GEOMETRÍA - TEOREMAS EN GEOMETRÍA

 teorema de intercepción , también conocido como teorema de Thales (que no debe confundirse con otro teorema con ese nombre ) o teorema básico de proporcionalidad , es un teorema importante en la geometría elemental sobre las relaciones de varios segmentos de línea que se crean si se interceptan dos líneas que se intersectan por un par de paralelos . Es equivalente al teorema sobre relaciones en triángulos similares . Tradicionalmente se le atribuye al matemático griego Thales .

Formulación [ editar ]

Supongamos que S es el punto de intersección de dos líneas y A, B son las intersecciones de la primera línea con los dos paralelos, de modo que B está más alejado de S que de A, y, de manera similar, C, D son las intersecciones de la segunda línea con dos paralelos tales que D está más alejado de S que de C.

1. Las relaciones de cualquiera de los dos segmentos en la primera línea son iguales a las relaciones de los segmentos correspondientes en la segunda línea: $${\ displaystyle | SA |: | AB | = | SC |: | CD |}, $${\ displaystyle | SB |: | AB | = | SD |: | CD |}, $${\ displaystyle | SA |: | SB | = | SC |: | SD |}
2. La relación de los dos segmentos en la misma línea que comienza en S es igual a la relación de los segmentos en los paralelos: $${\ displaystyle | SA |: | SB | = | SC |: | SD | = | AC |: | BD |}
3. Lo contrario de la primera declaración también es cierta, es decir, si las dos líneas que se intersecan son interceptadas por dos líneas arbitrarias y $${\ displaystyle | SA |: | AB | = | SC |: | CD |}Sostiene entonces las dos líneas interceptadoras son paralelas. Sin embargo, lo contrario de la segunda afirmación no es cierto.
4. Si tiene más de dos líneas que se intersecan en S, entonces la proporción de los dos segmentos en un paralelo es igual a la relación de los segmentos correspondientes en el otro paralelo: $${\ displaystyle | AF |: | BE | = | FC |: | ED |} , $${\ displaystyle | AF |: | FC | = | BE |: | ED |}

En el segundo gráfico a continuación se muestra un ejemplo para el caso de tres líneas.

El primer teorema de intercepción muestra las relaciones de las secciones de las líneas, el segundo las relaciones de las secciones de las líneas, así como las secciones de los paralelos, finalmente, el tercero muestra las relaciones de las secciones de los paralelos.

Conceptos relacionados [ editar ]

Similitud y triángulos semejantes [ editar ]

Disponer dos triángulos similares, de modo que se pueda aplicar el teorema de intercepción

El teorema de intercepción está estrechamente relacionado con la similitud . Es equivalente al concepto de triángulos similares , es decir, se puede usar para probar las propiedades de triángulos similares y se pueden usar triángulos similares para probar el teorema de intercepción. Al hacer coincidir ángulos idénticos, siempre puede colocar dos triángulos similares uno en el otro para obtener la configuración en la que se aplica el teorema de intercepción; ya la inversa, la configuración del teorema de intercepción siempre contiene dos triángulos similares.

Multiplicación escalar en espacios vectoriales [ editar ]

En un espacio vectorial normado , los axiomas relativos a la multiplicación escalar (en particular$${\ displaystyle \ lambda \ cdot ({\ vec {a}} + {\ vec {b}}) = \ lambda \ cdot {\ vec {a}} + \ lambda \ cdot {\ vec {b}}} y $${\ displaystyle \ | \ lambda {\ vec {a}} \ | = | \ lambda | \ cdot \ \ | {\ vec {a}} \ |}) están asegurando que el teorema de intercepción se mantiene. Uno tiene $${\ displaystyle {\ frac {\ | \ lambda \ cdot {\ vec {a}} \ |} {\ | {\ vec {a}} \ |}} = {\ frac {\ | \ lambda \ cdot {\ vec {b}} \ |} {\ | {\ vec {b}} \ |}} = {\ frac {\ | \ lambda \ cdot ({\ vec {a}} + {\ vec {b}}) \ |} {\ | {\ vec {a}} + {\ vec {b}} \ |}} = | \ lambda |}

Aplicaciones [ editar ]

Formulación algebraica de compás y la regla construcciones [ editar ]

Hay tres problemas famosos en geometría elemental que fueron planteados por los griegos en términos de compás y construcciones de regla : ^[2]

1. Triseccionando el ángulo
2. Doblando el cubo
3. Cuadrar el circulo

Su solución tardó más de 2000 años hasta que los tres finalmente se establecieron en el siglo XIX utilizando métodos algebraicos que habían estado disponibles durante ese período de tiempo. Para reformularlos en términos algebraicos usando extensiones de campo , uno necesita hacer coincidir las operaciones de campo con las construcciones de brújula y regla (ver número constructible ). En particular, es importante asegurar que para dos segmentos de línea dados, un nuevo segmento de línea pueda construirse de tal manera que su longitud sea igual al producto de las longitudes de los otros dos. Del mismo modo, uno necesita poder construir, para un segmento de línea de longitud$${\ displaystyle a}, un nuevo segmento de línea de longitud $${\ displaystyle a ^ {- 1}}. El teorema de intercepción se puede usar para mostrar que en ambos casos es posible tal construcción.

