En geometría , el teorema de los seis círculos se relaciona con una cadena de seis círculos juntos con un triángulo , de manera que cada círculo es tangente a los dos lados del triángulo y también al círculo precedente en la cadena. La cadena se cierra, en el sentido de que el sexto círculo es siempre tangente al primer círculo. [1]
El nombre también puede referirse al teorema de los seis círculos de Miquel , el resultado de que si los cinco círculos tienen cuatro puntos de intersección triples, los cuatro puntos de intersección restantes se encuentran en un sexto círculo.
Teorema ( Skoda , [1] El Mir, [2] Sibony [3] ). Deje que X sea un colector compleja , y E un completo cerrado conjunto pluripolar en X . Considere una corriente positiva cerrada en que es localmente integrable en torno E . Entonces la extensión trivial dea X está cerrado en X .
teorema de la suavidad establece que cada 3-manifold hiperbólico completo con un grupo fundamental finamente generado es topológicamente domesticado , en otras palabras, homeomorfo al interior de un 3-colector compacto .
El teorema de la mansedumbre fue conjeturado por Marden (1974) . Fue probado por Agol (2004) y, independientemente, por Danny Calegari y David Gabai . Es una de las propiedades fundamentales de las múltiples variedades hiperbólicas geométricas infinitas, junto con el teorema de densidad para grupos kleinianosy el teorema de la laminación final . También implica la conjetura de la medida de Ahlfors .
Historia [ editar ]
La suavidad topológica puede verse como una propiedad de los extremos de la variedad, es decir, que tiene una estructura de producto local. Una declaración análoga es bien conocida en dos dimensiones, es decir, para superficies . Sin embargo, como muestra el ejemplo de la esfera cornuda de Alexander , hay incrustaciones salvajes entre 3 variedades, por lo que esta propiedad no es automática.
Albert Marden planteó la conjetura en forma de pregunta , y demostró que cualquier 3-múltiple hiperbólico geométricamente finito es topológicamente dócil. La conjetura también se llamaba la conjetura de Marden o la conjetura de los extremos dóciles .
Había habido un progreso constante en la comprensión de la mansedumbre antes de que se resolviera la conjetura. Los resultados parciales fueron obtenidos por Thurston , Brock, Bromberg, Canary, Evans, Minsky, Ohshika. [ Cita requerida ] Una condición suficiente importante para docilidad en términos de splittings del grupo fundamental había sido obtenido por Bonahon . [ cita requerida ]
La conjetura fue probada en 2004 por Ian Agol , e independientemente, por Danny Calegari y David Gabai. La prueba de Agol se basa en el uso de múltiples curvaturas negativas pellizcadas y en el truco de la "piratería de discos" de Canary que permite reemplazar un extremo comprimible por un incompresible, para el cual ya se ha probado la conjetura. La prueba de Calegari-Gabai se centra en la existencia de ciertas superficies cerradas, no curvas de manera positiva, que denominan "envolturas retráctiles".
El teorema de Thébault es el nombre dado a uno de los problemas de geometría propuestos por el matemático francés Victor Thébault , conocido individualmente como el problema I, II y III de Thébault.
El problema de Thébault I [ editar ]
Dado cualquier paralelogramo , construya en sus lados cuatro cuadradosexternos al paralelogramo. El cuadrilátero formado al unir los centros de esos cuatro cuadrados es un cuadrado. [1]
El problema de Thébault II [ editar ]
Dado un cuadrado, construye triángulos equiláteros en dos bordes adyacentes, ambos dentro o ambos fuera del cuadrado. Entonces el triángulo formado al unir el vértice del cuadrado distante de ambos triángulos y los vértices de los triángulos distantes del cuadrado es equilátero. [2]
El problema de Thébault III [ editar ]
Dado cualquier triángulo ABC, y cualquier punto M en BC, construye el círculo y circunferencia del triángulo. Luego, construye dos círculos adicionales, cada uno tangente a AM, BC y al circuncírculo. Entonces sus centros y el centro del incircle son colineales. [3] [4]
Hasta 2003, la academia consideraba que este tercer problema de Thébault era el más difícil de probar . Fue publicado en el American Mathematical Monthly en 1938, y fue probado por el matemático holandés H. Streefkerk en 1973. Sin embargo, en 2003, Jean-Louis Ayme descubrió que Y. Sawayama, un instructor en la Escuela Militar Central de Tokio, propuso de manera independiente. resolvió este problema en 1905. [5]
En Shay Gueron (2002) se encuentra una versión "externa" de este teorema, donde el incírculo es reemplazado por un círculo y los dos círculos adicionales son externos al circuncírculo. [6] Una prueba basada en el teorema de Casey está en el documento.
teorema del cubo es una condición para que un paquete de líneas sobre un producto de tres variedades completas sea trivial. Fue un principio descubierto, en el contexto de la equivalencia lineal , por la escuela italiana de geometría algebraica . La versión final del teorema del cubo fue publicada por primera vez por Lang (1959) , quien se la acreditó a André Weil . Kleiman (2005) ha dado una discusión de la historia . Mumford (2008) dio un tratamiento por medio de la cohomología de la gavilla y una descripción en términos del funtor de Picard .
