PROBLEMAS MATEMÁTICOS

problemas de Riemann–Hilbert, nombrado en honor a Bernhard Riemann y David Hilbert, son una clase de problemas que se plantean, entre otras cosas, durante el estudio de ecuaciones diferencialesen el plano complejo. Se han producido varios teorema de existencia para los problemas de Riemann–Hilbert por Krein, Gohberg y otros (ver el libro de Clancey y Gohberg (1981)).

Supongamos que Σ es un contorno cerrado simple en el plano complejo dividiendo el plano en dos partes por Σ₊(interior) y Σ₋ (el exterior), determinado por el índice del contorno respecto a un punto. El problema clásico, considerado en la tesis de Riemann (ver Pandey (1996)), fue el de encontrar una función

${\displaystyle M_{+}(z)=u(z)+iv(z)\!}$

analítica dentro de Σ₊ tal que los valores límite de M₊ a lo largo de Σ satisfaciese la ecuación

${\displaystyle a(z)u(z)-b(z)v(z)=c(z)\!}$

para todos los z  ∈   Σ, donde a, b y c son funciones reales (Bitsadze, 2001).

Por el teorema de la función de Riemann, es suficiente considerar el caso cuando Σ es el círculo unidad (Pandey, 1996, §2.2). En este caso, uno puede buscar M₊(z) junto con su reflexión Schwarz:

${\displaystyle M_{-}(z)={\overline {M_{+}\left({\bar {z}}^{-1}\right)}}.}$

En la Σ del círculo de unidad, se tiene ${\displaystyle z=1/{\bar {z}}}$ y así

${\displaystyle M_{-}(z)={\overline {M_{+}(z)}},\quad z\in \Sigma .}$

Por lo tanto, el problema se reduce a encontrar un par de funciones M₊(z) y M₋ (z) analítica, respectivamente, en el interior y el exterior del disco de la unidad, para que en el círculo unitario

${\displaystyle {\frac {a(z)+ib(z)}{2}}M_{+}(z)+{\frac {a(z)-ib(z)}{2}}M_{-}(z)=c(z),}$

y, además, por lo que sostiene la condición en el infinito:

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }M_{-}(z)={\bar {M}}_{+}(0).}$

El problema de Hilbert[editar]

La generalización de Hilbert fue considerar el problema de intentar encontrar M₊ y M_- analítica, respectivamente, en el interior y fuera de la curva Σ, tal que en Σ se tenga

${\displaystyle \alpha (z)M_{+}(z)+\beta (z)M_{-}(z)=c(z)\,}$

donde α, β y c son funciones complejas arbitrarias dadas (ya no sólo complejo conjugadas).

Problemas de Riemann–Hilbert[editar]

En el problema de Riemann, así como en la generalización de Hilbert, el contorno Σ fue simple. Un problema de Riemann–Hilbert completo permite que el contorno puede estar compuesto de alguna unión de varias curvas suaves orientadas, sin intersecciones. Los lados + y − del "contorno", podrán determinarse según el índice de un punto con respecto a Σ. El problema de Riemann–Hilbert es encontrar un par de funciones analíticas M₊ y M_-, en los lados + y − de Σ, respectivamente, sujetas a la ecuación

${\displaystyle \alpha (z)M_{+}(z)+\beta (z)M_{-}(z)=c(z)\,}$

para todos los z ∈Σ.

Generalización: problemas de factorización[editar]

Dado un "contorno" orientado Σ (ahora significa alguna unión orientada de curvas suaves sin auto-intersecciones en el plano complejo). Un problema de factorización de Birkhoff es el siguiente.

Dada una función de matriz V definida en el contorno Σ, encontrar una función holomorfa de matriz M definido en el complemento de la Σ, que cumple dos condiciones:

1. Si M₊ y M₋ denotan los límites no tangenciales de M según nos acerquemos a Σ y, a continuación, M₊  =  M ₋ V, en todos los puntos de no intersección en Σ.
2. Z tiende a infinito a lo largo de cualquier dirección, M tiende a la matriz identidad.

En el caso más simple V es lisa e integrable. En casos más complicados podría tener singularidades. Los límites M₊ y M₋ podrían ser clásicos y continuos o podrían ser adoptados en el sentido L ₂.

Aplicaciones[editar]

Los problemas de Riemann–Hilbert tienen aplicaciones para varias clases relacionadas de problemas.

A. Modelos integrables. El problema de dispersión espectral inversa o problemas inversos asociados al problema de Cauchy para ecuaciones en derivadas parciales de dimensión 1+1 en la línea, problemas periódicos o incluso problemas de frontera inicial, pueden indicarse como problemas de Riemann–Hilbert.