Construcción de un producto

Construcción de un inverso.

Dividir un segmento de línea en una proporción dada [ editar ]

Para dividir un segmento de línea arbitrario $${\ displaystyle {\ overline {AB}}}en un $${\ displaystyle m: n} relación, dibujar un ángulo arbitrario en A con $${\ displaystyle {\ overline {AB}}}como una pierna En la otra construcción de la pierna$${\ displaystyle m + n}puntos equidistantes, luego dibuje la línea a través del último punto y B y la línea paralela a través del punto m th. Esta línea paralela divide $${\ displaystyle {\ overline {AB}}}en la proporción deseada. El gráfico a la derecha muestra la partición de un segmento de línea $${\ displaystyle {\ overline {AB}}} en un $${\ displaystyle 5: 3}proporción. [3]

Medición y encuesta [ editar ]

Altura de la pirámide de Keops [ editar ]

piezas de medida

computando C y D

Según algunas fuentes históricas, el matemático griego Thales aplicó el teorema de intercepción para determinar la altura de la pirámide de Keops . ^[1] La siguiente descripción ilustra el uso del teorema de intercepción para calcular la altura de la pirámide. Sin embargo, no relata el trabajo original de Thales, que se perdió.

Thales midió la longitud de la base de la pirámide y la altura de su polo. Luego, a la misma hora del día, midió la longitud de la sombra de la pirámide y la longitud de la sombra del polo. Esto produjo los siguientes datos:

• altura del palo (A): 1.63 m
• Sombra del palo (B): 2 m.
• Longitud de la base de la pirámide: 230 m
• Sombra de la pirámide: 65 m.

De esto calculó

$${\ displaystyle C = 65 ~ {\ text {m}} + {\ frac {230 ~ {\ text {m}}} {2}} = 180 ~ {\ text {m}}}

Conociendo a A, B y C, ahora podía aplicar el teorema de intercepción para calcular

$${\ displaystyle D = {\ frac {C \ cdot A} {B}} = {\ frac {1.63 ~ {\ text {m}} \ cdot 180 ~ {\ text {m}}} {2 ~ {\ text {m}}}} = 146.7 ~ {\ text {m}}}

La medición de la anchura de un río [ editar ]

El teorema de intercepción se puede usar para determinar una distancia que no se puede medir directamente, como el ancho de un río o un lago, la altura de edificios altos o similares. El gráfico a la derecha ilustra la medición del ancho de un río. Los segmentos$${\ displaystyle | CF |},$${\ displaystyle | CA |},$${\ displaystyle | FE |} Se miden y se usan para calcular la distancia deseada. $${\ displaystyle | AB | = {\ frac {| AC || FE |} {| FC |}}}.

Líneas paralelas en triángulos y trapezoides [ editar ]

El teorema de intercepción se puede usar para probar que una determinada construcción produce líneas (segmentos) paralelas.

Si los puntos medios de los dos lados del triángulo están conectados, el segmento de línea resultante es paralelo al tercer lado del triángulo.

Si los puntos medios de los dos lados no paralelos de un trapecio están conectados, entonces el segmento de línea resultante es paralelo a los otros dos lados del trapecio.

Demostración del teorema [ editar ]

Una prueba elemental del teorema usa triángulos de área igual para derivar las declaraciones básicas sobre las razones (reclamación 1). Las otras reclamaciones luego siguen aplicando la primera reclamación y la contradicción. ^[4]

Reclamo 1 [ editar ]

Ya que $${\ displaystyle CA \ paralelo BD}, las altitudes de $${\ displaystyle \ triángulo CDA} y $${\ displaystyle \ triangle CBA}Son de igual longitud. Como esos triángulos comparten la misma línea de base, sus áreas son idénticas. Entonces tenemos$${\ displaystyle | \ triangle CDA | = | \ triangle CBA |} y por lo tanto $${\ displaystyle | \ triangle SCB | = | \ triangle SDA |}también. Esto produce $${\ displaystyle {\ frac {| \ triangle SCA |} {| \ triangle CDA |}} = {\ frac {| \ triangle SCA |} {| \ triangle CBA |}}} y $${\ displaystyle {\ frac {| \ triangle SCA |} {| \ triangle SDA |}} = {\ frac {| \ triangle SCA |} {| \ triangle SCB |}}} Enchufando la fórmula para áreas triangulares ($${\ displaystyle {\ tfrac {{\ text {baseline}} \ cdot {\ text {altitud}}} {2}}}) transforma eso en $${\ displaystyle {\ frac {| SC || AF |} {| CD || AF |}} = {\ frac {| SA || EC |} {| AB || EC |}}} y $${\ displaystyle {\ frac {| SC || AF |} {| SD || AF |}} = {\ frac {| SA || EC |} {| SB || EC |}}} Cancelar los resultados de factores comunes en: (una) $${\ displaystyle \, {\ frac {| SC |} {| CD |}} = {\ frac {| SA |} {| AB |}}} y B) $${\ displaystyle \, {\ frac {| SC |} {| SD |}} = {\ frac {| SA |} {| SB |}}} Ahora usa (b) para reemplazar $${\ displaystyle | SA |} y $${\ displaystyle | SC |} en un): $${\ displaystyle {\ frac {\ frac {| SA || SD |} {| SB |}} {| CD |}} = {\ frac {\ frac {| SB || SC |} {| SD |}} {| AB |}}} Usando (b) de nuevo, esto se simplifica a: (c) $${\ displaystyle \, {\ frac {| SD |} {| CD |}} = {\ frac {| SB |} {| AB |}}} $${\ displaystyle \, \ square}

