PROBLEMAS MATEMÁTICOS

problema de Fagnano es una cuestión en la que se plantea que:

Para un triángulo agudo determinado, determínese el triángulo inscrito de perímetro mínimo Este problema de optimización fue ideado por el matemático italiano Giovanni Fagnano en 1775. La prueba original de Fagnano utilizó métodos de cálculo infinitesimal y un resultado intermedio dado por su padre Giulio Carlo de' Toschi di Fagnano. Más tarde, sin embargo, también se descubrieron varias pruebas geométricas, entre otros por Hermann Amandus Schwarz y Lipót Fejér. Estas pruebas usan las propiedades geométricas de las reflexiones para determinar una ruta mínima que represente el perímetro. Principios físicos[editar] Se encuentra una solución para una analogía física imaginando colocar una banda elástica que sigue la ley de elasticidad de Hooke alrededor de los tres lados de un marco triangular ${\displaystyle ABC}$, de modo que pueda deslizarse suavemente. Luego, la banda de goma terminaría en una posición que minimiza su energía elástica y, por lo tanto, minimiza su longitud total. Esta posición proporciona el triángulo perimetral mínimo. La tensión dentro de la banda de goma es la misma en todas partes en la banda de goma, por lo que en su posición de descanso, se tiene por el teorema de Lami que ${\displaystyle \angle bcA=\angle acB,\angle caB=\angle baC,\angle abC=\angle cbA}$ Triángulo abc es el triángulo órtico del triángulo ABC Por lo tanto, este triángulo mínimo es el triángulo órtico. Solución[editar] El triángulo órtico, con vértices en los pies de las alturas de un triángulo dado, tiene el perímetro más pequeño de todos los triángulos inscritos en un triángulo agudo. Por lo tanto, es la solución del problema de Fagnano.  problema de Fermi, pregunta de Fermi o estimación de Fermi, en homenaje al físico Enrico Fermi, a problemas que involucran el cálculo de cantidades que parecen imposibles de estimar dada la limitada información disponible. En la enseñanza de la física se utiliza la denominación en problemas diseñados para enseñar análisis dimensional y cálculo de estimaciones, mostrando la importancia de identificar claramente las hipótesis utilizadas. Planteamiento del problema[editar] Fermi era conocido por su habilidad para hacer buenos cálculos a partir de datos escasos o nulos. Un ejemplo es su estimación del poder de la bomba detonada en la prueba Trinity, basándose en la distancia viajada por los papeles caídos de su mano durante la explosión. El problema clásico de Fermi, generalmente atribuido a él, es calcular cuántos afinadores de piano hay en Chicago. Una solución típica involucra multiplicar una serie de estimaciones que arrojarían la respuesta correcta si las estimaciones lo fueran. Por ejemplo, podrían hacerse las siguientes suposiciones: Hay 9 millones de personas viviendo en Chicago. En promedio, viven dos personas en cada casa de Chicago. Una de cada veinte casas tiene un piano que es afinado regularmente. Dichos pianos son afinados una vez por año. A un afinador de pianos le lleva dos horas afinar un piano, incluyendo el tiempo de viaje. Cada afinador trabaja 8 horas por día, 5 días a la semana y 50 semanas en un año. A partir de estas suposiciones se puede determinar que el número de afinaciones de piano en un año en Chicago es (9.000.000 personas) / (2 personas/casa) * (1 piano/20 casas) * (1 afinación por piano por año) = 225.000 afinaciones por año. Como cada afinador trabaja 50 * 5 * 8 = 2000 horas por año y cada afinación requiere 2 horas, cada afinador realiza 1000 afinaciones por año. Como se calcularon 225.000 afinaciones por año, resulta que en Chicago hay 225 afinadores.1​ La respuesta obtenida probablemente no sea exacta debido, sobre todo, a errores en las suposiciones iniciales, sin embargo, se supone que al hacer las suposiciones, los errores se irán compensando unos con otros. Igualmente, este tipo de análisis muestra qué datos es necesario buscar para tener una mejor respuesta. Por ejemplo, podría buscarse una estimación mejor del número de pianos afinados por un afinador en un día típico, o buscar un dato más preciso sobre la