PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Movimiento caótico de tres cuerpos en un campo de fuerzas aislado.

El problema de los tres cuerpos consiste en determinar, en cualquier instante, las posiciones y velocidades de tres cuerpos, de cualquier masa, sometidos a atracción gravitacional mutua y partiendo de unas posiciones y velocidades dadas (sus condiciones iniciales son 18 valores, consistentes para cada uno de los cuerpos en: sus 3 coordenadas de posición y las tres componentes de su velocidad).

Introducción[editar]

Mientras que el problema de los dos cuerpos tiene solución mediante el método de las cuadraturas integrales, el problema de tres cuerpos no tiene solución general por dicho método y en algunos casos su solución puede ser caótica en el sentido físico del término, lo que significa que pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden llevar a destinos totalmente diferentes.

En general, el problema de los tres cuerpos (y el problema de los n-cuerpos, para n > 3) no puede resolverse por el método de las cuadraturas o integrales de movimiento (o integrales primeras). Como demostró el matemático francés Henri Poincaré, no existe una fórmula que lo rija. Esto es, de las 18 integrales de movimiento solo 10 pueden ser resueltas por las leyes de conservación. Además de estas 10 integrales, no existe ninguna otra integral que sea algebraicamente independiente. Esto no implica, sin embargo, que no exista una solución general del problema de los tres cuerpos, pues se puede desarrollar una solución como una serie. De hecho Sundman proporcionó en 1909 una solución pero por medio de una serie convergente.

Este problema no surge como un problema meramente hipotético, pues el sistema Tierra-Luna-Sol es un caso muy próximo del problema. Charles-Eugène Delaunay estudió entre 1860 y 1867 dicho sistema y publicó dos volúmenes sobre el tema, cada uno de 900 páginas. Entre muchos otros logros, en su trabajo aparece ya el caos, y aplica la teoría de la perturbación, que consiste en resolverlo como un problema de dos cuerpos y considerar que el tercero perturba la posición de los otros dos.

Se trata de un caso de inestabilidad, denominado el «problema teórico fundamental de la estabilidad del equilibrio», un fenómeno que en términos actuales puede denominarse movimiento caótico y que no pudo ser abordado hasta 1949 cuando el matemático uruguayo José Luis Massera lo caracterizó en términos de las funciones de Lyapunov.

En 1776 el matemático francés Pierre Simon Laplace comenzó a publicar 5 volúmenes de Traité du Mécanique Céleste, en el que afirmaba categórico que, si se conociera la velocidad y la posición de todas las partículas del Universo en un instante, se podrían predecir su pasado y futuro. Durante más de 100 años su afirmación pareció correcta y, por ello, se llegó a la conclusión de que el libre albedrío no existía, ya que todo estaba determinado.

El determinismo laplaciano consistía en afirmar que, si se conocen las leyes que gobiernan los fenómenos estudiados y se conocen las condiciones iniciales y se es capaz de calcular la solución, entonces se puede predecir con total certeza el futuro del sistema estudiado.

A finales del siglo XIX Henri Poincaré (1854-1912), matemático francés, introdujo un nuevo punto de vista al preguntar si el sistema solar sería estable para siempre. Poincaré fue el primero en pensar en la posibilidad del caos, en el sentido de un comportamiento que dependiera sensiblemente de las condiciones iniciales. En 1903 Poincaré postulaba acerca de lo aleatorio y del azar en los siguientes términos:

El azar no es más que la medida de la ignorancia del hombre, reconociendo, a la vez, la existencia de innumerables fenómenos que no eran completamente aleatorios, que simplemente no respondían a una dinámica lineal, aquellos a los que pequeños cambios en las condiciones iniciales conducían a enormes cambios en el resultado. Esta afirmación, además, está directamente relacionada con la teoría de variables ocultas. De este modo se comenzó la búsqueda de las leyes que gobiernan los sistemas desconocidos, tales como el clima, la sangre cuando fluye a través del corazón, las turbulencias, las formaciones geológicas, los atascos de vehículos, las epidemias, la bolsa o la forma en que las flores florecen en un prado.

