GEOMETRÍA - TEOREMAS EN GEOMETRÍA

teorema de Chow-Rashevskii (también conocido como teorema de Chow) afirma que cualquiera de los dos puntos de una variedad sub-riemanniana conectada están conectados por una trayectoria horizontal en la variedad. Lleva el nombre de Wei-Liang Chow, quien lo demostró en 1939 , y Petr Konstanovich Rashevskii , quien lo demostró de manera independiente en 1938 .

El teorema tiene una serie de afirmaciones equivalentes, una de las cuales es que la topología inducida por la métrica de Carnot-Carathéodory es equivalente a la topología intrínseca (localmente euclidiana) de la variedad. Una afirmación más fuerte que implica el teorema es el teorema de la caja de pelota . Ver, por ejemplo, Montgomery (2006) y Gromov (1996) .

Un empaque circular para una gráfica plana de cinco vértices.

El teorema de empaquetamiento de círculos (también conocido como el teorema de Koebe-Andreev-Thurston ) describe las posibles relaciones de tangencia entre los círculos en el plano cuyos interiores están separados. Un empaque circular es una colección de círculos conectados (en general, en cualquier superficie de Riemann) cuyos interiores están separados. El gráfico de intersección de un círculo de relleno es el gráfico que tiene un vértice para cada círculo y un bordepara cada par de círculos que son tangentes . Si el círculo de relleno está en el plano, o, de manera equivalente, en la esfera, su gráfico de intersección se llama gráfico de moneda; de manera más general, los gráficos de intersección de objetos geométricos con separación interior se llaman gráficos de tangencia o gráficos de contacto . Las gráficas de monedas siempre están conectadas, son simples y planas . El teorema de empaquetamiento de círculo establece que estos son los únicos requisitos para que un gráfico sea un gráfico de monedas:

Circle embalaje teorema : Por cada grafo plano sencillo conectado Ghay un embalaje círculo en el plano cuya intersección gráfica es ( isomorfo a) G .

Unicidad [ editar ]

Un gráfico plano máximo G es un gráfico plano simple finito al que no se pueden agregar más bordes al tiempo que se conserva la planaridad. Tal gráfico siempre tiene una incrustación plana única, en la que cada cara de la incrustación (incluida la cara exterior) es un triángulo. En otras palabras, cada gráfica planar máxima G es el esqueleto 1 de un complejo simplicial que es homeomorfo para la esfera. El teorema de círculo embalaje garantiza la existencia de un círculo de embalaje con un número finito de círculos cuya gráfica intersección es isomorfo a G . Como el siguiente teorema establece más formalmente, cada gráfica planar máxima puede tener como máximo un empaquetamiento.

Teorema de Koebe – Andreev – Thurston : si G es un gráfico planar máximo finito, entonces el empaquetado circular cuyo gráfico de tangencia es isomorfo a G es único, hasta transformaciones de Möbius y reflexiones en líneas.

Thurston ^[1] observa que esta singularidad es una consecuencia del teorema de rigidez de Mostow . Para ver esto, sea G representado por un círculo de embalaje. Luego, el plano en el que se empaquetan los círculos se puede ver como el límite de un modelo de medio espacio para el espacio hiperbólico tridimensional ; con esta vista, cada círculo es el límite de un plano dentro del espacio hiperbólico. De este modo, se puede definir un conjunto de planos disjuntos a partir de los círculos de la empaquetadura, y un segundo conjunto de planos disjuntos definidos por los círculos que circunscriben cada espacio triangular entre tres de los círculos de la empaquetadura. Estos dos conjuntos de planos se encuentran en ángulos rectos y forman los generadores.de un grupo de reflexión cuyo dominio fundamental puede verse como una variedad hiperbólica . Por la rigidez de Mostow, la estructura hiperbólica de este dominio está determinada de forma única, hasta la isometría del espacio hiperbólico; Estas isometrías, cuando se ven en términos de sus acciones en el plano euclidiano en el límite del modelo del semiplano, se traducen en transformaciones de Möbius.

