GEOMETRÍA - TEOREMAS EN GEOMETRÍA

El teorema de Menelao , llamado así por Menelao de Alejandría , es una proposición sobre los triángulos en la geometría plana . Dado un triángulo ABC y una línea transversal que cruza BC , AC y AB en los puntos D , E y F respectivamente, con D , E y F distintos de A , B y C , entonces

$${\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} \ times {\ frac {BD} {DC}} \ times {\ frac {CE} {EA}} = - 1.}

o simplemente

$${\ displaystyle AF \ times BD \ times CE = -FB \ times DC \ times EA.}

Esta ecuación utiliza longitudes de segmentos con signo, en otras palabras, la longitud AB se considera positiva o negativa según si A está a la izquierda o derecha de B en alguna orientación fija de la línea. Por ejemplo, AF / FB se define como tener un valor positivo cuando F está entre A y B y, de lo contrario, es negativo.

Lo contrario también es cierto: si los puntos D , E y F se eligen en BC , AC y AB respectivamente, de modo que

$${\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} \ times {\ frac {BD} {DC}} \ times {\ frac {CE} {EA}} = - 1,}

entonces D , E y F son colineales. Lo contrario a menudo se incluye como parte del teorema.

El teorema es muy similar al teorema de Ceva en que sus ecuaciones difieren solo en signo.

Teorema de Menelao, caso 1: la línea DEF pasa dentro del triángulo ABC

Prueba [ editar ]

Teorema de Menelao, caso 2: la línea DEF está completamente fuera del triángulo ABC

Una prueba estándar es la siguiente: ^[1]

Primero, el signo del lado izquierdo será negativo, ya que cualquiera de las tres relaciones es negativa, en el caso en que la línea DEF pierde el triángulo (diagrama inferior), o una es negativa y las otras dos son positivas, el caso donde DEF cruza dos lados del triángulo. (Ver el axioma de Pasch .)

Para verificar la magnitud, construya perpendiculares desde A , B y Chasta la línea DEF y deje que sus longitudes sean a, b y crespectivamente. Luego por triángulos semejantes se sigue que | AF / FB| = | a / b |, | BD / DC | = | b / c |, y | CE / EA | = c / a . Asi que

$${\ displaystyle \ left | {\ frac {AF} {FB}} \ right | \ cdot \ left | {\ frac {BD} {DC}} \ right | \ cdot \ left | {\ frac {CE} {EA }} \ right | = \ left | {\ frac {a} {b}} \ cdot {\ frac {b} {c}} \ cdot {\ frac {c} {a}} \ right | = 1.}

Para una más simple, si forma menos simétrica para verificar la magnitud, ^[2] dibujar CK paralela a AB donde DEF cumple CK en K . Luego por triángulos semejantes

$${\ displaystyle \ left | {\ frac {BD} {DC}} \ right | = \ left | {\ frac {BF} {CK}} \ right |, \, \ left | {\ frac {AE} {EC }} \ right | = \ left | {\ frac {AF} {CK}} \ right |}

y el resultado sigue eliminando CK de estas ecuaciones.

Lo contrario sigue como corolario. ^[3] Deje que D , E y F se den en las líneas BC , AC y AB para que la ecuación se mantenga. Sea F ′ el punto donde DE cruza AB . Luego, por el teorema, la ecuación también se cumple para D , E y F ′. Comparando los dos,

$${\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} = {\ frac {AF '} {F'B}}.}

Pero a lo sumo, un punto puede cortar un segmento en una proporción dada, de modo que F = F ′.