El problema de los tres cuerpos restringido o de Euler[editar]

El «problema de los tres cuerpos restringido» asume que la masa de uno de los cuerpos es despreciable; el problema de los tres cuerpos restringido circular es un caso especial en que se asume que dos de los cuerpos están en órbitas circulares (lo cual es aproximadamente cierto para el sistema Sol-Tierra-Luna). (Para una discusión del caso dónde el cuerpo despreciable es un satélite del cuerpo de masa menor, véase el artículo sobre la esfera de Hill; para los sistemas binarios, véase el lóbulo de Roche; para soluciones estables del sistema, véase puntos de Lagrange).

El problema restringido (circular y elíptico) fue estudiado extensamente por muchos matemáticos y físicos famosos, como Lagrange en el siglo XVIII y Henri Poincaré al final del siglo XIX. En el problema circular, existen cinco puntos de equilibrio llamados puntos de Lagrange. Tres de estos puntos son colineales con las masas principales y son inestables. Los otros dos se localizan en el tercer vértice formando con las dos masas principales triángulos equiláteros. Estos puntos son estables. En el sistema Sol-Júpiter los puntos lagrangianos están en la misma órbita de Júpiter pero 60º por delante o por detrás y forman con el Sol y Júpiter dos triángulos equiláteros. El que estos puntos estén ocupados por los asteroides troyanos constituye una bella confirmación.

Es un problema matemático clásico, conocido como el problema de los tres servicios.

Problema de los tres servicios.

Tenemos que darle tres servicios, agua, electricidad y gas a tres casas. La forma de hacerlo es conectando cada uno de los servicios a cada casa con una línea que representa la cañería o los cables. Debemos darle todos los servicios a todas las casa sin que las líneas de conexión se crucen.

Historia[editar]

En un análisis sobre la historia del problema, realizado por Kullman, declara que la mayoría de las referencias al problema lo caracterizan de "muy antiguo".¹​ La publicación más temprana encontrada por Kullman es de Dudeney, y el problema es denominado "agua, gas, y electricidad". Aun así, Dudeney declara que el problema es "tan viejo como las montañas ... mucho más viejo que la luz eléctrica o incluso el servicio de gas".²​ Dudeney También publicó el mismo rompecabezas anteriormente, en "The Strand Magazine" en 1913.³​

Solución[editar]

Solución al problema de los tres servicios, utilizando la superficie de un toroide.

El problema es imposible de resolver cuando es presentado en un plano, es decir, no hay ninguna manera de hacer las nueve conexiones sin que alguna de las líneas crucen otra.

Existen soluciones alternativas, realizadas en la superficie de un toroide (ver figura).

El problema puede ser formalizado matemáticamente analizando si el grafo bipartito completo K3,3 es un grafo plano. Kazimierz Kuratowskideclaró en 1930 que K3,3 es no planar, por lo que se sigue que el problema no tiene solución.⁴​

Se puede probar la imposibilidad de encontrar una solución plana de K3,3 es con el Teorema de la curva de Jordan. Este problema también puede demostrarse como imposible de resolver utilizando la Característica de Euler.

Alternativas del juego con solución[editar]

Solución al problema de los tres servicios, si se permite usar el reverso de una hoja perforada.

Se puede plantear el mismo problema con algunas variantes para que tenga solución:

• Permitiendo un único cruce de líneas.
• Permitiendo pasar un servicio por dentro de una casa.
• Permitiendo usar el reverso de una hoja perforada. (ver gráfico)

El problema de Napoleón es un famoso problema de construcción con compás en geometría euclídea.

Dado un círculo y su centro, se trata de dividir el círculo en cuatro arcosiguales empleando sólo un compás, o lo que es lo mismo, hallar los cuatro vértices de un cuadrado inscrito en la circunferencia dada.

A pesar de que Napoleón Bonaparte era un matemático aficionado, se desconoce si llegó a resolver el problema, e incluso si fue él quien lo creó. Fue su amigo, el matemático Lorenzo Mascheroni, quien introdujo la limitación de usar solo el compás y lo expusó en 1802 en su libro La géométrie du compas.