En la geometría proyectiva , el teorema de Pascal (también conocido como el teorema de hexagrammum mysticum ) establece que si se eligen seis puntos arbitrarios en una cónica (que puede ser una elipse , una parábola o una hipérbola en un plano afín apropiado ) y se unen por segmentos de línea en cualquier orden para formar un hexágono , entonces los tres pares de ladosopuestos del hexágono ( extendidos si es necesario) se encuentran en tres puntos que se encuentran en una línea recta, llamada líneade Pascal del hexágono. Lleva el nombre de Blaise Pascal .
El teorema también es válido en el plano euclidiano , pero la declaración debe ajustarse para tratar los casos especiales cuando los lados opuestos son paralelos.
Variantes euclidianas [ editar ]
El escenario más natural para el teorema de Pascal está en un plano proyectivo, ya que cualquiera de las dos líneas se encuentran y no se necesitan excepciones para las líneas paralelas. Sin embargo, el teorema sigue siendo válido en el plano euclidiano, con la interpretación correcta de lo que sucede cuando algunos lados opuestos del hexágono son paralelos.
Si exactamente un par de lados opuestos del hexágono son paralelos, entonces la conclusión del teorema es que la "línea de Pascal" determinada por los dos puntos de intersección es paralela a los lados paralelos del hexágono. Si dos pares de lados opuestos son paralelos, entonces los tres pares de lados opuestos forman pares de líneas paralelas y no hay una línea de Pascal en el plano euclidiano (en este caso, la línea en el infinito del plano euclidiano extendido es la línea de Pascal el hexágono).
Resultados relacionados [ editar ]
Este teorema es una generalización del teorema de Pappus (hexágono). El teorema de Pappus es el caso especial de una cónica degenerada de dos líneas. El teorema de Pascal es el dual polar recíproco y proyectivo del teorema de Brianchon . Fue formulada por Blaise Pascal en una nota escrita en 1639, cuando tenía 16 años de edad y publicado al año siguiente como una andanada titulado " POVR les coniqves ensayo. Par BP " [1]
Un caso degenerado del teorema de Pascal (cuatro puntos) es interesante; dados los puntos ABCD en una cónica Γ , la intersección de lados alternos, AB ∩ CD , BC ∩ DA , junto con la intersección de tangentes en los vértices opuestos ( A , C ) y ( B , D ) son colineales en cuatro puntos; Las tangentes son "lados" degenerados, tomados en dos posiciones posibles en el "hexágono" y la línea de Pascal correspondiente que comparte una intersección degenerada. Esto se puede probar independientemente usando una propiedad de polo polar.. Si la cónica es un círculo, otro caso degenerado dice que para un triángulo, los tres puntos que aparecen como la intersección de una línea lateral con la línea lateral correspondiente del triángulo de Gergonne son colineales.
Seis es el número mínimo de puntos en una cónica sobre los cuales se pueden hacer declaraciones especiales, ya que cinco puntos determinan una cónica .
Lo contrario es el teorema de Braikenridge-Maclaurin , llamado así por los matemáticos británicos del siglo XVIII William Braikenridge y Colin Maclaurin ( Mills 1984 ), que establece que si los tres puntos de intersección de los tres pares de líneas a través de los lados opuestos de un hexágono se encuentran en una línea , entonces los seis vértices del hexágono se encuentran en una cónica; La cónica puede estar degenerada, como en el teorema de Pappus. [2] El teorema de Braikenridge-Maclaurin se puede aplicar en la construcción de Braikenridge-Maclaurin , que es una construcción sintética de la cónica definida por cinco puntos, variando el sexto punto.
El teorema fue generalizado por August Ferdinand Möbius en 1847, como sigue: supongamos que un polígono con 4 n + 2 lados está inscrito en una sección cónica, y pares opuestos de lados se extienden hasta que se encuentran en 2 n + 1 puntos. Luego, si 2 n de esos puntos se encuentran en una línea común, el último punto también estará en esa línea.
Hexagrammum Mysticum [ editar ]
Si se dan seis puntos desordenados en una sección cónica, se pueden conectar a un hexágono de 60 formas diferentes, lo que da como resultado 60 instancias diferentes del teorema de Pascal y 60 líneas de Pascal diferentes. Esta configuración de 60 líneas se llama el Hexagrammum Mysticum . [3]
Como lo demostró Thomas Kirkman en 1849, estas 60 líneas se pueden asociar con 60 puntos de tal manera que cada punto esté en tres líneas y cada línea contenga tres puntos. Los 60 puntos formados de esta manera ahora se conocen como los puntos de Kirkman . [4] Las líneas de Pascal también pasan, tres a la vez, a través de 20 puntos Steiner . Hay 20 líneas Cayley que consisten en un punto Steiner y tres puntos Kirkman. Los puntos Steiner también se encuentran, cuatro a la vez, en 15 líneas Plücker . Además, las 20 líneas de Cayley pasan de cuatro en cuatro a través de 15 puntos conocidos como puntos de salmón . [5]
Pruebas [ editar ]
Es suficiente probar el teorema cuando la cónica es un círculo, porque cualquier cónica (no degenerada) puede reducirse a un círculo mediante una transformación proyectiva. Esto fue realizado por Pascal, cuyo primer lema establece el teorema de un círculo. Su segundo lema afirma que lo que es verdadero en un plano permanece verdadero en la proyección a otro plano. [1] Las cónicas degeneradas siguen una continuidad (el teorema es válido para las cónicas no degeneradas y, por lo tanto, se mantiene en el límite de las cónicas degeneradas).
Una breve prueba elemental del teorema de Pascal en el caso de un círculo fue encontrada por van Yzeren (1993) , basada en la prueba en ( Guggenheimer 1967 ). Esta prueba prueba el teorema del círculo y luego lo generaliza a las cónicas.
