GEOMETRÍA - TEOREMAS EN GEOMETRÍA

teorema de rigidez de Mostow , o el teorema de rigidez fuerte , o el teorema de rigidez de Mostow-Prasad , esencialmente establece que la geometría de una variedad hiperbólica completa de volumen finito de dimensión mayor que dos está determinada por el grupo fundamental y, por lo tanto, única. El teorema fue probado para manifolds cerrados por Mostow  ( 1968 ) y extendido a múltiples de volumen finito por Marden (1974) en 3 dimensiones, y por Prasad  ( 1973 ) en todas las dimensiones al menos 3. Gromov (1981)Dio una prueba alternativa utilizando la norma de Gromov .

Mientras que el teorema muestra que el espacio de deformación de las estructuras hiperbólicas (completas) en un volumen finito hiperbólico $${\ displaystyle n}-manifold (para {\ displaystyle n> 2}) es un punto, para una superficie hiperbólica del género. {\ displaystyle g> 1}hay un moduli espacio de dimension$${\ displaystyle 6g-6}que parametriza todas las métricas de curvatura constante (hasta el difeomorfismo ), un hecho esencial para la teoría de Teichmüller . También existe una rica teoría de los espacios de deformación de estructuras hiperbólicas en múltiples volúmenes infinitos en tres dimensiones.

El teorema [ editar ]

El teorema se puede dar en una formulación geométrica (perteneciente a un volumen finito, variedades completas) y en una formulación algebraica (perteneciente a las celosías en los grupos de Lie).

Forma geométrica [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}} ser el $${\ displaystyle n}Espacio hiperbólico tridimensional . Una variedad hiperbólica completa se puede definir como un cociente de$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}por un grupo de isometrías que actúan libre y apropiadamente de manera discontinua (es equivalente a definirlo como una variedad de Riemann con curvatura de sección -1 que está completa ). Es de volumen finito si su volumen es finito (por ejemplo, si es compacto). El teorema de rigidez de Mostow se puede expresar como:

Suponer $${\ displaystyle M} y $${\ displaystyle N} Son variedades hiperbólicas completas de dimensiones finitas. $${\ displaystyle n \ geq 3}. Si existe un isomorfismo. $${\ displaystyle f \ colon \ pi _ {1} (M) \ a \ pi _ {1} (N)} entonces es inducido por una isometría única de $${\ displaystyle M} a $${\ displaystyle N}.

aquí $${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}Es el grupo fundamental de un colector.$${\ displaystyle X}. Si$${\ displaystyle X} es una variedad hiperbólica obtenida como el cociente de $${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}} por un grupo $${\ displaystyle \ Gamma} entonces $${\ displaystyle \ pi _ {1} (X) \ cong \ Gamma}.

Una declaración equivalente es que cualquier equivalencia de homotopía de$${\ displaystyle M} a $${\ displaystyle N}Se puede homotopear a una isometría única. La prueba realmente muestra que si$${\ displaystyle N} tiene mayor dimensión que $${\ displaystyle M} entonces no puede haber equivalencia de homotopía entre ellos.

Forma algebraica [ editar ]

El grupo de isometrías del espacio hiperbólico. $${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}} Se puede identificar con el grupo de Lie. $${\ displaystyle \ mathrm {PO} (n, 1)}(el grupo ortogonal proyectivo de una forma cuadrática de firma $${\ displaystyle (n, 1)}. Entonces la siguiente afirmación es equivalente a la anterior.

Dejar $${\ displaystyle n \ geq 3} y $${\ displaystyle \ Gamma} y $${\ displaystyle \ Lambda}ser dos celosías en$${\ displaystyle \ mathrm {PO} (n, 1)} y supongamos que hay un isomorfismo grupal. $${\ displaystyle f \ colon \ Gamma \ to \ Lambda}. Entonces$${\ displaystyle \ Gamma} y $${\ displaystyle \ Lambda} se conjugan en $${\ displaystyle \ mathrm {PO} (n, 1)}. Es decir, existe una$${\ displaystyle g \ in \ mathrm {PO} (n, 1)} tal que $${\ displaystyle \ Lambda = g \ Gamma g ^ {- 1}}.

En mayor generalidad [ editar ]

La rigidez de Mostow se mantiene (en su formulación geométrica) más generalmente para grupos fundamentales de todos los espacios completos, finitos, localmente simétricos y de dimensión al menos 3, o en su formulación algebraica para todas las redes en grupos de Lie simples no localmente isomorfos a$${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}.

