GEOMETRÍA - TEOREMAS EN GEOMETRÍA

Campbell-Magaarrd , es un teorema matemático que evalúa la distribución asintótica de impulsos aleatorios que actúan con una intensidad determinada en un sistema amortiguado . ^{[ cita requerida ]} El teorema garantiza que cualquier colector Riemanniano de n dimensiones se puede incrustar localmente en un  colector Riemanniano plano Ricci plano ( n + 1). ^[1]

Declaración [ editar ]

El teorema de Campbell establece que cualquier variedad Riemanniana en n dimensiones puede incorporarselocalmente en una ( n  + 1) múltiple con una curvatura Ricci de R _' a b  = 0. El teorema también establece, en forma similar, que un pseudo n- dimensional -El múltiple riemanniano se puede incrustar local e isométricamente en un espacio n ( n  + 1) / 2- pseudo-euclidiano .  

Aplicaciones [ editar ]

El teorema de Campbell se puede utilizar para producir la incorporación de numerosos espacios espaciales en 4 dimensiones en espacios planos de Ricci en 5 dimensiones . También se utiliza para incrustar una clase de espacios de Einstein de n dimensiones .

el teorema de Casey , también conocido como el teorema de Ptolomeo generalizado , es un teorema en la geometría euclidiana que lleva el nombre del matemático irlandés John Casey .

Formulación del teorema [ editar ]

$${\ displaystyle t_ {12} \ cdot t_ {34} + t_ {14} \ cdot t_ {23} -t_ {13} \ cdot t_ {24} = 0}

Dejar $${\ displaystyle \, O} ser un circulo de radio $${\ displaystyle \, R}. Dejar$${\ displaystyle \, O_ {1}, O_ {2}, O_ {3}, O_ {4}} ser (en ese orden) cuatro círculos no intersectantes que se encuentran dentro $${\ displaystyle \, O}Y tangente a ello. Denotamos por$${\ displaystyle \, t_ {ij}}La longitud del exterior común bitangente de los círculos.$${\ displaystyle \, O_ {i}, O_ {j}}. Entonces: ^[1]

$${\ displaystyle \, t_ {12} \ cdot t_ {34} + t_ {14} \ cdot t_ {23} = t_ {13} \ cdot t_ {24}.}

Tenga en cuenta que en el caso degenerado, donde los cuatro círculos se reducen a puntos, este es exactamente el teorema de Ptolomeo .

Prueba [ editar ]

La siguiente prueba es atribuible ^[2] a Zacharias. ^[3] Denota el radio del círculo.$${\ displaystyle \, O_ {i}} por $${\ displaystyle \, R_ {i}} y su punto de tangencia con el círculo. $${\ displaystyle \, O} por $${\ displaystyle \, K_ {i}}. Usaremos la notación.$${\ displaystyle \, O, O_ {i}}Para los centros de los círculos. Tenga en cuenta que del teorema de Pitágoras ,

$${\ displaystyle \, t_ {ij} ^ {2} = {\ overline {O_ {i} O_ {j}}} ^ {2} - (R_ {i} -R_ {j}) ^ {2}.}

Intentaremos expresar esta longitud en términos de los puntos. $${\ displaystyle \, K_ {i}, K_ {j}}. Por la ley de los cosenos en triangulo.$${\ displaystyle \, O_ {i} OO_ {j}},

$${\ displaystyle {\ overline {O_ {i} O_ {j}}} ^ {2} = {\ overline {OO_ {i}}} ^ {2} + {\ overline {OO_ {j}}} ^ {2 } -2 {\ overline {OO_ {i}}} \ cdot {\ overline {OO_ {j}}} \ cdot \ cos \ angle O_ {i} OO_ {j}}

Ya que los circulos $${\ displaystyle \, O, O_ {i}} tangentes entre sí:

$${\ displaystyle {\ overline {OO_ {i}}} = R-R_ {i}, \, \ angle O_ {i} OO_ {j} = \ angle K_ {i} OK_ {j}}

Dejar $${\ displaystyle \, C} ser un punto en el circulo $${\ displaystyle \, O}. Según la ley de los senos en triángulo.$${\ displaystyle \, K_ {i} CK_ {j}}:

$${\ displaystyle {\ overline {K_ {i} K_ {j}}} = 2R \ cdot \ sin \ angle K_ {i} CK_ {j} = 2R \ cdot \ sin {\ frac {\ angle K_ {i} OK_ {j}} {2}}}