Stefanovic (2010) encontró una prueba computacional elemental corta en el caso del plano proyectivo real .
Podemos inferir la prueba de la existencia del conjugado isogonal también. Si vamos a demostrar que X = AB ∩ DE , Y = BC ∩ EF , Z = CD ∩ FA son colineales para ABCDEF concónico , entonces observe que △ ADY y △ CYF son similares, y que X y Z se corresponderán con el isogonal Conjugar si superponemos los triángulos semejantes. Esto significa que ∠ DYX = ∠ CYZ , por lo tanto, haciendo XYZ colineal
Se puede construir una prueba corta usando preservación de relación cruzada. Al proyectar la ABCE de latétrada de la D en la línea AB , obtenemos la ABPX de la tétrada , y al proyectar la ABCE de la tétrada de la Fen la línea BC , obtenemos la TBC de la Tétrada . Por lo tanto, esto significa que R ( AB ; PX ) = R ( QB ; CY ) , donde uno de los puntos en las dos tétradas se superponen, lo que significa que otras líneas que conectan los otros tres pares deben coincidir para preservar la relación cruzada. Por lo tanto, XYZ son colineales.
Dandelin, el geómetro que descubrió las famosas esferas de Dandelin , ideó una hermosa prueba con una técnica de "elevación 3D" que es análoga a la prueba 3D del teorema de Desargues . La prueba hace uso de la propiedad de que para cada sección cónica podemos encontrar un hiperboloide de una hoja que pasa a través de la cónica.
También existe una prueba simple del teorema de Pascal para un círculo que usa la ley de los senos y la similitud.
Prueba utilizando curvas cúbicas [ editar ]
El teorema de Pascal tiene una breve prueba que utiliza el teorema de Cayley-Bacharach que, dado 8 puntos en la posición general, existe un noveno punto único, de manera que todas las cúbicas que van desde los primeros 8 también pasan por el noveno punto. En particular, si 2 cúbicos generales se intersecan en 8 puntos, entonces cualquier otro cúbico a través de los mismos 8 puntos se encuentra con el noveno punto de intersección de los dos primeros cúbicos. El teorema de Pascal sigue tomando los 8 puntos como los 6 puntos en el hexágono y dos de los puntos (por ejemplo, M y N en la figura) en la línea de Pascal, y el noveno punto como el tercer punto ( Pen la línea). figura). Los primeros dos cúbicos son dos conjuntos de 3 líneas a través de los 6 puntos en el hexágono (por ejemplo, el conjunto AB, CD, EF, y el conjunto BC, DE, FA ), y el tercer cúbico es la unión de la cónica y la línea MN . En este caso, la "novena intersección" P no puede estar en la cónica por genérico y, por lo tanto, está en MN .
El teorema de Cayley-Bacharach también se usa para probar que la operación de grupo en curvas elípticas cúbicas es asociativa. La misma operación de grupo se puede aplicar en un cono si elegimos un punto E en el cono y una línea MP en el plano. La suma de A y B se obtiene mediante la búsqueda primero el punto de intersección línea AB con MP , que es M . Siguiente A y B se suman a la segunda punta del cono con la línea de intersección EM , que es D . Por lo tanto, si Q es el segundo punto de intersección del cono con la línea EN, entonces
Así, la operación grupal es asociativa. Por otro lado, el teorema de Pascal se deriva de la fórmula de asociatividad anterior y, por lo tanto, de la asociatividad de la operación grupal de curvas elípticas por medio de continuidad.
Prueba usando el teorema de Bézout [ editar ]
Supongamos que f es el polinomio cúbico de fuga en las tres líneas a través de AB, CD, EF y g es la cúbico de fuga en las otras tres líneas BC, DE, FA . Elija un punto genérico P en la cónica y elegir λ de modo que el cúbico h = f + λg anula en P . Entonces h = 0 es un cúbico que tiene 7 puntos A, B, C, D, E, F, P en común con la cónica. Pero según el teorema de Bézout, una cúbica y una cónica tienen como máximo 3 × 2 = 6 puntos en común, a menos que tengan un componente común. Entonces el cúbico h = 0tiene un componente en común con la cónica que debe ser la propia cónica, por lo que h = 0 es la unión de la cónica y una línea. Ahora es fácil comprobar que esta línea es la línea de Pascal.
Una propiedad del hexágono de Pascal [ editar ]
Nuevamente, dado el hexágono en una cónica del teorema de Pascal con la notación anterior para los puntos (en la primera figura), tenemos [6]
Degeneraciones del teorema de Pascal [ editar ]
Existen casos degenerados de 5 puntos, 4 puntos y 3 puntos del teorema de Pascal. En un caso degenerado, dos puntos previamente conectados de la figura coincidirán formalmente y la línea de conexión se convertirá en la tangente en el punto unido. Vea los casos degenerados dados en el esquema agregado y el enlace externo en geometrías circulares . Si uno elige líneas adecuadas de las figuras de Pascal como líneas en el infinito, obtiene muchas figuras interesantes en parábolas e hipérbolas .
En geometría , el teorema de Pasch , declarado en 1882 por el matemático alemán Moritz Pasch , [1] es un resultado en la geometría plana que no puede derivarse de los postulados de Euclides .
Declaración [ editar ]
La declaración es la siguiente:
Teorema de Pasch : puntos dados a , b , c y d en una línea, si se sabe que los puntos están ordenados como ( a , b , c ) y ( b , c , d ), entonces también es cierto que ( a , b , d ). [2]
[Aquí, por ejemplo, ( a , b , c ) significa que el punto b se encuentra entre los puntos a y c .]
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