GEOMETRÍA

FIGURAS GEOMÉTRICAS - CURVAS

La curva de Hjulström

La curva de Hjulström, llamada así por Filip Hjulström(1902-1982), es un gráfico utilizado por los hidrólogos para determinar si un río erosiona, transporta o depositasedimentos. El gráfico tiene el tamaño de los sedimentos y la velocidad del canal en cuenta.

El eje X muestra el tamaño de las partículas en mm (milímetros). El eje Y muestra la velocidad del río en cm/s (centímetros por segundo). Las tres líneas en el programa de diagrama muestran diferentes tamaños de las partículas que se depositarán, transportarán o erosionarán.

La curva utiliza una escala logarítmica doble. Muestra varias ideas clave sobre las relaciones entre la erosión, el transporte y la deposición. La curva de Hjulström muestra que las partículas de un tamaño alrededor de 1 mm requieren menos energía para erosionar, ya que son las arenas que no presentan fuerzas de cohesión. Las partículas más pequeñas que estas arenas finas son a menudo las arcillas que requieren una mayor velocidad para producir la energía necesaria para separar las partículas de arcilla que se han cohesionado. Partículas más grandes tales como piedras se erosionan a velocidades más altas y los objetos de gran tamaño, como piedras requieren la más alta velocidad para erosionarse. Cuando la velocidad cae por debajo de esta velocidad llamada línea de la velocidad crítica, las partículas se depositarán o se transportarán, en lugar de ser erosionadas, dependiendo de la energía del río.

La curva roja es una deltoide.

Un segmento de recta desliza con cada extremo sobre la deltoide y permanece tangente a ella. El punto de tangencia se desplaza alrededor de la deltoide dos veces, mientras que cada extremo se desplaza a su alrededor solo una vez.

En geometría, una deltoide, también conocida como tricuspídea o curva de Steiner, es una hipocicloide de tres cúspides. En otras palabras, es la ruleta creada por un punto del contorno de una circunferencia mientras rueda sin deslizar en el interior de un círculo con tres veces o una vez y media su radio. Su nombre se debe a su parecido con la letra griega delta.

De manera más general, una deltoide puede referirse a cualquier figura cerrada con tres vértices conectados por curvas que son cóncavas con respecto al exterior, lo que hace que los puntos interiores sean un conjunto no convexo.

Una deltoide puede representarse (generalizable por rotación y traslación) mediante las siguientes ecuaciones paramétricas

${\displaystyle x=(b-a)\cos(t)+a\cos \left({\frac {b-a}{a}}t\right)\,}$

${\displaystyle y=(b-a)\sin(t)-a\sin \left({\frac {b-a}{a}}t\right)\,,}$

donde a es el radio del círculo que rueda, y b es el radio del círculo dentro del que gira el círculo anterior. (En la ilustración de arriba b = 3a).

En coordenadas complejas, esto se convierte en

${\displaystyle z=2ae^{it}+ae^{-2it}}$.

La variable t se puede eliminar de estas ecuaciones para dar la ecuación cartesiana

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}+18a^{2}(x^{2}+y^{2})-27a^{4}=8a(x^{3}-3xy^{2}),\,}$

entonces la deltoide es una curva algebraica plana de grado cuatro. En coordenadas polares esto se convierte en

${\displaystyle r^{4}+18a^{2}r^{2}-27a^{4}=8ar^{3}\cos 3\theta \,.}$

La curva tiene tres singularidades, cúspides correspondientes a ${\displaystyle t=0,\,\pm {\tfrac {2\pi }{3}}}$. La parametrización anterior implica que la curva es racional, lo que implica que tiene género cero.

Un segmento de línea puede deslizarse con sus dos extremos sobre una deltoide y permanecer tangente a ella. El punto de tangencia recorre la curva dos veces, mientras que cada extremo del segmento pasa sobre la deltoide una sola vez.

La curva dual de la deltoide es

${\displaystyle x^{3}-x^{2}-(3x+1)y^{2}=0,\,}$

que tiene un punto doble en el origen que puede representarse mediante una rotación imaginaria y ↦ iy, dando la curva

${\displaystyle x^{3}-x^{2}+(3x+1)y^{2}=0\,}$

con un punto doble en el origen del plano real.