También hay una prueba más elemental de la misma propiedad de singularidad, basada en el principio máximo y en la observación de que, en el triángulo que conecta los centros de tres círculos mutuamente tangentes, el ángulo formado en el centro de uno de los círculos disminuye monótonamente en su radio y monótono aumentando en los otros dos radios. Dados dos paquetes para el mismo gráfico G , uno puede aplicar reflexiones y transformaciones de Möbius para hacer que los círculos externos en estos dos paquetes se correspondan entre sí y tengan los mismos radios. Entonces, sea v un vértice interior de G para el cual los círculos en los dos empaques tienen tamaños que están tan alejados como sea posible: es decir, elija v para maximizar la relación r₁/ r ₂ de los radios de sus círculos en las dos empaquetaduras. Para cada cara triangular de G que contiene v , se deduce que el ángulo en el centro del círculo para v en el primer empaque es menor o igual al ángulo en el segundo empaque, con igualdad solo cuando los otros dos círculos que forman el El triángulo tiene la misma relación r ₁ / r ₂ de radios en las dos empaquetaduras. Pero la suma de los ángulos de todos estos triángulos que rodean el centro del triángulo debe ser 2π en ambas empaquetaduras, por lo que todos los vértices vecinos a vdeben tener la misma relación que vsí mismo. Al aplicar a su vez el mismo argumento a estos otros círculos, se deduce que todos los círculos en ambos empaques tienen la misma proporción. Pero los círculos externos se han transformado para tener una relación 1, por lo que r ₁ / r ₂  = 1 y los dos empaques tienen radios idénticos para todos los círculos.

Relaciones con la teoría de la representación conforme [ editar ]

Las empaquetaduras circulares se pueden utilizar para aproximar asignaciones conformes entre dominios especificados. Cada círculo a la izquierda corresponde a un círculo a la derecha.

Un mapa conforme entre dos conjuntos abiertos en el plano o en un espacio de dimensión superior es una función continuade un conjunto a otro que preserva los ángulos entre cualquiera de las dos curvas. El teorema de mapeo de Riemann , formulado por Bernhard Riemann en 1851, establece que, para cualquiera de los dos discos topológicos abiertos en el plano, existe un mapa conforme de un disco al otro. Las asignaciones conformes tienen aplicaciones en generación de mallas , proyección de mapas y otras áreas. Sin embargo, no siempre es fácil construir una asignación conforme entre dos dominios dados de una manera explícita. ^[2]

En la conferencia de Bieberbach en 1985, William Thurston conjeturó que las empaquetaduras circulares podrían utilizarse para aproximar los mapas conformes. Más precisamente, Thurston usó empaquetaduras circulares para encontrar un mapeo conforme desde un disco abierto arbitrario A hasta el interior de un círculo; el mapeo de un disco topológico A a otro disco B se puede encontrar al componer el mapa de A a un círculo con el inverso del mapa de B a un círculo. ^[2]

La idea de Thurston era empaquetar círculos de algún radio pequeño r en una teselación hexagonal del plano, dentro de la región A , dejando una región estrecha cerca del límite de A , de ancho r , donde ya no caben más círculos de este radio. Luego, construye un gráfico G máximo a partir del gráfico de intersección de los círculos, junto con un vértice adicional adyacente a todos los círculos en el límite del empaque. Por el teorema de empaquetamiento de círculos, este gráfico planar puede representarse mediante un empaquetamiento de círculos Cen el que todos los bordes (incluidos los que inciden en el vértice del límite) están representados por tangencias de círculos. Los círculos de la empaquetadura de A corresponden uno a uno con los círculos de C , excepto por el círculo límite de C que corresponde al límite de A . Esta correspondencia de círculos se puede usar para construir una función continua de A a C en la que cada círculo y cada espacio entre tres círculos se asigna de un paquete a otro mediante una transformación de Möbius . Thurston conjeturó que, en el límite cuando el radio r se aproxima a cero, las funciones de A a Cconstruido de esta manera se aproximaría a la función conforme dada por el teorema de mapeo de Riemann. ^[2]

La conjetura de Thurston fue probada por Rodin & Sullivan (1987) . Más precisamente, demostraron que, como ntiende a infinito, la función f _n determina utilizando el método de Thurston de envases hexagonales de radio-1 / ncírculos converge uniformemente sobre subconjuntos compactos de A a un mapa conformal de A a C . ^[2]