cantidad de personas que viven en Chicago. Análisis de los resultados[editar] La aproximación calculada podría ser suficiente para cierto propósito y no para otro. Por ejemplo, si se quiere empezar un negocio en Chicago que provea equipamiento de afinación, y se sabe que se necesitarán 10.000 consumidores potenciales para mantener el negocio, se puede asumir razonablemente la conveniencia de pensar en otro plan, dado que el número de consumidores estimados es muy inferior al necesario. También es posible determinar una cota superior aproximada del número de afinadores estimando los valores máximo y mínimo de las hipótesis usadas en el cálculo. La ecuación de Drake[editar] Un ejemplo famoso de un problema del tipo Fermi es la ecuación de Drake, concebida por el radioastrónomo y presidente del Instituto SETI, Frank Drake, con el propósito de estimar la cantidad de civilizaciones en la Vía Láctea susceptibles de poseer emisiones de radio detectables. Multiplicando todos los factores relevantes da como resultado que el número de civilizaciones inteligentes y comunicativas en la galaxia es igual a los años que dura una civilización. La pregunta de por qué la nuestra nunca ha encontrado otras, si hay un número significativo de civilizaciones, se llama la Paradoja de Fermi y puede resumirse como "la creencia común de que el Universo posee numerosas civilizaciones avanzadas tecnológicamente, combinada con nuestras observaciones que sugieren todo lo contrario, es paradójica, sugiriendo que o bien nuestro conocimiento o nuestras observaciones son defectuosas o incompletas". Aplicaciones usuales[editar] Los científicos suelen aplicar el método de Fermi antes de pasar a métodos más sofisticados para calcular una respuesta precisa a un determinado problema. Esto resulta útil para comparar los resultados dado que, mientras la complejidad de un cálculo preciso podría oscurecer algún error, la simplicidad de los cálculos de Fermi lo hace menos probable. Es preferible hacer el cálculo de Fermi antes como forma de evitar que las suposiciones resulten influidas por el conocimiento del resultado del cálculo sofisticado. Las estimaciones de Fermi también son útiles para aproximar problemas donde la opción óptima del método de cálculo a aplicar depende del tamaño de la respuesta. Por ejemplo, una estimación de Fermi podría indicar si las tensiones internas de una estructura son lo suficientemente bajas como para ser adecuadamente descritas por elasticidad lineal. Diseño conceptual de los «buscadores de planetas» similares a la Tierra de la NASA. La paradoja de Fermi es la aparente contradicción que hay entre las estimaciones que afirman que hay una alta probabilidad de que existan otras civilizaciones inteligentes en el universo observable, y la ausencia de evidencia de dichas civilizaciones. Surgió en 1950 en medio de una conversación informal del físico Enrico Fermi con otros físicos del laboratorio pero ha tenido importantes implicaciones en los proyectos de búsquedas de señales de civilizaciones extraterrestres (SETI). Trata de responder a la pregunta: «¿Somos los seres humanos la única civilización avanzada en el Universo?». La ecuación de Drakepara estimar el número de civilizaciones extraterrestres con las que finalmente podríamos ponernos en contacto parece implicar que tal tipo de contacto no es extremadamente raro. La respuesta de Fermi a esta conclusión es que si hubiera numerosas civilizaciones avanzadas en nuestra galaxia entonces «¿Dónde están? ¿Por qué no hemos encontrado trazas de vida extraterrestre inteligente, por ejemplo, sondas, naves espaciales o transmisiones?». Aquellos que se adhieren a las conclusiones de Fermi suelen referirse a esta premisa como el principio de Fermi. La paradoja puede resumirse de la manera siguiente: La creencia común de que el Universo posee numerosas civilizaciones avanzadas tecnológicamente, combinada con nuestras observaciones que sugieren todo lo contrario es paradójica sugiriendo que nuestro conocimiento o nuestras observaciones son defectuosas o incompletas. La formulación de la paradoja surgió en una época en la que Fermi estaba trabajando en el Proyecto Manhattancuyo fin era el desarrollo de la bomba atómica estadounidense. La respuesta de Fermi a su paradoja es que toda civilización avanzada desarrollada en la galaxia, desarrolla con su tecnología el potencial de exterminarse tal y como percibía que estaba ocurriendo en su época. El hecho de no encontrar otras civilizaciones extraterrestres implicaba para él un trágico final para la humanidad.  