Por lo tanto,

$${\ displaystyle \ cos \ angle K_ {i} OK_ {j} = 1-2 \ sin ^ {2} {\ frac {\ angle K_ {i} OK_ {j}} {2}} = 1-2 \ cdot \ left ({\ frac {\ overline {K_ {i} K_ {j}}} {2R}} \ right) ^ {2} = 1 - {\ frac {{\ overline {K_ {i} K_ {j} }} ^ {2}} {2R ^ {2}}}}

y sustituyéndolos en la fórmula anterior:

$${\ displaystyle {\ overline {O_ {i} O_ {j}}} ^ {2} = (R-R_ {i}) ^ {2} + (R-R_ {j}) ^ {2} -2 ( R-R_ {i}) (R-R_ {j}) \ left (1 - {\ frac {{\ overline {K_ {i} K_ {j}}} ^ {2}} {2R ^ {2}} }\Correcto)}

$${\ displaystyle {\ overline {O_ {i} O_ {j}}} ^ {2} = (R-R_ {i}) ^ {2} + (R-R_ {j}) ^ {2} -2 ( R-R_ {i}) (R-R_ {j}) + (R-R_ {i}) (R-R_ {j}) \ cdot {\ frac {{\ overline {K_ {i} K_ {j} }} ^ {2}} {R ^ {2}}}}

$${\ displaystyle {\ overline {O_ {i} O_ {j}}} ^ {2} = ((R-R_ {i}) - (R-R_ {j})) ^ {2} + (R-R_ {i}) (R-R_ {j}) \ cdot {\ frac {{\ overline {K_ {i} K_ {j}}} ^ {2}} {R ^ {2}}}}

Y finalmente, la longitud que buscamos es

$${\ displaystyle t_ {ij} = {\ sqrt {{\ overline {O_ {i} O_ {j}}} ^ {2} - (R_ {i} -R_ {j}) ^ {2}}} = { \ frac {{\ sqrt {R-R_ {i}}} \ cdot {\ sqrt {R-R_ {j}}} \ cdot {\ overline {K_ {i} K_ {j}}} {R}} }

Ahora podemos evaluar el lado izquierdo, con la ayuda del teorema original de Ptolomeo aplicado al cuadriláteroinscrito. $${\ displaystyle \, K_ {1} K_ {2} K_ {3} K_ {4}}:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & t_ {12} t_ {34} + t_ {14} t_ {23} \\ [4pt] = {} & {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ cdot {\ sqrt {R-R_ {1}}} {\ sqrt {R-R_ {2}}} {\ sqrt {R-R_ {3}}} {\ sqrt {R-R_ {4}}} \ izquierda ({\ overline {K_ {1} K_ {2}}} \ cdot {\ overline {K_ {3} K_ {4}}} + {\ overline {K_ {1} K_ {4}}} \ cdot { \ overline {K_ {2} K_ {3}}} \ right) \\ [4pt] = {} & {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ cdot {\ sqrt {R-R_ {1 }}} {\ sqrt {R-R_ {2}}} {\ sqrt {R-R_ {3}}} {\ sqrt {R-R_ {4}}} \ left ({\ overline {K_ {1} K_ {3}}} \ cdot {\ overline {K_ {2} K_ {4}}} \ right) \\ [4pt] = {} & t_ {13} t_ {24} \ end {alineado}}}

Otras generalizaciones [ editar ]

Se puede ver que los cuatro círculos no necesitan estar dentro del círculo grande. De hecho, también pueden ser tangentes a ella desde el exterior. En ese caso, se debe hacer el siguiente cambio: ^[4]

Si $${\ displaystyle \, O_ {i}, O_ {j}} Ambos son tangentes del mismo lado de $${\ displaystyle \, O} (ambos dentro o ambos afuera), $${\ displaystyle \, t_ {ij}} Es la longitud de la tangente exterior común.

Si $${\ displaystyle \, O_ {i}, O_ {j}} son tangentes desde diferentes lados de $${\ displaystyle \, O} (uno dentro y otro fuera), $${\ displaystyle \, t_ {ij}} Es la longitud de la tangente interior común.

Lo contrario del teorema de Casey también es cierto. ^[4] Es decir, si la igualdad se mantiene, los círculos son tangentes a un círculo común.

Aplicaciones [ editar ]

El teorema de Casey y su inverso se pueden usar para probar una variedad de afirmaciones en la geometría euclidiana . Por ejemplo, la prueba conocida más corta ^[1] : 411 del teorema de Feuerbach usa el teorema inverso.

teorema de Castelnuovo – de Franchis es un resultado clásico en superficies algebraicascomplejas . Sea X una superficie tal, proyectiva y no singular , y sea

ω ₁ y ω ₂

Hay dos diferenciales del primer tipo en X que son linealmente independientes pero con producto de cuña 0. Entonces, estos datos se pueden representar como un retroceso de una curva algebraica : hay una curva algebraica no singular C , un morfismo

φ: X → C ,

y diferenciales del primer tipo ω ′ ₁ y ω ′ ₂ en C de tal manera que

φ * ( ω ′ ₁ ) = ω ₁ y φ * ( ω ′ ₂ ) = ω ₂ .