Área y perímetro[editar]

El área de la deltoide es ${\displaystyle 2\pi a^{2}}$ donde nuevamente a es el radio del círculo rodante; por lo tanto, el área de la deltoide duplica a la del círculo rodante.²​

El perímetro (longitud total del arco) de la deltoide²​ es 16 a.

Historia[editar]

Las cicloides ordinarias fueron estudiadas por Galileo Galilei y Marin Mersenne ya en 1599, pero las curvas cicloidales fueron concebidas por primera vez por Ole Rømer en 1674, mientras estudiaba la mejor forma para los dientes de los engranajes. Leonhard Euler efectuó en 1745 la primera consideración sobre la deltoide tal como hoy se conoce en relación con un problema óptico.

Aplicaciones[editar]

La deltoide aparece en varios campos de las matemáticas. Por ejemplo:

• El conjunto de autovalores complejos de matrices uniestocásticas de orden tres forma una deltoide.
• Una sección transversal del conjunto de matrices uniestocásticas de orden tres forma una deltoide.
• El conjunto de posibles trazas de matrices unitarias pertenecientes al grupo SU (3) forma una deltoide.
• La intersección de dos deltoides parametriza una familia de matrices complejas de Hadamard de orden seis.
• El conjunto de todas las rectas de Simson de un triángulo dado, forman una envolvente en forma de deltoide. Esto se conoce como el deltoide de Steiner o la hipocicloide de Steiner en referencia a Jakob Steiner, que describió la forma y la simetría de la curva en 1856.³​
• La envolvente de los bisectores de un triángulo es una deltoide (en el sentido más amplio definido anteriormente) con vértices en los puntos medios de las medianas. Los lados de la deltoide son arcos de hipérbola que son asintóticas a los lados del triángulo.⁴​ [1]
• Se propuso una deltoide como solución al problema de la aguja de Kakeya.

Curva estudiada por Euler en 1745 y Steiner en 1856.

La curva asemeja la letra griega delta, de ahí el nombre. También se llama hipocicloide de Steiner o tricúspide.

Su ecuación cartesiana es:

(x²+y²)²+8ax(x²-3y²)+18a²(x²+y²)-27a⁴=0

Sus ecuaciones paramétricas son:

  x = a.(2cos t+cos2t)

y = a.(2sen t-sen2t)

${\displaystyle x^{6}+y^{6}=x^{2}}$

Singularidad del enlace de la curva mariposa

En matemática, la curva mariposa algebraica es una curva algebraica plana de grado seis, dada por la ecuación

${\displaystyle x^{6}+y^{6}=x^{2}.\,\!}$

La curva mariposa tiene una singularidad simple con invarianza delta tres, lo que significa que es una curva de género siete. Las únicas curvas planas de género siete son singulares, puesto que siete no es un número triangular, y el mínimo grado para tal curva es seis, así que la curva mariposa aparte de su aspecto es posiblemente interesante como ejemplo.

La curva mariposa tiene número de rama y multiplicidad dos, y por lo tanto la singularidad del enlace tiene dos componentes, en la foto a la derecha.

El área de la curva mariposa algebraica es dada por (con la función gamma ${\displaystyle \Gamma }$)

${\displaystyle 4\cdot \int _{0}^{1}(x^{2}-x^{6})^{\frac {1}{6}}dx={\frac {\Gamma ({\frac {1}{6}})\cdot \Gamma ({\frac {1}{3}})}{3{\sqrt {\pi }}}}\approx 2.804,}$

y su longitud de arco s por

${\displaystyle s\approx 9.017}$

La línea azul es una hélice, y la roja es otra, formando juntas una doble hélice.

Imagen de una cadena de ADN mostrando la doble hélice replicándose.

En geometría una doble héliceconsiste típicamente en dos hélicescongruentes con un mismo eje, difiriendo por una traslación a lo largo del eje.

En la cultura popular moderna, la forma de la doble hélice está fuertemente asociada con el ADN. El ADN toma esta forma de manera natural por dos razones: puede ser doble para así poder replicarse por sí misma, y la hélice es más fuerte que dos cadenas paralelas, ya que al empujarse en cualquier dirección no se rompen.