problema de Galois inverso plantea si todo grupo finito puede ser el grupo de Galois de alguna extensión de los números racionales. Este problema, propuesto inicialmente por Hilbert en el siglo XIX,1​ permanece sin resolver. Más generalmente, sea ${\displaystyle G}$ un grupo finito dado, y sea ${\displaystyle K}$ un cuerpo. Entonces la pregunta es: ¿existe una extensión de cuerposgaloisiana ${\displaystyle L/K}$ tal que el grupo de Galois de la extensión sea isomorfo a ${\displaystyle G}$? Se dice que ${\displaystyle G}$ es realizable sobre ${\displaystyle K}$ si dicho cuerpo ${\displaystyle L}$ existe. Resultados parciales[editar] Pese a ser un problema abierto, se conocen muchos detalles sobre algunos casos particulares. Se sabe, por ejemplo (Šafarevič), que todo grupo finito es realizable sobre cualquier cuerpo de funciones en una variable sobre los números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$, y más generalmente sobre cuerpos de funciones en una variable sobre cualquier cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero. Šafarevič mostró que todo grupo finito resoluble es realizable sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. También se sabe que los 26 grupos esporádicos, a excepción del grupo de Mathieu ${\displaystyle M_{23}}$, son realizables sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.2​ Hilbert había mostrado que esta cuestión está relacionada con una pregunta de racionalidad para ${\displaystyle G}$: si ${\displaystyle K}$ es una extensión cualquiera de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, en la que ${\displaystyle G}$ actúa como grupo de automorfismos y el cuerpo fijo por ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle K^{G}}$, es racional sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, entonces ${\displaystyle G}$ es realizable sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Aquí «racional» significa que es una extensión puramente trascendental de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, generada por un conjunto algebraicamente independiente. Este criterio puede, por ejemplo, emplearse para demostrar que todos los grupos simétricos son realizables. Se ha profundizado mucho en esta cuestión, para la que aún no existe una resolución general. Algunos de los trabajos llevados a cabo se basan en construir ${\displaystyle G}$ geométricamente como un recubrimiento de Galois de la recta proyectiva: en términos algebraicos, empezar con una extensión del cuerpo ${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$ de funciones racionales en una indeterminada ${\displaystyle t}$; después aplicar el teorema de irreducibilidad de Hilbert para especializar ${\displaystyle t}$, de tal manera que se conserve su grupo de Galois. Un ejemplo sencillo: los grupos cíclicos[editar] Es posible, mediante resultados clásicos, construir explícitamente un polinomio cuyo grupo de Galois sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$sea el grupo cíclico ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ para cualquier ${\displaystyle n}$ positivo. Para hacer esto, elíjase un primo ${\displaystyle p}$ tal que ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {n}}}$; esto es posible por el teorema de Dirichlet. Sea ${\displaystyle \mathbb {Q} (\xi )}$ la extensión ciclotómica de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$generada por ${\displaystyle \xi }$, donde ${\displaystyle \xi }$ es una raíz p-ésima primitiva de la unidad; el grupo de Galois de ${\displaystyle \mathbb {Q} (\xi )/\mathbb {Q} }$ es cíclico de orden ${\displaystyle p-1}$. Puesto que ${\displaystyle n}$ divide a ${\displaystyle p-1}$, el grupo de Galois tiene un