B. Polinomios ortogonales, Matrices aleatorias. Dado un peso en algún contorno, los polinomios ortogonales correspondientes pueden calcularse a través de la solución de un problema de factorización de Riemann–Hilbert. Además, se reduce la distribución de los valores propios de matrices aleatorias en varios conjuntos para cálculos de polinomios ortogonales (véase por ejemplo Deift (1999)).

C. Probabilidad combinatoria. El ejemplo más célebre es el teorema de Baik, Deift y Johansson (1999) en la distribución de la longitud de la subsecuencia creciente más larga de una permutación aleatoria.

En particular, los problemas de factorización de Riemann–Hilbert, se utilizan para extraer asíntotas para los tres problemas líneas arriba (digamos, como el tiempo tiende a infinito, como la dispersión coeficiente va a cero, o como el grado del polinomio vaya al infinito, o según el tamaño de la permutación vaya al infinito). Existe un método para extraer el comportamiento asintótico de las soluciones de problemas de Riemann–Hilbert, análogos al método de la fase estacionaria y el método de descenso escalonado aplicable a integrales exponenciales.

Por analogía con los métodos clásicos de asintóticas, problemas de "1-deformaciones" de Riemann–Hilbert que no son explícitamente solubles a problemas que sí lo son. El método denominado "no lineal" de fase estacionaria es debido a Deift y Zhou (1993), expansión de una idea anterior de Its (1982) y Manakov (1979).

Una extensión esencial del método no lineal de la fase estacionaria, ha sido la introducción de la tan llamada transformación g-función por Deift, Venakides y Zhou (1997), que ha sido crucial en la mayoría de las aplicaciones. Esto fue inspirado por el trabajo de Lax, Levermore y Venakides, que reduce el análisis de los límites de la pequeña dispersión de la ecuación KdV para el análisis de un problema de maximización para un potencial logarítmico en algún campo externo: un problema variacional de tipo "electrostática". La función g es la transformación logarítmica de la medida de "equilibrio" al máximo.

Tal vez, la extensión más sofisticada hasta ahora de la teoría , es la aplicada al caso "no autoadjunto", es decir, cuando el operador Lax subyacente (el primer componente de la pareja Lax) no es autoadjunto, por Kamvissis, McLaughlin y Miller (2003). En ese caso, "contornos escalonados al descenso" son definidos y calculados. El problema variacional correspondiente es un problema de max-min: uno busca un contorno que minimiza la medida de "equilibrio". El estudio del problema variacional y la prueba de una solución regular, bajo ciertas condiciones en el campo externo, se hicieron en Kamvissis y Rakhmanov (2005).

Otra extensión de la teoría aparece en Kamvissis y Teschl (2012) donde el espacio subyacente del problema Riemann–Hilbert es una superficie de Riemann compacta hiper-elíptica. La teoría de deformación del problema de Riemann–Hilbert, se aplica al problema de estabilidad de la red infinita periódica Toda bajo una perturbación de "corto alcance" (por ejemplo, una perturbación de un número finito de partículas).

Demostración gráfica de que 1 = 1/2 + 1/3 + 1/11 + 1/23 + 1/31 + 1/(2×3×11×23×31). Cada fila de k cuadrados de lado 1/k tiene un área total de 1/k, y todos los cuadrados juntos cubren exactamente un cuadrado de área 1. La fila inferior, con 47058 cuadrados de lado 1/47058 es demasiado pequeño para apreciarse en la figura, por lo que no se muestra.

En teoría de números, el problema de Znám pregunta que conjuntos de k enteros tienen la propiedad de que cada entero en el conjunto es un divisor propio del producto de los demás enteros del conjunto más 1. El problema de Znám toma su nombre del matemático eslovaco Štefan Znám, quien lo sugirió en 1972, aunque otros matemáticos ya estaban trabajando con problemas similares en esa misma época. Un problema directamente relacionado ignora la suposición de que el divisor sea propio; recibe por lo tanto el nombre de problema de Znám impropio.

Se puede dar fácilmente una solución para el problema de Znám impropio, dado cualquier k: los primeros k términos de la sucesión de Sylvester cumplen la propiedad pedida. Sun (1983) demostró que hay al menos una solución para el problema de Znám (propio) para cualquier k ≥ 5. La solución de Sun está basada en una recurrencia similar a la de la sucesión de Sylvester, pero con un conjunto distinto de valores iniciales.

El problema de Znám está íntimamente relacionado con las fracciones egipcias. Se sabe que hay solo un número finito de soluciones posibles para cada k. Entre las varias preguntas abiertas en torno al problema, se desconoce si hay alguna solución para el problema usando solo números impares.