Aplicaciones [ editar ]

De ello se deduce del teorema de rigidez Mostow que el grupo de isometrías de una de volúmenes finitos hiperbólicas n -manifold M (para n > 2) es finito y isomorfo a$${\ displaystyle \ operatorname {Out} (\ pi _ {1} (M))}.

Thurston también utilizó la rigidez de Mostow para demostrar la singularidad de las representaciones de empaquetamiento de círculos de los gráficos planos triangulares ^{[ cita requerida ]} .

Una consecuencia de la rigidez de interés de Mostow en la teoría de grupos geométricos es que existen grupos hiperbólicos que son casi isométricos pero no conmensurables entre sí.

el teorema de Mukhopadhyaya puede referirse a uno de varios teoremas estrechamente relacionados sobre el número de vértices de una curva debido a Mukhopadhyaya  ( 1909 ). Una versión, llamada teorema de los cuatro vértices , establece que una curva convexa simple en el plano tiene al menos 4 vértices , y otra versión indica que una curva convexa simple en el plano afín tiene al menos 6 vértices afines.

En la geometría euclidiana , el teorema de Musselman es una propiedad de ciertos círculos definidos por un triángulo arbitrario .

Específicamente, vamos $${\ displaystyle T} ser un triángulo, y $${\ displaystyle A}, $${\ displaystyle B}y $${\ displaystyle C}sus vértices . Dejar$${\ displaystyle A ^ {*}}, $${\ displaystyle B ^ {*}}y $${\ displaystyle C ^ {*}}Ser los vértices del triángulo de reflexión. $${\ displaystyle T ^ {*}}, obtenido al reflejar cada vértice de $${\ displaystyle T}A través del lado opuesto. ^[1] Deje$${\ displaystyle O}ser el circuncentro de$${\ displaystyle T}. Considera los tres círculos.$${\ displaystyle S_ {A}}, $${\ displaystyle S_ {B}}y $${\ displaystyle S_ {C}} definido por los puntos $${\ displaystyle A \, O \, A ^ {*}}, $${\ displaystyle B \, O \, B ^ {*}}y $${\ displaystyle C \, O \, C ^ {*}}, respectivamente. El teorema dice que estos tres círculos de Musselman se encuentran en un punto$${\ displaystyle M}, eso es lo inverso con respecto al circuncentro de$${\ displaystyle T}del conjugado isogonal o el centro de nueve puntos de$${\ displaystyle T}. ^[2]

El punto comun $${\ displaystyle M}es el punto de Gilbert$${\ displaystyle T}, que es punto $${\ displaystyle X_ {1157}}En la lista de centros de triángulos de Clark Kimberling . ^[2] [3]

Historia [ editar ]

El teorema fue propuesto como un problema avanzado por John Rogers Musselman y René Goormaghtigh en 1939, ^[4] y en 1941 presentaron una prueba. ^[5] Goormaghtigh expuso y probó una generalización de este resultado. ^[6]

Generalización de Goormaghtigh [ editar ]

La generalización del teorema de Musselman por Goormaghtigh no menciona los círculos explícitamente.

Como antes, dejemos $${\ displaystyle A}, $${\ displaystyle B}y $${\ displaystyle C} ser los vértices de un triángulo $${\ displaystyle T}y $${\ displaystyle O}su circuncentro Dejar$${\ displaystyle H}ser el ortocentro de$${\ displaystyle T}, es decir, la intersección de sus tres líneas de altitud . Dejar$${\ displaystyle A '}, $${\ displaystyle B '}y $${\ displaystyle C '} ser tres puntos en los segmentos $${\ displaystyle OA}, $${\ displaystyle OB}y $${\ displaystyle OC}, tal que $${\ displaystyle OA '/ OA = OB' / OB = OC '/ OC = t}. Considera las tres líneas.$${\ displaystyle L_ {A}}, $${\ displaystyle L_ {B}}y $${\ displaystyle L_ {C}}, perpendicular a $${\ displaystyle OA}, $${\ displaystyle OB}y $${\ displaystyle OC} aunque los puntos $${\ displaystyle A '}, $${\ displaystyle B '}y $${\ displaystyle C '}, respectivamente. Dejar$${\ displaystyle P_ {A}}, $${\ displaystyle P_ {B}}y $${\ displaystyle P_ {C}} Serán las intersecciones de estas perpendiculares con las líneas. $${\ displaystyle BC}, $${\ displaystyle CA}y $${\ displaystyle AB}, respectivamente.