A pesar del éxito de la conjetura de Thurston, las aplicaciones prácticas de este método se han visto obstaculizadas por la dificultad de calcular los empaquetamientos circulares y por su velocidad de convergencia relativamente lenta. Sin embargo, tiene algunas ventajas cuando se aplica a dominios no conectados simplemente y al seleccionar aproximaciones iniciales para técnicas numéricas que computan los mapeos de Schwarz-Christoffel , una técnica diferente para el mapeo conforme de dominios poligonales . ^[2]

Pruebas [ editar ]

Hay muchas pruebas conocidas del teorema del empaquetamiento del círculo. La prueba original de Paul Koebese basa en su teorema de uniformización conforme que dice que un dominio plano finamente conectado es equivalente equivalente a un dominio de círculo. Hay varias pruebas topológicas diferentes que se conocen. La prueba de Thurston se basa en el teorema del punto fijo de Brouwer . También hay una prueba que utiliza una variante discreta del método de Perron para construir soluciones al problema de Dirichlet . Yves Colin de Verdièredemostró ^[3] la existencia del empaquetado circular como minimizador de una función convexa en un determinado espacio de configuración.

Aplicaciones [ editar ]

El teorema de empaquetamiento circular es una herramienta útil para estudiar diversos problemas en geometría plana, asignaciones conformes y gráficos planares. Una prueba elegante del teorema del separador planar , originalmente debido a Lipton y Tarjan, ^[4] se ha obtenido de esta manera. ^[5] Otra aplicación del teorema del empaquetamiento circular es que los límites no sesgados de los gráficos planares de grado acotado son casi seguramente recurrentes. ^[6] Otras aplicaciones incluyen implicaciones para el tiempo de cobertura . ^[7] y estimaciones para el mayor valor propio de los gráficos de género acotado . ^[8]

En el dibujo de gráfico , el empaquetado circular se ha utilizado para encontrar dibujos de gráficos planos con resolución angular acotada ^[9] y con número de pendiente acotado . ^[10] El teorema de Fáry , que cada gráfico que se puede dibujar sin cruces en el plano usando bordes curvos también se puede dibujar sin cruces usando bordes de segmentos de línea recta , sigue como un corolario del teorema de empaquetamiento de círculo: colocando vértices en los centros De los círculos y dibujando bordes rectos entre ellos, se obtiene una inserción plana en línea recta.

Un poliedro y su midsfera. El teorema de empaquetamiento de círculos implica que cada gráfica poliédrica puede representarse como la gráfica de un poliedro que tiene una midsfera.

Una forma más fuerte del teorema de empaquetamiento de círculo afirma que cualquier gráfico poliédrico y su gráfico dual pueden representarse mediante dos empaquetados de círculo, de manera que los dos círculos tangentes que representan un borde del gráfico primigenio y los dos círculos tangentes que representan el dual del mismo borde siempre tienen sus tangencias en ángulos rectos entre sí en el mismo punto del plano. Se puede usar un empaque de este tipo para construir un poliedro convexo que represente el gráfico dado y que tenga una midsfera , una esfera tangente a todos los bordes del poliedro.. A la inversa, si un poliedro tiene una media esfera, entonces los círculos formados por las intersecciones de la esfera con las caras del poliedro y los círculos formados por los horizontes en la esfera vistos desde cada vértice del poliedro forman un doble relleno de este tipo.

Aspectos algorítmicos [ editar ]

Collins y Stephenson (2003) describen un algoritmo de relajaciónnumérico para encontrar empaquetamientos de círculo, basados ​​en ideas de William Thurston. La versión del problema de empaquetado circular que resuelven toma como entrada un gráfico plano, en el que todas las caras internas son triángulos y para las que los vértices externos se han etiquetado con números positivos. Produce como salida un empaquetado de círculos cuyas tangencias representan el gráfico dado, y para el cual los círculos que representan los vértices externos tienen los radios especificados en la entrada. Como sugieren, la clave del problema es calcular primero los radios de los círculos en el empaque; Una vez que se conocen los radios, las posiciones geométricas de los círculos no son difíciles de calcular. Comienzan con un conjunto de radios tentativos que no corresponden a un embalaje válido, y luego realizan repetidamente los siguientes pasos:

1. Elija un vértice interno v del gráfico de entrada.
2. Calcule el ángulo total θ que sus k círculos circundantes cubrirían alrededor del círculo para v , si los vecinos se colocaran tangentes entre sí y con el círculo central usando sus radios tentativos.
3. Determine un radio representativo r para los círculos vecinos, de modo que k círculos de radio r den el mismo ángulo de cobertura θ que los vecinos de v .
4. Establezca el nuevo radio para que v sea ​​el valor para el que k círculos de radio r darían un ángulo de cobertura de exactamente 2π.