Una prueba de uso de homothecies [ editar ]

La siguiente prueba ^[4] utiliza solo nociones de geometría afín , en particular homotecas . Sea o no D , E y F son colineales, hay tres centros homothecies con D , E , F que envían respectivamente B a C , C a A , y A a B . La composición de los tres es un elemento del grupo de homothecy-translations que corrige B , por lo que es una homothecy con centro B, posiblemente con relación 1 (en cuyo caso es la identidad). Esta composición corrige la línea DE si y solo si F es colineal con D y E (dado que las dos primeras homececías ciertamente arreglan DE , y la tercera lo hace solo si F se encuentra en DE ). Por lo tanto , D , E y F son colineales si y solo si esta composición es la identidad, lo que significa que el producto de las tres proporciones es 1:

$${\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {DC}} {\ overrightarrow {DB}}} \ times {\ frac {\ overrightarrow {EA}} {\ overrightarrow {EC}}} \ times {\ frac {\ overrightarrow { FB}} {\ overrightarrow {FA}}} = 1,}

que es equivalente a la ecuación dada.

Historia [ editar ]

Es incierto quién realmente descubrió el teorema; sin embargo, la exposición existente más antigua aparece en Spherics by Menelaus. En este libro, la versión plana del teorema se usa como un lema para probar una versión esférica del teorema. ^[5]

En Almagest , Ptolomeo aplica el teorema sobre una serie de problemas en la astronomía esférica. ^[6] Durante la Edad de Oro Islámica , los eruditos musulmanes dedicaron una serie de trabajos que se dedicaron al estudio del teorema de Menelao, al que llamaron "la proposición sobre los secantes" ( shakl al-qatta ' ). El cuadrilátero completo fue llamado la "figura de los secantes" en su terminología. ^{[6] La obra de} Al-Biruni , Las llaves de la astronomía , enumera una serie de esas obras, que pueden clasificarse en estudios como parte de los comentarios sobre el Almagesto de Ptolomeo como en las obras de al-Nayrizi yal-Khazin, donde cada uno demostró casos particulares del teorema de Menelao que llevaron a la regla del seno , ^[7] o obras compuestas como tratados independientes tales como:

• El "Tratado sobre la figura de las secantes" ( Risala fi shakl al-qatta ' ) de Thabit ibn Qurra . ^[6]
• Husam al-DIn al-Salar 's Removing the Veil de los Misterios de la Figura de Secantes (Kashf al-qina' 'an asrar al-shakl al-qatta'), también conocido como "El Libro de la Figura de Secants" ( Kitab al-shakl al-qatta ' ) o en Europa como El Tratado sobre el cuadrilátero completo . El tratado perdido fue mencionado por Al-Tusi y Nasir al-Din al-Tusi . ^[6]
• Obra de al-Sijzi . ^[7]
• Tahdhib por Abu Nasr Ibn Iraq . ^[7]
• Roshdi Rashed y Athanase Papadopoulos, Menelaus 'Spherics: Early Translation y al-Mahani' / al-Harawi (Edición crítica de Menelaus 'Spherics de los manuscritos árabes, con comentarios históricos y matemáticos), De Gruyter, serie: Scientia Graeco-Arábica , 21, 2017, 890 páginas. ISBN  978-3-11-057142-4

 teorema de Minkowski-Hlawka es un resultado del empaquetamiento de celosías de las hiperesferas en dimensión n > 1. Afirma que existe una celosía en el espacio euclidiano de dimensión n , de tal manera que el mejor empaquetamiento correspondiente de las hiperesferas con centros en la celosía puntostiene densidad Δ satisfactoria

$${\ displaystyle \ Delta \ geq {\ frac {\ zeta (n)} {2 ^ {n-1}}},}

con ζ la función zeta de Riemann . Aquí como n → ∞, ζ ( n ) → 1. La prueba de este teorema es indirecta y no da un ejemplo explícito, sin embargo, y aún no existe una forma simple y explícita conocida para construir redes con densidades de empaque que excedan este límite para arbitrario n . En principio, se pueden encontrar ejemplos explícitos: por ejemplo, incluso con solo seleccionar algunas redes "aleatorias" funcionará con alta probabilidad. El problema es que probar estas celosías para ver si son soluciones requiere encontrar sus vectores más cortos, y el número de casos a verificar aumenta muy rápidamente con la dimensión, por lo que esto podría llevar mucho tiempo.