subgrupo cíclico ${\displaystyle H}$ de orden ${\displaystyle (p-1)/n}$. El teorema fundamental de la teoría de Galois implica que el correspondiente cuerpo fijo por ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F=\mathbb {Q} (\xi )^{H}}$ tiene grupo de Galois ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Tomando las sumas de conjugados de ${\displaystyle \xi }$ apropiadas, de acuerdo con la construcción de períodos de Gauss, se puede encontrar un elemento ${\displaystyle \alpha }$ de ${\displaystyle F}$ que genera ${\displaystyle F}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, y calcular su polinomio mínimo. Este método puede extenderse para abarcar todos los grupos abelianos finitos, ya que cada uno de ellos aparece de hecho como cociente del grupo de Galois de alguna extensión ciclotómica de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. (Esta afirmación no debe confundirse con el teorema de Kronecker-Weber, un resultado mucho más profundo.) Ejemplo elaborado: el grupo cíclico de orden tres[editar] Para ${\displaystyle n=3}$, podemos tomar ${\displaystyle p=7}$. En ese caso ${\displaystyle {\text{Gal}}(\mathbb {Q} (\xi )/\mathbb {Q} )}$ es cíclico de orden seis. Tomemos el generador ${\displaystyle \eta }$ de este grupo que manda ${\displaystyle \xi }$ a ${\displaystyle \xi ^{3}}$. Estamos interesados en el subgrupo ${\displaystyle H=\{1,\eta ^{3}\}}$ de orden dos. Considérese el elemento ${\displaystyle \alpha =\xi +\eta ^{3}(\xi )}$. Por construcción, ${\displaystyle \alpha }$ queda fijo por ${\displaystyle H}$, y sólo tiene tres conjugados sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, dados por ${\displaystyle \alpha =\xi +\xi ^{6},\quad \beta =\eta (\alpha )=\xi ^{3}+\xi ^{4},\quad \gamma =\eta ^{2}(\alpha )=\xi ^{2}+\xi ^{5}}$. Usando la identidad ${\displaystyle 1+\xi +\xi ^{2}+\ldots +\xi ^{6}=0}$, encontramos que ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =-1}$, ${\displaystyle \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =-2}$, y ${\displaystyle \alpha \beta \gamma =1}$. Por lo tanto ${\displaystyle \alpha }$ es una raíz del polinomio ${\displaystyle (x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )=x^{3}+x^{2}-2x-1}$, que en consecuencia tiene grupo de Galois ${\displaystyle \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$ sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Grupos simétricos y alternados[editar] Hilbert demostró que todos los grupos simétricos y alternados son grupos de Galois de polinomios con coeficientes racionales. Por ejemplo, el polinomio ${\displaystyle x^{n}+ax+b}$ tiene discriminante ${\displaystyle (-1)^{n(n-1)/2}[n^{n}b^{n-1}+(-1)^{1-n}(n-1)^{n-1}a^{n}]}$. Consideremos el caso especial ${\displaystyle f(x,s)=x^{n}-sx-s}$. Sustituyendo un entero primo por ${\displaystyle s}$ en ${\displaystyle f(x,s)}$ se obtiene como resultado un polinomio (llamado «especialización» de ${\displaystyle f(x,s)}$) que es irreducible por el criterio de Eisenstein. Por tanto ${\displaystyle f(x,s)}$ debe ser irreducible sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} (s)}$. Más aún, ${\displaystyle f(x,s)}$ puede escribirse de la forma ${\displaystyle x^{n}-x/2-1/2-(s-1/2)(x+1)}$ y así ${\displaystyle f(x,1/2)}$ puede factorizarse como: ${\displaystyle (x-1)(1+2x+2x^{2}+\ldots +2x^{n-1})/2}$, cuyo segundo factor es irreducible por el criterio de Eisenstein. Acabamos de demostrar que el grupo ${\displaystyle \operatorname {Gal} (f(x,s)/\mathbb {Q} (s))}$ es doblemente transitivo. Podemos ahora deducir que este grupo de Galois contiene una trasposición. Usando el escalado ${\displaystyle (1-n)x=ny}$ se obtiene ${\displaystyle y^{n}-s((1-n)/n)^{n-1}y-s((1-n)/n)^{n}}$ y mediante ${\displaystyle t=s(1-n)^{n-1}/n^{n}}$ se obtiene ahora ${\displaystyle g(y,t)=y^{n}-nty+(n-1)t}$, que puede reescribirse como ${\displaystyle y^{n}-y-(n-1)(y-1)+(t-1)(-ny+n-1)}$. Entonces ${\displaystyle g(y,1)}$ tiene 1 como raíz doble y sus otras ${\displaystyle n-2}$ raíces son simples, lo que implica que existe una transposición en ${\displaystyle \operatorname {Gal} (f(x,s)/\mathbb {Q} (s))}$. Cualquier grupo de permutaciones doblemente transitivo que contenga una trasposición es un grupo simétrico completo. El teorema de irreducibilidad de Hilbert implica entonces que un conjunto infinito de números racionales dan especializaciones de ${\displaystyle f(x,t)}$ cuyos grupos de Galois son ${\displaystyle S_{n}}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. De hecho este conjunto de racionales es denso en ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. El discriminante de ${\displaystyle g(y,t)}$ es igual a ${\displaystyle (-1)^{n(n-1)/2}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)}$, que no es, en general, un cuadrado perfecto. Grupos alternados[editar] Las soluciones para grupos alternados deben tratarse por separado para los grados par e impar. Sea ${\displaystyle t=1-(-1)^{n(n-1)/2}nu^{2}}$. Tras esta sustitución el discriminante de ${\displaystyle g(y,t)}$ es igual a ${\displaystyle n^{n+1}(n-1)^{n-1}t^{n-1}u^{2}}$, que es un cuadrado perfecto cuando ${\displaystyle n}$ es impar. En el caso par sea ${\displaystyle t}$ el recíproco de ${\displaystyle 1+(-1)^{n(n-1)/2}(n-1)u^{2}}$, de donde ${\displaystyle 1-t}$ se hace ${\displaystyle t(-1)^{n(n-1)/2}(n-1)u^{2}}$, y el discriminante se hace ${\displaystyle n^{n}(n-1)^{n}t^{n}u^{2}}$, que es un cuadrado perfecto cuando ${\displaystyle n}$ es par. De nuevo, el teorema de irreducibilidad de Hilbert implica la existencia de infinitas especializaciones cuyos grupos de Galois son grupos alternados. Grupos rígidos[editar] Supongamos que ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}}$ son clases de conjugación de un grupo finito ${\displaystyle G}$, y sea ${\displaystyle A}$ el conjunto de n-tuplas ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$ de ${\displaystyle G}$ tales que ${\displaystyle g_{i}}$ está en ${\displaystyle C_{i}}$ y el producto ${\displaystyle g_{1}\cdots g_{n}}$ es trivial. Entonces se dice que ${\displaystyle A}$ es rígido si es no vacío, ${\displaystyle G}$ actúa transitivamente sobre él por conjugación, y cada elemento de ${\displaystyle A}$ genera ${\displaystyle G}$. Thompson (1984) mostró que si un grupo finito ${\displaystyle G}$ posee un subgrupo rígido, entonces es muy posible que pueda realizarse como grupo de Galois sobre una extensión ciclotómica de los racionales. Esto puede usarse para mostrar que muchos grupos simples finitos, incluido el grupo simple monstruo, son grupos de Galois de extensiones de los racionales. El paradigma de la rigidez es el grupo simétrico ${\displaystyle S_{n}}$, que está generado por un n-ciclo y una trasposición cuyo producto es un (n−1)-ciclo. La construcción en la sección precedente hacía uso de estos generadores para determinar el grupo de Galois de un polinomio. Una construcción mediante una función modular elíptica[editar] Sea ${\displaystyle n}$ un entero mayor que 1. Un retículo Λ en el plano complejo de periodo ${\displaystyle \tau }$ contiene un subretículo Λ' de periodo ${\displaystyle n\tau }$. Este último pertenece al conjunto finito de subretículos permutados por el grupo modular PSL(2,Z), que se basa en cambios de base para Λ. Sea ${\displaystyle j}$ la función modular elíptica de Klein. Definamos el polinomio ${\displaystyle \varphi _{n}}$como el producto de las diferencias ${\displaystyle (X-j(\wedge _{i}))}$ sobre los subretículos conjugados. Como polinomio en ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \varphi _{n}}$tiene coeficientes que son polinomios sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ en ${\displaystyle j(\tau )}$. En los retículos conjugados, el grupo modular actúa como PGL(2,Zn). Se sigue que ${\displaystyle \varphi _{n}}$ tiene grupo de Galois isomorfo a PGL(2,Zn) sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} (J(\tau ))}$. El teorema de irreducibilidad de Hilbert permite obtener un conjunto infinito (y denso) de números racionales que especializan ${\displaystyle \varphi _{n}}$ a polinomios con grupo de Galois PGL(2,Zn) sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Los grupos PGL(2,Zn) incluyen infinitos grupos no resolubles.