Cada uno de estos pasos se puede realizar con cálculos trigonométricos simples, y como argumentan Collins y Stephenson, el sistema de radios converge rápidamente a un punto fijo único para el cual todos los ángulos de cobertura son exactamente 2π. Una vez que el sistema ha convergido, los círculos se pueden colocar uno a la vez, en cada paso utilizando las posiciones y los radios de dos círculos vecinos para determinar el centro de cada círculo sucesivo.

Mohar (1993) describe una técnica iterativa similar para encontrar empaquetamientos simultáneos de un gráfico poliédrico y su doble, en el que los círculos duales están en ángulos rectos a los círculos primarios. Demuestra que el método toma tiempo polinomial en el número de círculos y en el registro 1 / ε, donde ε es un límite en la distancia de los centros y radios del empaque calculado de aquellos en un empaque óptimo.

Generalizaciones [ editar ]

El teorema de empaquetamiento circular se generaliza a gráficos que no son planos. Si G es un gráfico que puede ser embebido en una superficie S , entonces no es una constante curvatura de Riemann métrica d en S y un círculo embalaje en ( S ,  d ) cuya gráfica contactos es isomorfo a G . Si S está cerrado ( compacto y sin límite) y G es una triangulación de S , entonces ( S ,  d ) y el empaque son únicos hasta la equivalencia conforme. Si ses la esfera, entonces esta equivalencia depende de las transformaciones de Möbius; si es un toro, entonces la equivalencia es escalada por una constante e isometrías, mientras que si S tiene un género de al menos 2, entonces la equivalencia es hasta isometrías.

Otra generalización del teorema de empaquetamiento de círculos implica reemplazar la condición de tangencia con un ángulo de intersección específico entre los círculos correspondientes a los vértices vecinos. Una versión particularmente elegante es la siguiente. Supongamos que G es un gráfico plano finito conectado a 3 (es decir, un gráfico poliédrico ), entonces hay un par de empaquetaduras circulares, una cuya gráfica de intersección es isomorfa a G , otra cuya gráfica de intersección es isomorphic al dual plano de G , y para cada vértice en Gy la cara adyacente a ella, el círculo en el primer empaquetamiento correspondiente al vértice se intersecta ortogonalmente con el círculo en el segundo empaquetamiento correspondiente a la cara. ^[11] Por ejemplo, la aplicación de este resultado a la gráfica del tetraedro da, para cualquiera de los cuatro círculos tangentes mutuos, un segundo conjunto de cuatro círculos mutuamente tangentes, cada uno de los cuales es ortogonal a tres de los primeros cuatro. ^[12] Una generalización adicional, que reemplaza el ángulo de intersección con una distancia inversa , permite la especificación de empaquetamientos en los que se requiere que algunos círculos estén separados entre sí en lugar de cruzarlos o ser tangentes. ^[13]

Otra variedad más de generalizaciones permite formas que no son círculos. Supongamos que G  = ( V ,  E ) es un gráfico plano finito, y para cada vértice v de G corresponde una forma$${\ displaystyle K_ {v} \ subset \ mathbb {R} ^ {2}}, que es homeomorfo al disco cerrado de la unidad y cuyo límite es liso. Luego hay un embalaje$${\ displaystyle P = (K '_ {v}: v \ en V)} en el plano tal que $${\ displaystyle K '_ {v} \ cap K' _ {u} \ neq \ varnothing} si y solo si $${\ displaystyle [v, u] \ en E} y para cada $${\ displaystyle v \ en V} el conjunto $${\ displaystyle K '_ {v}} se obtiene de $${\ displaystyle K_ {v}}traduciendo y escalando. (Tenga en cuenta que en el teorema de empaquetamiento del círculo original, hay tres parámetros reales por vértice, dos de los cuales describen el centro del círculo correspondiente y uno de los cuales describen el radio, y hay una ecuación por borde. Esto también se aplica en esta generalización .) Se puede obtener una prueba de esta generalización aplicando la prueba original de Koebe ^[14] y el teorema de Brandt ^[15] y Harrington ^[16] que establecen que cualquier dominio finamente conectado es conformemente equivalente a un dominio plano cuyos componentes de borde tienen formas específicas , hasta traducciones y escalado.