El teorema establece que para cualquier variedad completa U , V y W sobre un campo algebraicamente cerrado, y dados los puntos u , v y w en ellos, cualquier gavilla invertible L que tenga una restricción trivial a cada una de U × V × { w }, U × { v } × W , y { u } × V × W, es en sí trivial. (Mumford p. 55; el resultado es un poco más fuerte, ya que una de las variedades no necesita estar completa y se puede reemplazar por un esquema conectado).
Nota: En un espacio anillado X , una gavilla inversible L es trivial si isomorfo a O X , como O X -módulo. Si la base X es una variedad compleja , entonces una gavilla invertible es (la gavilla de secciones de) un haz de líneas holomórficas , y trivial significa holomorfamente equivalente a un haz trivial , no solo topológicamente equivalente.
El teorema de la plaza ( Lang 1959 ) ( Mumford 2008 , p.59) es un corolario (también debido a Weil) que se aplica a una variedad A abeliana . Una versión indica que la función φ L que toma x ∈ A a T *
x L ⊗ L −1 es un homomorfismo de grupo de A a Pic ( A ) (donde T *
x es la traducción de x en paquetes de líneas).
x L ⊗ L −1 es un homomorfismo de grupo de A a Pic ( A ) (donde T *
x es la traducción de x en paquetes de líneas).
El resultado de Weil se ha reexpresado en términos de biextensiones , un concepto que ahora se usa generalmente en la teoría de la dualidad de las variedades abelianas .
Teorema Egregio de Gauss (en latín, " Teorema notable ") es un resultado importante de la geometría diferencial probada por Carl Friedrich Gauss que se refiere a la curvatura de las superficies. El teorema es que la curvatura gaussiana se puede determinar completamente midiendo ángulos, distancias y sus velocidades en una superficie, sin hacer referencia a la manera particular en que la superficie está incrustada en el espacio euclidiano tridimensional ambiente. En otras palabras, la curvatura gaussiana de una superficie no cambia si uno dobla la superficie sin estirarla. Así, la curvatura gaussiana es un invariante intrínseco. de una superficie.
Gauss presentó el teorema de esta manera (traducido del latín):
- De este modo, la fórmula del artículo anterior lleva al notable teorema. Si se desarrolla una superficie curva sobre cualquier otra superficie, la medida de la curvatura en cada punto se mantiene sin cambios.
El teorema es "notable" porque la definición inicial de la curvatura gaussiana hace uso directo de la posición de la superficie en el espacio. Por lo tanto, es bastante sorprendente que el resultado no dependa de su incrustación a pesar de todas las deformaciones por flexión y torsión sufridas.
En la terminología matemática moderna, el teorema puede expresarse como sigue:
- La curvatura gaussiana de una superficie es invariante bajo la isometría local .
Aplicaciones elementales [ editar ]
Una esfera de radio R tiene una curvatura gaussiana constante que es igual a 1 / R 2 . Al mismo tiempo, un plano tiene cero curvatura gaussiana. Como corolario de Theorema Egregium, una hoja de papel no puede doblarse sobre una esfera sin arrugarse. Por el contrario, la superficie de una esfera no se puede desplegar en un plano sin distorsionar las distancias. Si se debe pisar una cáscara de huevo vacía, sus bordes tienen que dividirse en expansión antes de ser aplanados. Matemáticamente, una esfera y un plano no son isométricos , incluso localmente. Este hecho es de enorme importancia para la cartografía : implica que ningún mapa plano (plano) de la Tierra puede ser perfecto, incluso para una porción de la superficie de la Tierra. Asi cadaLa proyección cartográficanecesariamente distorsiona al menos algunas distancias. [1]El catenoide y el helicoide son dos superficies de aspecto muy diferente. Sin embargo, cada uno de ellos puede doblarse continuamente en el otro: son localmente isométricos. De Theorema Egregium se deduce que, bajo esta curva, la curvatura gaussiana en cualquiera de los dos puntos correspondientes de la catenoide y el helicoide es siempre la misma. Por lo tanto, la isometría es simplemente doblar y torcer una superficie sin arrugas o desgarros internos, en otras palabras, sin tensión, compresión o corte adicionales.Una aplicación del Theorema Egregium se ve cuando un objeto plano está algo doblado o doblado a lo largo de una línea, creando rigidez en la dirección perpendicular. Esto es de uso práctico en la construcción, así como en una estrategia común para comer pizza : una rebanada plana de pizza se puede ver como una superficie con una constante curvatura gaussiana 0. Doblar suavemente una rebanada debe mantener esta curvatura aproximadamente (asumiendo la curva) es aproximadamente una isometría local). Si uno dobla una división horizontalmente a lo largo de un radio, las curvaturas principales no son cerose crean a lo largo de la curva, dictando que la otra curvatura principal en estos puntos debe ser cero. Esto crea rigidez en la dirección perpendicular al pliegue, un atributo deseable al comer pizza, ya que mantiene su forma el tiempo suficiente para ser consumido sin un desorden. Este mismo principio se utiliza para reforzar los materiales corrugados , el tablero de fibras corrugado más conocido y el hierro galvanizado corrugado , [2] y en algunas formas de papas fritas .
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