Este resultado se debe a Guido Castelnuovo y Michele de Franchis (1875–1946).

Lo contrario, que dos tales retrocesos tendrían una cuña 0, es inmediato.

Teorema de Ceva, caso 1: las tres líneas son concurrentes en un punto O dentro de ABC

Teorema de Ceva, caso 2: las tres líneas son concurrentes en un punto O fuera de ABC

El teorema de Ceva es un teorema sobre los triángulos en la geometría plana . Dado un triángulo ABC , deje que las líneas AO , BO y CO se dibujen desde los vértices hasta un punto común O (no en uno de los lados de ABC ), para encontrar lados opuestos en D , Ey F respectivamente. (Los segmentos AD, BE y CF se conocen como cevians ). Luego, utilizando longitudes de segmentos firmadas,

$${\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} \ cdot {\ frac {BD} {DC}} \ cdot {\ frac {CE} {EA}} = 1.}

En otras palabras, la longitud AB se toma como positiva o negativa según si A está a la izquierda o derecha de B en alguna orientación fija de la línea. Por ejemplo, AF / FB se define como tener un valor positivo cuando F está entre A y B y, de lo contrario, es negativo.

El teorema de Ceva es un teorema de la geometría afín , en el sentido de que puede establecerse y probarse sin utilizar los conceptos de ángulos, áreas y longitudes (excepto por la relación de las longitudes de dos segmentos de línea que son colineales ). Por lo tanto, es cierto para los triángulos en cualquier plano afín sobre cualquier campo .

Un converso ligeramente adaptado también es cierto: si los puntos D , E y F se eligen en BC , AC y AB respectivamente, de modo que

$${\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} \ cdot {\ frac {BD} {DC}} \ cdot {\ frac {CE} {EA}} = 1,}

entonces AD , BE y CF son concurrentes , o los tres son paralelos . Lo contrario a menudo se incluye como parte del teorema.

El teorema se atribuye a menudo a Giovanni Ceva , quien lo publicó en su obra de 1678 De lineis rectis . Pero fue probado mucho antes por Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd , un rey de Zaragoza en el siglo XI . ^[1]

Asociados a las figuras hay varios términos derivados del nombre de Ceva: ceviano (las líneas AD, BE, CF son los cevianos de O), triángulo ceviano (el triángulo DEF es el triángulo ceviano de O); Nido ceviano, triángulo anticeviano, conjugado de Ceva. ( Ceva se pronuncia Chay'va; cevian se pronuncia chev'ian.)

El teorema es muy similar al teorema de Menelao en que sus ecuaciones se diferencian solo en signo.

Pruebas [ editar ]

Se han dado varias pruebas del teorema. ^[2] [3] A continuación se dan dos pruebas.

El primero es muy elemental, usando solo propiedades básicas de áreas de triángulos. ^[2] Sin embargo, varios casos tienen que ser considerados, dependiendo de la posición del punto O .

La segunda prueba utiliza coordenadas y vectores baricéntricos , pero de alguna manera es más natural y no depende de los casos. Además, funciona en cualquier plano afín sobre cualquier campo .

Usando áreas triangulares [ editar ]

Primero, el signo del lado izquierdo es positivo ya que cualquiera de las tres relaciones es positiva, el caso donde O está dentro del triángulo (diagrama superior), o uno es positivo y los otros dos son negativos, el caso O es fuera del triángulo (el diagrama inferior muestra un caso).

Para verificar la magnitud, tenga en cuenta que el área de un triángulo de una altura dada es proporcional a su base. Asi que

$${\ displaystyle {\ frac {| \ triangle BOD |} {| \ triangle COD |}} = {\ frac {BD} {DC}} = {\ frac {| \ triangle BAD |} {| \ triangle CAD |} }.}

Por lo tanto,

$${\ displaystyle {\ frac {BD} {DC}} = {\ frac {| \ triangle BAD | - | \ triangle BOD |} {| \ triangle CAD | - | \ triangle COD |}} = {\ frac {| \ triangle ABO |} {| \ triangle CAO |}}.}

(Reemplace el signo menos con un signo más si A y O están en lados opuestos de BC .) Del mismo modo,

$${\ displaystyle {\ frac {CE} {EA}} = {\ frac {| \ triangle BCO |} {| \ triangle ABO |}},}

y

$${\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} = {\ frac {| \ triangle CAO |} {| \ triangle BCO |}}.}

Multiplicando estas tres ecuaciones da

$${\ displaystyle \ left | {\ frac {AF} {FB}} \ cdot {\ frac {BD} {DC}} \ cdot {\ frac {CE} {EA}} \ right | = 1,}

según sea necesario.