Reclamo 2 [ editar ]

Dibuja un paralelo adicional a $${\ displaystyle SD} a través de A. Este paralelo se cruza $${\ displaystyle BD} en G. Entonces uno tiene $${\ displaystyle | AC | = | DG |} y debido a reclamar 1 $${\ displaystyle {\ frac {| SA |} {| SB |}} = {\ frac {| DG |} {| BD |}}} y por lo tanto $${\ displaystyle {\ frac {| SA |} {| SB |}} = {\ frac {| AC |} {| BD |}}} $${\ displaystyle \ square}

Reclamo 3 [ editar ]

Asumir $${\ displaystyle AC} y $${\ displaystyle BD}no son paralelos Entonces la línea paralela a$${\ displaystyle AC} mediante $${\ displaystyle D} intersecta $${\ displaystyle SA} en $${\ displaystyle B_ {0} \ neq B}. Ya que$${\ displaystyle | SB |: | SA | = | SD |: | SC |} es cierto, tenemos  $${\ displaystyle | SB | = {\ frac {| SD || SA |} {| SC |}}} y por otro lado de la reivindicación 2 tenemos  $${\ displaystyle | SB_ {0} | = {\ frac {| SD || SA |} {| SC |}}}.  Asi que$${\ displaystyle B} y $${\ displaystyle B_ {0}} están en el mismo lado de $${\ displaystyle S} y tienen la misma distancia para $${\ displaystyle S}, lo que significa $${\ displaystyle B = B_ {0}}. Esto es una contradicción, por lo que el supuesto no podría haber sido cierto, lo que significa$${\ displaystyle AC} y $${\ displaystyle BD} son de hecho paralelos $${\ displaystyle \ square}

Reclamo 4 [ editar ]

La reivindicación 4 se puede mostrar aplicando el teorema de intercepción para dos líneas.

En geometría , el teorema japonés establece que no importa cómo se triangule un polígono cíclico , la suma de inradii de triángulos es constante . ^{[1] : p. 193}

suma de los radios de los círculos verdes = suma de los radios de los círculos rojos

A la inversa, si la suma de inradii es independiente de la triangulación, entonces el polígono es cíclico. El teorema japonés sigue el teorema de Carnot ; se trata de un problema Sangaku .

Prueba [ editar ]

Este teorema puede probarse probando primero un caso especial: no importa cómo se triangule un cuadriláterocíclico , la suma de inradii de triángulos es constante.

Después de probar el caso cuadrilátero, el caso general del teorema del polígono cíclico es un corolario inmediato. La regla del cuadrilátero se puede aplicar a los componentes del cuadrilátero de una partición general de un polígono cíclico, y la aplicación repetida de la regla, que "voltea" una diagonal, generará todas las particiones posibles de cualquier partición dada, y cada "flip" conservará la suma de los inradios.

El caso del cuadrilátero se deriva de una simple extensión del teorema japonés para cuadriláteros cíclicos , que muestra que un rectángulo está formado por los dos pares de incentivos que corresponden a las dos posibles triangulaciones del cuadrilátero. Los pasos de este teorema no requieren nada más allá de la geometría euclidiana constructiva básica. ^[2]

Con la construcción adicional de un paralelogramo que tiene lados paralelos a las diagonales, y tangente a las esquinas del rectángulo de incentivos, el caso cuadrilátero del teorema del polígono cíclico se puede probar en unos pocos pasos. La igualdad de las sumas de los radios de los dos pares es equivalente a la condición de que el paralelogramo construido sea un rombo, y esto se muestra fácilmente en la construcción.

Otra prueba del caso cuadrilátero está disponible debido a Wilfred Reyes (2002). ^[3] En la prueba, tanto el teorema japonés para los cuadriláteros cíclicos como el caso cuadrilátero del teorema del polígono cíclico están probados como consecuencia del problema III de Thébault .