Historia [ editar ]

El teorema de empaquetamiento del círculo fue probado por primera vez por Paul Koebe . ^[14] William Thurston ^[1]redescubrió el teorema del empaquetamiento de círculos, y observó que seguía el trabajo de EM Andreev . Thurston también propuso un esquema para usar el teorema de empaquetamiento de círculos para obtener un homeomorfismo de un subconjunto apropiado simplemente conectado del plano en el interior del disco de la unidad. La conjetura de Thurston para empaquetamientos de círculos es su conjetura de que el homeomorfismo convergerá con el mapeo de Riemann, ya que los radios de los círculos tienden a cero. La Conjetura de Thurston fue probada más tarde por Burton Rodin y Dennis Sullivan . ^[17] Esto llevó a una serie de investigaciones sobre extensiones del teorema de empaquetamiento de círculos, relaciones con mapeos conformes y aplicaciones.

los teoremas de Clifford , que llevan el nombre del geómetro inglés William Kingdon Clifford , son una secuencia de teoremas relacionados con las intersecciones de círculos .

Declaración del teorema [ editar ]

El primer teorema considera que cualquiera de los cuatro círculos que pasan por un punto común M y, por lo demás, en una posición general , significa que hay seis puntos adicionales donde exactamente dos de los círculos se cruzan y que no hay tres de estos puntos de cruce colineales. Cada conjunto de tres de estos cuatro círculos tiene entre ellos tres puntos de cruce, y (por el supuesto de no colinealidad) existe un círculo que pasa por estos tres puntos de cruce. La conclusión es que, al igual que el primer conjunto de cuatro círculos, el segundo conjunto de cuatro círculos definidos de esta manera todos pasan a través de un solo punto  P (en general no es el mismo punto que M ).

El segundo teorema considera cinco círculos en posición general pasa a través de un único punto M . Cada subconjunto de cuatro círculos define un nuevo punto P de acuerdo con el primer teorema. A continuación, estos cinco puntos se encuentran todos en un solo círculo  C .

La tercera teorema consideran seis círculos en posición general de que pasan a través de un único punto M . Cada subconjunto de cinco círculos define un nuevo círculo según el segundo teorema. Entonces estos seis nuevos círculos C pasan a través de un solo punto.

La secuencia de teoremas puede continuarse indefinidamente.

teorema del collage caracteriza un sistema de función iterado cuyo atractor está cerca, en relación con la métrica de Hausdorff , a un conjunto dado. El IFS descrito se compone de contracciones cuyas imágenes, como un collage o unión al mapear el conjunto dado, están arbitrariamente cerca del conjunto dado. Se suele utilizar en la compresión fractal .

Declaración del teorema [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle \ mathbb {X}}Ser un espacio métrico completo . Suponer$${\ displaystyle L} es un subconjunto no vacío y compacto de $${\ displaystyle \ mathbb {X}} y deja {\ displaystyle \ epsilon> 0}ser dado. Elija un sistema de función iterado (IFS)$${\ displaystyle \ {\ mathbb {X}; w_ {1}, w_ {2}, \ dots, w_ {N} \}} con factor de contractividad {\ displaystyle 0 \ leq s <1 font="">, (El factor de contractividad del IFS es el máximo de los factores de contractividad de los mapas $${\ displaystyle w_ {i}}.) Supongamos

$${\ displaystyle h \ left (L, \ bigcup _ {n = 1} ^ {N} w_ {n} (L) \ right) \ leq \ varepsilon,}

dónde $${\ displaystyle h (\ cdot, \ cdot)}Es la métrica de Hausdorff. Entonces

$${\ displaystyle h (L, A) \ leq {\ frac {\ varepsilon} {1-s}}}

donde A es el atractor del IFS. Equivalentemente,

$${\ displaystyle h (L, A) \ leq (1-s) ^ {- 1} h \ left (L, \ cup _ {n = 1} ^ {N} w_ {n} (L) \ right) \ quad}, para todos los no subconjuntos, subconjuntos compactos L de $${\ displaystyle \ mathbb {X}}.

Informalmente, si $${\ displaystyle L} está cerca de ser estabilizado por el IFS, entonces $${\ displaystyle L} También está cerca de ser el atractivo de la IFS.