El teorema también se puede probar fácilmente usando el teorema de Menelao. ^[4] Desde el BOE transversal del triángulo ACF ,

$${\ displaystyle {\ frac {AB} {BF}} \ cdot {\ frac {FO} {OC}} \ cdot {\ frac {CE} {EA}} = - 1}

y de la AOD transversal del triángulo BCF ,

$${\ displaystyle {\ frac {BA} {AF}} \ cdot {\ frac {FO} {OC}} \ cdot {\ frac {CD} {DB}} = - 1.}

El teorema sigue dividiendo estas dos ecuaciones.

Lo contrario sigue como corolario. ^[2] Deje que D , E y F se den en las líneas BC , AC y AB para que la ecuación se mantenga. Deje que AD y BE se encuentren en O y que F ′ sea el punto donde CO cruza AB . Luego, por el teorema, la ecuación también se cumple para D , E y F ′. Comparando los dos,

$${\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} = {\ frac {AF '} {F'B}}}

Pero a lo sumo, un punto puede cortar un segmento en una proporción dada, de modo que F = F ′.

Usando coordenadas baricéntricas [ editar ]

Dados tres puntos A , B , C , que no son colineales , y un punto O , que pertenece al mismo plano , las coordenadas baricéntricas de O con respecto a A , B , C son los únicos tres números$${\ displaystyle \ lambda _ {A}, \ lambda _ {B}, \ lambda _ {C}} tal que

$${\ displaystyle \ lambda _ {A} + \ lambda _ {B} + \ lambda _ {C} = 1,}

y

$${\ displaystyle {\ overrightarrow {XO}} = \ lambda _ {A} {\ overrightarrow {XA}} + \ lambda _ {B} {\ overrightarrow {XB}} + \ lambda _ {C} {\ overrightarrow {XC }},}

para cada punto X (para la definición de esta notación de flecha y más detalles, consulte Espacio afín ).

Para el teorema de Ceva, se supone que el punto O no pertenece a ninguna línea que pase por dos vértices del triángulo. Esto implica que$${\ displaystyle \ lambda _ {A} \ lambda _ {B} \ lambda _ {C} \ neq 0.}

Si se toma para X la intersección F de las líneas AB y OC (ver figuras), la última ecuación se puede reorganizar en

$${\ displaystyle {\ overrightarrow {FO}} - \ lambda _ {C} {\ overrightarrow {FC}} = \ lambda _ {A} {\ overrightarrow {FA}} + \ lambda _ {B} {\ overrightarrow {FB }}.}

El lado izquierdo de esta ecuación es un vector que tiene la misma dirección que la línea CF , y el lado derecho tiene la misma dirección que la línea AB . Estas líneas tienen diferentes direcciones, ya que A , B y C no son colineales. De ello se deduce que los dos miembros de la ecuación son iguales al vector cero, y

$${\ displaystyle \ lambda _ {A} {\ overrightarrow {FA}} + \ lambda _ {B} {\ overrightarrow {FB}} = 0.}

Resulta que

$${\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} = {\ frac {\ lambda _ {B}} {\ lambda _ {A}}},}

donde la fracción del lado izquierdo es la relación firmada de las longitudes de los segmentos de línea colineales AF y FB .

El mismo razonamiento muestra

$${\ displaystyle {\ frac {BD} {DC}} = {\ frac {\ lambda _ {C}} {\ lambda _ {A}}} \ quad {\ text {y}} \ quad {\ frac {CE } {EA}} = {\ frac {\ lambda _ {A}} {\ lambda _ {C}}}.}

El teorema de Ceva resulta inmediatamente al tomar el producto de las tres últimas ecuaciones.

Generalizaciones [ editar ]

El teorema se puede generalizar a simplex de dimensiones superiores usando coordenadas baricéntricas . Defina un ceviano de un n -simplex como un rayo desde cada vértice hasta un punto en la cara opuesta ( n -1) ( faceta ). Luego, los cevianos son concurrentes si y solo si se puede asignar una distribución de masa a los vértices de manera que cada ceviano intersecte la faceta opuesta en su centro de masa . Además, el punto de intersección de los cevianos es el centro de masa del símplex. ^[5] [6]

El teorema de Routh da el área del triángulo formado por tres cevianos en el caso de que no sean concurrentes. El teorema de Ceva se puede obtener de él estableciendo el área igual a cero y resolviendo.

El análogo del teorema para los polígonos generales en el plano se conoce desde principios del siglo XIX. ^[7] El teorema también se ha generalizado a triángulos en otras superficies de curvatura constante .