El teorema de Viviani , llamado así por Vincenzo Viviani , establece que la suma de las distancias desde cualquier punto interior a los lados de un triángulo equilátero es igual a la longitud de la altitud del triángulo .
Prueba [ editar ]
Esta prueba depende de la proposición fácilmente demostrada de que el área de un triángulo es la mitad de su base por su altura, es decir, la mitad del producto de un lado con la altitud desde ese lado.
Sea ABC un triángulo equilátero cuya altura es h y cuyo lado es a .
Sea P cualquier punto dentro del triángulo, y u, s, t las distancias de P desde los lados. Dibuja una línea de P a cada una de A, B y C, formando tres triángulos PAB, PBC y PCA.
Ahora, las áreas de estos triángulos son , y . Ellos llenan exactamente el triángulo envolvente, por lo que la suma de estas áreas es igual al área del triángulo envolvente. Para que podamos escribir:
y por lo tanto
- u + s + t = h.
Converse [ editar ]
Lo contrario también es válido: si la suma de las distancias desde un punto interior de un triángulo a los lados es independiente de la ubicación del punto, el triángulo es equilátero. [2]
Aplicaciones [ editar ]
El teorema de Viviani significa que las líneas paralelas a los lados de un triángulo equilátero dan coordenadas para hacer diagramas ternarios , como los diagramas de inflamabilidad .
Extensiones [ editar ]
Paralelogramo [ editar ]
La suma de las distancias desde cualquier punto interior de un paralelogramo a los lados es independiente de la ubicación del punto. Lo contrario también es válido: si la suma de las distancias desde un punto en el interior de un cuadrilátero a los lados es independiente de la ubicación del punto, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. [2]
El resultado generaliza a cualquier 2 n -gon con lados opuestos paralelos. Dado que la suma de distancias entre cualquier par de lados paralelos opuestos es constante, se deduce que la suma de todas las sumas por pares entre los pares de lados paralelos también es constante. Lo contrario en general no es cierto, ya que el resultado es válido para un hexágono equilátero , que no necesariamente tiene lados opuestos paralelos.
Polígono regular [ editar ]
Si un polígono es regular (tanto equiangular como equilátero ), la suma de las distancias a los lados desde un punto interior es independiente de la ubicación del punto. Específicamente, es igual a n veces el apotema , donde n es el número de lados y el apotema es la distancia desde el centro hacia un lado. [2] [3] Sin embargo, lo contrario no se cumple; El paralelogramo no cuadrado es un contraejemplo. [2]
Polígono equiangular [ editar ]
La suma de las distancias desde un punto interior a los lados de un polígono equiangular no depende de la ubicación del punto. [1]
Polígono convexo [ editar ]
Una condición necesaria y suficiente para que un polígono convexo tenga una suma constante de distancias desde cualquier punto interior a los lados es que existen tres puntos interiores no colineales con sumas iguales de distancias. [1]
Poliedro regular [ editar ]
La suma de las distancias desde cualquier punto en el interior de un poliedro regular a los lados es independiente de la ubicación del punto. Sin embargo, lo contrario no es válido, ni siquiera para los tetraedros .
el teorema de Wendel , llamado así por James G. Wendel, da la probabilidad de que los N puntos distribuidos uniformemente al azar en una hipersfera n- dimensional seencuentren en la misma "mitad" de la hipersfera. En otras palabras, uno busca la probabilidad de que haya un espacio de medio espacio con el origen en su límite que contenga todos los N puntos. El teorema de Wendel dice que la probabilidad es [1]
La declaración es equivalente a siendo la probabilidad de que el origen no esté contenido en el casco convexo de los puntos N y se mantiene para cualquier distribución de probabilidad en R n que sea invariante rotacionalmente alrededor del origen.
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