GEOMETRÍA - TEOREMAS EN GEOMETRÍA

El teorema se puede aplicar a un cuadrilátero complejo (auto-intersección).

En geometría plana , el teorema de Van Aubel describe una relación entre cuadrados construidos en los lados de un cuadrilátero . Comenzando con un cuadrilátero dado (un polígono que tiene cuatro lados), construye un cuadrado en cada lado. El teorema de Van Aubel establece que los dos segmentos de línea entre los centros de cuadrados opuestos tienen longitudes iguales y están en ángulo rectoentre sí. Otra forma de decir lo mismo es que los puntos centrales de los cuatro cuadrados forman los vértices de un cuadrilátero ortodiagonal equidiagonal . El teorema lleva el nombre de HH van Aubel, quien lo publicó en 1878.

Área ( EFGH ) = (1/2) Área ( ABCD )

El teorema de Varignon es una declaración en geometría euclidiana , que trata de la construcción de un paralelogramo particular , el paralelogramo de Varignon , a partir de un cuadrilátero arbitrario (cuadrángulo). Lleva el nombre de Pierre Varignon , quien lo publicó en 1731.

Teorema [ editar ]

Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero arbitrario forman un paralelogramo. Si el cuadrilátero es convexo o cóncavo (no complejo ), entonces el área del paralelogramo es la mitad del área del cuadrilátero.

Si se introduce el concepto de áreas orientadas para n- gones , entonces esta igualdad de área también se aplica a los cuadriláteros complejos. ^[1]

El paralelogramo de Varignon existe incluso para un cuadrilátero sesgado , y es plano si el cuadrilátero es plano o no. El teorema se puede generalizar al polígono del punto medio de un polígono arbitrario.

Prueba [ editar ]

El teorema de Varignon se demuestra fácilmente como un teorema de la geometría afín organizada como álgebra lineal con las combinaciones lineales restringidas a los coeficientes que suman 1, también llamadas coordenadasafines o baricéntricas . La prueba se aplica incluso a sesgar cuadriláteros en espacios de cualquier dimensión.

Cualquier tres puntos E , F , G se completan a un paralelogramo (situada en el plano que contiene E , F , y  G ) mediante la adopción de su cuarto vértice a ser E  -  F  +  G . En la construcción del paralelogramo de Varignon, este es el punto ( A  +  B ) / 2 - ( B  +  C ) / 2 + ( C  +  D ) / 2 = ( A  +  D ) / 2. Pero este es el punto H en la figura, donde EFGH forma un paralelogramo.

En resumen, el centroide de los cuatro puntos A , B , C , D es el punto medio de cada una de las dos diagonales EG y FH de EFGH , mostrando que los puntos medios coinciden.

Una segunda prueba requiere menos álgebra. Al dibujar en las diagonales del cuadrilátero, notamos que se crean dos triángulos para cada diagonal. Y según el teorema del punto medio , el segmento que contiene dos puntos medios de lados adyacentes es paralelo y la mitad de la diagonal respectiva. Como dos lados opuestos son iguales y paralelos, tenemos que el cuadrilátero debe ser un paralelogramo.

A partir de la segunda prueba, podemos ver que la suma de las diagonales es igual al perímetro del cuadrilátero formado. También, podemos usar vectores 1/2 de la longitud de cada lado para determinar primero el área del cuadrilátero, y luego para encontrar áreas de los cuatro triángulos divididos por cada lado del paralelogramo interno.

cuadrilátero convexo	cuadrilátero cóncavo	cuadrilátero cruzado

El paralelogramo de Varignon [ editar ]

Propiedades [ editar ]

Un paralelogramo de Varignon plano también tiene las siguientes propiedades:

• Cada par de lados opuestos del paralelogramo de Varignon son paralelos a una diagonal en el cuadrilátero original.
• Un lado del paralelogramo de Varignon es la mitad del largo que la diagonal en el cuadrilátero original con el que está paralelo.
• El área del paralelogramo de Varignon es igual a la mitad del área del cuadrilátero original. Esto es cierto en cuadriláteros convexos, cóncavos y cruzados, siempre que el área de estos últimos se defina como la diferencia de las áreas de los dos triángulos de los que se compone. ^[1]
• El perímetro del paralelogramo de Varignon es igual a la suma de las diagonales del cuadrilátero original.
• Las diagonales del paralelogramo de Varignon son los bimedianos del cuadrilátero original.
• Los dos bimedianos en un cuadrilátero y el segmento de línea que une los puntos medios de las diagonales en ese cuadrilátero son concurrentes y todos están biseccionados por su punto de intersección. ^{[2] : p.125}

En un cuadrilátero convexo con lados un , b , c y d , la longitud de la bimedian que conecta los puntos medios de los lados una y c es

$${\ displaystyle m = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {-a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} + d ^ {2} + p ^ {2} + q ^ {2}}}}

donde p y q son la longitud de las diagonales. ^[3] La longitud del bimediano que conecta los puntos medios de los lados b y d es

$${\ displaystyle n = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} -d ^ {2} + p ^ {2} + q ^ {2}}}.}

Por lo tanto ^{[2] : p.126}

$${\ displaystyle \ displaystyle p ^ {2} + q ^ {2} = 2 (m ^ {2} + n ^ {2}).}

Este es también un corolario de la ley de paralelogramo aplicada en el paralelogramo de Varignon.

Las longitudes de los bimedianos también pueden expresarse en términos de dos lados opuestos y la distancia xentre los puntos medios de las diagonales. Esto es posible cuando se usa el teorema del cuadrilátero de Euler en las fórmulas anteriores. De donde ^[4]

$${\ displaystyle m = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2 (b ^ {2} + d ^ {2}) - 4x ^ {2}}}}

y

$${\ displaystyle n = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2 (a ^ {2} + c ^ {2}) - 4x ^ {2}}}.}

Tenga en cuenta que los dos lados opuestos en estas fórmulas no son los dos a los que se conecta el bimediano.

En un cuadrilátero convexo, existe la siguiente conexión dual entre los bimedianos y las diagonales: ^[5]

• Los dos bimedianos tienen la misma longitud si y solo si las dos diagonales son perpendiculares .
• Los dos bimedianos son perpendiculares si y solo si las dos diagonales tienen la misma longitud.

Casos especiales [ editar ]

El paralelogramo de Varignon es un rombo si y solo si las dos diagonales del cuadrilátero tienen la misma longitud, es decir, si el cuadrilátero es un cuadrilátero equidiagonal . ^[6]

El paralelogramo de Varignon es un rectángulo si y solo si las diagonales del cuadrilátero son perpendiculares , es decir, si el cuadrilátero es un cuadrilátero ortodiagonal . ^[5] : p.14

Si un cuadrilátero de cruce se forma a partir de un par de lados paralelos opuestos y las diagonales de un paralelogramo, el paralelogramo de Varignon es un segmento de línea atravesado dos veces.