Joseph Neuberg , en 1884, había observado que los tres puntos$${\ displaystyle P_ {A}}, $${\ displaystyle P_ {B}}y $${\ displaystyle P_ {C}} mentir en una línea común $${\ displaystyle R}. ^[7]Deje$${\ displaystyle N} ser la proyección del circuncentro $${\ displaystyle O} en la línea $${\ displaystyle R}y $${\ displaystyle N '} el punto en $${\ displaystyle ON} tal que $${\ displaystyle ON '/ ON = t}. Goormaghtigh demostró que$${\ displaystyle N '} Es lo inverso con respecto al circuncírculo de $${\ displaystyle T} del conjugado isogonal del punto $${\ displaystyle Q}en la linea de Euler $${\ displaystyle OH}, tal que $${\ displaystyle QH / QO = 2t}. 

el teorema de Newton sobre los óvalos establece que el área cortada por una secante de un óvalo convexo suave no es una función algebraica de la secante.

Isaac Newton lo declaró como el lema 28 de la sección VI del libro 1 de los Principia de Newton , y lo usó para mostrar que la posición de un planeta que se mueve en una órbita no es una función algebraica del tiempo. Ha habido cierta controversia sobre si este teorema es correcto o no porque Newton no declaró exactamente lo que quiso decir con un óvalo, y para algunas interpretaciones de la palabra óvalo el teorema es correcto, mientras que para otros es falso. Si "óvalo" significa "curva convexa continua", entonces hay contraejemplos, como triángulos o uno de los lóbulos de Huygens lemniscate y ²  =  x ²  -  x ⁴ , mientras que Arnold (1989) señaló que si "óvalo" significa "curva convexa infinitamente diferenciable", entonces la afirmación de Newton es correcta y su argumento tiene los pasos esenciales de una prueba rigurosa.

Vassiliev (2002) generalizó el teorema de Newton a dimensiones más altas.

Declaración [ editar ]

El lemniscado de Gerono o Huygens; el área cortada por una secante es algebraica, pero el lemniscado no es suave en el origen

La declaración original de Newton de una traducción al inglés ( Newton 1966 , lemma 28 sección 6 libro I) es:

"No hay una figura ovalada cuya área, cortada por líneas rectas en el placer, pueda ser encontrada universalmente por medio de ecuaciones de cualquier número de términos y dimensiones finitas".

En el lenguaje matemático moderno, Newton probó esencialmente el siguiente teorema:

No hay una curva suave convexa (es decir, infinitamente diferenciable) de modo que el área cortada por una línea ax  +  by  =  c sea ​​una función algebraica de a , b , y  c .

En otras palabras, "óvalo" en la declaración de Newton debería significar "curva suave convexa". La diferenciabilidad infinita en todos los puntos es necesaria: para cualquier entero positivo n hay curvas algebraicas que son suaves en todo menos un punto y n diferenciables en el punto restante para el cual el área cortada por una secante es algebraica.

Newton observó que un argumento similar muestra que la longitud del arco de un óvalo (convexo suave) entre dos puntos no está dada por una función algebraica de los puntos.

La prueba de Newton [ editar ]

Si el óvalo es un círculo centrado en el origen, entonces la espiral construida por Newton es una espiral arquimediana .

Newton tomó el origen P dentro del óvalo y consideró la espiral de puntos ( r ,  θ ) en coordenadas polares cuya distancia r desde P es el área cortada por las líneas de P con ángulos 0 y  θ . Luego observó que esta espiral no puede ser algebraica ya que tiene un número infinito de intersecciones con una línea a través de P , por lo que el área cortada por una secante no puede ser una función algebraica de la secante.

Esta prueba requiere que el óvalo y, por lo tanto, la espiral sean lisos; De lo contrario, la espiral podría ser una unión infinita de piezas de diferentes curvas algebraicas. Esto es lo que sucede en los diversos "contraejemplos" del teorema de Newton para óvalos no lisos.

el teorema de Niven , el nombre de Ivan Niven , afirma que los únicos valores racionales de θen el intervalo de 0 ° ≤  θ  ≤ 90 ° para que el seno de theta  grados es también un número racional son los siguientes: ^[1]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sin 0 ^ {\ circ} & = 0, \\ [10pt] \ sin 30 ^ {\ circ} & = {\ frac {1} {2}}, \\ [ 10pt] \ sin 90 ^ {\ circ} & = 1. \ end {alineado}}}

En radianes , uno requeriría que 0 ≤  x  ≤  π / 2, que x / π sea ​​racional, y que el pecado  x sea ​​racional. La conclusión es entonces que los únicos valores de este tipo son sin 0 = 0, sin  π / 6 = 1/2, y sin  π / 2 = 1.