Este resultado fue declarado sin pruebas por Hermann Minkowski  ( 1911 , páginas 265-276) y probado por Edmund Hlawka  ( 1943 ). El resultado se relaciona con un límite inferior lineal para la constante de Hermite .

El teorema de Siegel [ editar ]

Siegel (1945) demostró la siguiente generalización del teorema de Minkowski-Hlawka. Si S es un conjunto limitado en R ⁿ con volumen jordano vol ( S ), entonces el número promedio de vectores de red no nulos en S es vol ( S ) / D , donde se toma el promedio de todas las redes con un dominio fundamental del volumen D , y de manera similar, el número promedio de vectores de red primitivos en S es vol ( S ) / D ζ ( n ).

El teorema de Minkowski-Hlawka se desprende fácilmente de esto, utilizando el hecho de que S es un cuerpo central simétrico en forma de estrella (como una bola) que contiene menos de 2 vectores de red primitivos, por lo que no contiene vectores de red distintos de cero.

Un diagrama que muestra los círculos que pasan a través de los vértices de un triángulo ABC y puntos A' , B' y C' en los lados adyacentes del triángulo se cortan en un punto común, M .

El teorema del pivote para varios triángulos.

El teorema de Miquel es un resultado en geometría , llamado así por Auguste Miquel , ^[1] sobre la intersección de tres círculos, cada uno dibujado a través de un vértice de un triángulo y dos puntos en sus lados adyacentes. Es uno de los varios resultados sobre círculos en la geometría euclidiana debidos a Miquel, cuyo trabajo fue publicado en la recientemente fundada revista Journal of mathématiques pures et appliquées de Liouville .

Formalmente, sea ABC un triángulo, con puntos arbitrarios A´ , B´ y C´ en los lados BC , AC y AB respectivamente (o sus extensiones ). Dibuja tres circuncírculos ( círculos de Miquel ) a los triángulos AB´C´ , A´BC´ y A´B´C . El teorema de Miquel establece que estos círculos se intersecan en un solo punto M , llamado el punto Miquel. Además, los tres ángulos MA´B , MB´C y MC´A.(verde en el diagrama) son todos iguales, al igual que los tres ángulos suplementarios MA´C , MB´A y MC´B . ^[2] [3]

El teorema (y su corolario) se desprende de las propiedades de los cuadriláteros cíclicos . Deje que los circuncírculos de A'B'C y AB'C se encuentren en$${\ displaystyle M \ neq A.} Entonces $${\ displaystyle \ angle A'MC '= 2 \ pi - \ angle B'MA' - \ angle C'MB '= 2 \ pi - (\ pi -C) - (\ pi -A) = A + C = \ pi -B,} por lo tanto, BA'MC 'es cíclico como se desee.

Teorema de pivote [ editar ]

Si en la declaración del teorema de Miquel los puntos A´ , B´ y C´ forman un triángulo (es decir, no son colineales), entonces el teorema se denominó teorema del pivote en Forder (1960 , p. 17). ^[4] (En el diagrama, estos puntos están etiquetados como P , Q y R ).

Si A´ , B´ y C´ son colineales, entonces el punto Miquel está en el circuncírculo de ∆ABC y, a la inversa, si el punto Miquel está en este circuncírculo, entonces A´ , B´ y C´ están en una línea. ^[5]

Coordenadas trilineales del punto Miquel [ editar ]

