriales coinciden con las derivadas a lo largo de las curvas coordenadas asociadas a las coordenadas locales: ${\displaystyle {V_{i}|}_{P}=\left(\partial _{x_{i}}\right)_{P}}$.
2. La base dual asociada a los n campos vectoriales en cada punto, está formada por 1-formas exactas, es decir, existen ${\displaystyle \theta ^{1},...,\theta ^{n}\ \in T^{*}{\mathcal {M}}}$ y una carta local, como la descrita anteriormente, tal que ${\displaystyle \theta ^{i}(V_{j})=\delta _{j}^{i}}$y ${\displaystyle \theta ^{i}=dx^{i}\;}$.