El teorema aparece como Corolario 3.12 en el libro de Niven sobre números irracionales . ^[2]

El teorema se extiende a las otras funciones trigonométricas también. ^[2] Para los valores racionales de θ, los únicos valores racionales del seno o coseno son 0, ± 1/2 y ± 1; Los únicos valores racionales de la secante o cosecante son ± 1 y ± 2; y los únicos valores racionales de la tangente o cotangente son 0 y ± 1.

 teorema de no exprimir , también llamado teorema de no exprimir de Gromov , es uno de los teoremas más importantes de la geometría simpléctica . ^[1] Fue probado por primera vez en 1985 por Mikhail Gromov . ^[2] El teorema establece que uno no puede incrustar una bola en un cilindro a través de un mapa simpléctico a menos que el radio de la bola sea menor o igual al radio del cilindro. La importancia de este teorema es la siguiente: se sabía muy poco acerca de la geometría detrás de las transformaciones simplécticas .

Una consecuencia fácil de que una transformación sea simpléctica es que conserva el volumen . ^[3] Uno puede incrustar fácilmente una bola de cualquier radio en un cilindro de cualquier otro radio mediante una transformación que conserve el volumen : solo imagínese apretando la bola en el cilindro (de ahí el nombre de teorema de no exprimir). Por lo tanto, el teorema de no apretar nos dice que, aunque las transformaciones simplécticas conservan el volumen, es mucho más restrictivo que una transformación sea simpléctica de lo que es la preservación del volumen.

Antecedentes y declaración [ editar ]

Comenzamos considerando los espacios simplécticos.

$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n} = \ {z = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) \},}

la bola de radio R : {\ displaystyle B (R) = \ {z \ in \ mathbb {R} ^ {2n} | \ | z \ |

y el cilindro de radio r : {\ displaystyle Z (r) = \ {z \ in \ mathbb {R} ^ {2n} | x_ {1} ^ {2} + y_ {1} ^ {2}

Cada uno dotado de la forma simpléctica.

$${\ displaystyle \ omega = dx_ {1} \ wedge dy_ {1} + \ cdots + dx_ {n} \ wedge dy_ {n}.}

Nota: La elección de los ejes para el cilindro no es arbitraria dada la forma simpléctica fija anterior; es decir, los círculos del cilindro, cada uno de ellos se encuentran en un subespacio simpléctico de$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}.

El teorema de no apretar nos dice que si podemos encontrar una inclusión simpléctica φ  :  B ( R ) →  Z ( r ), entonces R  ≤  r .

El “camello simpléctico” [ editar ]

El teorema de no exprimir de Gromov también se conoce como el principio del camello simpléctico desde que Ian Stewart se refirió a él aludiendo a la parábola del camello y el ojo de una aguja . ^[4] Como dice Maurice A. de Gosson :

Ahora, ¿por qué nos referimos a un camello simpléctico en el título de este documento? Esto se debe a que uno puede repetir el teorema de Gromov de la siguiente manera: no hay forma de deformar una bola de espacio de fase usando transformaciones canónicas de tal manera que podamos hacerla pasar a través de un agujero en un plano de coordenadas conjugadas$${\ displaystyle x_ {j}} , $${\ displaystyle p_ {j}} si el área de ese hoyo es más pequeña que la de la sección transversal de esa bola.

-  Maurice A. de Gosson, El camello simpléctico y el principio de incertidumbre: ¿La punta de un iceberg? ^[5]

Similar:

Intuitivamente, un volumen en el espacio de fase no se puede estirar con respecto a un plano simpléctico en particular más de lo que permite su "ancho simpléctico". En otras palabras, es imposible meter un camello simpléctico en el ojo de una aguja, si la aguja es lo suficientemente pequeña. Este es un resultado muy poderoso, que está íntimamente ligado a la naturaleza hamiltoniana del sistema, y ​​es un resultado completamente diferente al teorema de Liouville , que solo interesa el volumen general y no plantea ninguna restricción en la forma .

-  Andrea Censi, Camellos simplécticos y análisis de incertidumbre ^[6]

De Gosson ha demostrado que el teorema de no compresión está estrechamente relacionado con la desigualdad de Robertson-Schrödinger-Heisenberg , una generalización de la relación de incertidumbre de Heisenberg . La desigualdad de Robertson-Schrödinger-Heisenberg establece que:

$${\ displaystyle var (Q) var (P) \ geq cov ^ {2} (Q, P) + \ left ({\ frac {\ hbar} {2}} \ right) ^ {2}}

con Q y P las coordenadas canónicas y var y cov las funciones de varianza y covarianza.