Si las distancias fraccionarias de A´ , B´ y C´ a lo largo de los lados BC ( a ), CA ( b ) y AB ( c ) son d _a , d _b y d _c , respectivamente, el punto Miquel, en coordenadas trilineales ( x  : y  : z ), viene dada por:

$${\ displaystyle x = a \ left (-a ^ {2} d_ {a} d_ {a} ^ {\, '} + b ^ {2} d_ {a} d_ {b} + c ^ {2} d_ {a} ^ {\, '} d_ {c} ^ {\,'} \ right)}

$${\ displaystyle y = b \ left (a ^ {2} d_ {a} ^ {\, '} d_ {b} ^ {\,'} - b ^ {2} d_ {b} d_ {b} ^ { \, '} + c ^ {2} d_ {b} d_ {c} \ right)}

$${\ displaystyle z = c \ left (a ^ {2} d_ {a} d_ {c} + b ^ {2} d_ {b} ^ {\, '} d_ {c} ^ {\,'} - c ^ {2} d_ {c} d_ {c} ^ {\, '} \ derecha),}

donde d ' _a = 1 - d _a , etc.

En el caso d _a = d _b = d _c = ½, el punto Miquel es el circuncentro (cos α: cos β: cos γ) .

Un converso del teorema de Miquel [ editar ]

El teorema se puede invertir para decir: para tres círculos que se intersecan en M , se puede dibujar una línea desde cualquier punto A en un círculo, a través de su intersección C´ con otra para dar B (en la segunda intersección). B se conecta entonces de manera similar, a través de intersección en A' de la segunda y tercera círculos, dando punto C . Los puntos C , A y el punto de intersección restante, B´ , serán entonces colineales, y el triángulo ABC siempre pasará a través de las intersecciones del círculo A´ , B´ y C´ .

Teorema del cuadrilátero de Miquel y Steiner

Teorema del Pentágono de Miquel

El teorema de los seis círculos de Miquelestablece que si los cinco círculos comparten cuatro puntos de intersección triples, los cuatro puntos de intersección restantes se encuentran en un sexto círculo.

Triángulo inscrito similar [ editar ]

Si el triángulo inscrito XYZ es similar al triángulo de referencia ABC , entonces el punto M de concurrencia de los tres círculos se fija para todos esos XYZ . ^{[6] : p. 257}

Teorema del cuadrilátero de Miquel y Steiner [ editar ]

Las circunferencias circunscritas a los cuatro triángulos de un cuadrilátero completa encuentran en un punto M . ^[7] En el diagrama anterior están ∆ABF, ∆CDF, ∆ADE y ∆BCE.

Este resultado fue anunciado, en dos líneas, por Jakob Steiner en la edición de 1827/1828 de Annales de Matemáticas de Gergonne , ^[8] pero Miquel dio una prueba detallada. ^[7]

Teorema de pentágono de Miquel [ editar ]

Sea ABCDE un pentágono convexo. Extienda todos los lados hasta que se encuentren en cinco puntos F, G, H, I, K y dibuje los circuncírculos de los cinco triángulos CFD, DGE, EHA, AIB y BKC. Luego, los segundos puntos de intersección (distintos de A, B, C, D, E), es decir, los nuevos puntos M, N, P, R y Q son concíclicos (se encuentran en un círculo). ^[9] Ver diagrama.

El resultado inverso se conoce como el teorema de los cinco círculos .

Seis círculo en el teorema de Miquel [ editar ]

Dados los puntos, A , B , C y D en un círculo, y los círculos que pasan a través de cada par de puntos adyacentes, las intersecciones alternativas de estos cuatro círculos en W , X , Y y Z se encuentran en un círculo común. Esto se conoce como el teorema de los seis círculos . ^[10] También se conoce como el teorema de los cuatro círculos y, aunque generalmente se atribuye a Jakob Steiner, la única prueba publicada conocida fue dada por Miquel. ^[11] Wells se refiere a esto como el teorema de Miquel . ^[12]

Versión tridimensional del teorema de Miquel [ editar ]

El caso tridimensional: las cuatro esferas interceptan otras esferas en círculos negros.

También hay un análogo tridimensional, en el que las cuatro esferas que pasan a través de un punto de un tetraedro y puntos en los bordes del tetraedro se intersecan en un punto común.