El problema[editar]

El problema de Znám pregunta que conjuntos de k enteros tienen la propiedad de que cada entero en el conjunto es un divisor propio del producto de los demás enteros del conjunto más 1. Esto es, dado k, que conjuntos de enteros

${\displaystyle \{n_{1},\ldots ,n_{k}\}}$

existen, tales que, para cada i, n_i divide, sin ser igual, a

${\displaystyle {\Bigl (}\prod _{j\neq i}^{n}n_{j}{\Bigr )}+1\quad }$

Un problema directamente relacionado trata sobre conjuntos de enteros en los que cada entero en el conjunto es un divisor, no necesariamente propio, de uno más el producto de los demás enteros en el conjunto. Este problema no parece haber recibido ningún nombre en la literatura matemática, por lo que será referido como problema de Znám impropio. Toda solución al problema de Znám es también una solución al problema de Znám impropio, pero el inverso no es necesariamente cierto.

Historia[editar]

El problema de Znám recibe su nombre del matemático eslovaco Štefan Znám, que lo enunció en 1972. Barbeau (1971) había planteado su versión impropia para k = 3, y Mordell (1973), con independencia de Znám, encontró todas las soluciones del problema impropio para k ≤ 5. Skula (1975) demostró que el problema es irresoluble para k < 5, y reconoció el mérito de J. Janák por encontrar la solución {2, 3, 11, 23, 31} para k = 5.

Ejemplos[editar]

Una solución para k = 5 es {2, 3, 7, 47, 395}. Unos pocos cálculos demuestran que

3 × 7 × 47 × 395	+ 1 =	389866,		que es divisible por 2, pero diferente,
2 × 7 × 47 × 395	+ 1 =	259911,		que es divisible por 3, pero diferente,
2 × 3 × 47 × 395	+ 1 =	111391,		que es divisible por 7, pero diferente,
2 × 3 × 7 × 395	+ 1 =	16591,		que es divisible por 47, pero diferente,
2 × 3 × 7 × 47	+ 1 =	1975,		que es divisible por 395, pero diferente,

Un caso interesante de solución que "casi funciona" para k = 4 es el conjunto {2, 3, 7, 43}, formado por los primeros cuatro términos de los secuencia de Sylvester. Tiene la propiedad de que cada entero del conjunto divide el producto de los demás más uno, pero el último elemento del conjunto es igual al producto de los tres primeros más uno, por lo que no es un divisor propio. Es, por lo tanto, solución al problema impropio de Znám, pero no al propio.

Conexión con las fracciones egipcias[editar]

Toda solución del problema de Znám impropio es equivalente (dividiendo por el producto de las x_i) a la solución de la ecuación

${\displaystyle \sum {\frac {1}{x_{i}}}+\prod {\frac {1}{x_{i}}}=y,}$

donde tanto y como cada x_i tienen que ser enteros. A la inversa, toda solución a la ecuación corresponde a una solución del problema de Znám impropio. Sin emabrgo, todas las soluciones conocidas tienen y = 1, por lo que satisfacen la ecuación

${\displaystyle \sum {\frac {1}{x_{i}}}+\prod {\frac {1}{x_{i}}}=1.}$

Es decir, llevan a una representación en forma de fracción egipcia del número uno como suma de fracciones unitarias. Varios de los artículos citados en referencia al problema de Znám estudian también las soluciones a dicha ecuación. Brenton y Hill (1988) describe una aplicación de la ecuación en topología, a la clasificación de singularidades en superficies, y Domaratzki et al. (2005) describe una aplicación a la teoría de autómatas finitos no deterministas.

Número de soluciones[editar]

Como Janák y Skula (1978) demostró, el número de soluciones para cualquier k es finito, por lo que tiene sentido contar el número total de soluciones para cada k.

Brenton y Vasiliu calcularon que el número de soluciones para valores pequeños de k, empezando con k = 5, forma la secuencia

2, 5, 18, 96 (sucesión A075441 en OEIS).

Actualmente se conocen unas pocas soluciones para k = 9 y k = 10, pero no se sabe cuantas soluciones faltan por descubrir para esos valores de k. Sin embargo, hay infinitas soluciones si no se fija k: Cao y Jing (1998)demostró que hay al menos 39 soluciones para cada k ≥ 12, mejorando los resultados anterior sobre existencia de soluciones hechos por (Cao, Liu y Zhang, 1987 y Sun y Cao, 1988). Sun y Cao (1988) conjeturó que el número de soluciones para cada valor de k crece monótonamente con k.

Se desconoce si existen soluciones al problema de Znám usando solo números impares. Con una excepción, todas las soluciones conocidas empiezan por 2. Si todos los números en una solución a cualquiera de las dos versiones del problema son primos, su producto es un número pseudoperfecto primario (Butske, Jaje y Mayernik, 2000); también se ignora si existen infinitas soluciones de este tipo.