GEOMETRÍA - TEOREMAS EN GEOMETRÍA

Un polígono triangulado. Los dos vértices en los extremos de la cadena de triángulos forman orejas. Sin embargo, este polígono también tiene otros oídos que no son evidentes en esta triangulación.

En geometría , el teorema de los dos oídos indica que cada polígono simple con más de tres vértices tiene al menos dos oídos , vértices que se pueden eliminar del polígono sin introducir cruces. El teorema de los dos oídos es equivalente a la existencia de triangulaciones poligonales . Con frecuencia se atribuye a Gary H. Meisters, pero fue probado anteriormente por Max Dehn .

Declaración del teorema [ editar ]

Una oreja de un polígono se define como un vértice v tal que el segmento de línea entre los dos vecinos de v se encuentra completamente en el interior del polígono. El teorema de los dos oídos dice que cada polígono simple tiene al menos dos oídos.

Orejas de triangulaciones [ editar ]

Una oreja y sus dos vecinos forman un triángulo dentro del polígono que no está atravesado por ninguna otra parte del polígono. La eliminación de un triángulo de este tipo produce un polígono con menos lados, y la eliminación repetida de las orejas permite la triangulación de cualquier polígono simple .

A la inversa, si un polígono está triangulado, el doble débil de la triangulación (un gráfico con un vértice por triángulo y un borde por par de triángulos adyacentes) será un árbol y cada hoja del árbol formará una oreja. Como cada árbol con más de un vértice tiene al menos dos hojas, cada polígono triangulado con más de un triángulo tiene al menos dos orejas. Por lo tanto, el teorema de los dos oídos es equivalente al hecho de que cada polígono simple tiene una triangulación. ^[1]

Tipos relacionados de vértice [ editar ]

Una oreja se llama expuesta cuando forma un vértice del casco convexo del polígono. Sin embargo, es posible que un polígono no tenga orejas expuestas. ^[2]

Las orejas son un caso especial de un vértice principal , un vértice tal que el segmento de línea que conecta los vecinos del vértice no cruza el polígono ni toca ningún otro vértice del mismo. Un vértice principal para el cual este segmento de línea se encuentra fuera del polígono se llama boca . De manera análoga al teorema de los dos oídos, cada polígono simple no convexo tiene al menos una boca. Los polígonos con el número mínimo de vértices principales de ambos tipos, dos orejas y una boca, se llaman polígonos antropomorfos . ^[3]

Historia y prueba [ editar ]

El teorema de los dos oídos se suele atribuir a un artículo de 1975 de Gary H. Meisters, del cual se originó la terminología de "oído". ^[4] Sin embargo, el teorema fue probado anteriormente por Max Dehn (circa 1899) como parte de una prueba del teorema de la curva de Jordan . Para probar el teorema, Dehn observa que cada polígono tiene al menos tres vértices convexos. Si uno de estos vértices, v , no es una oreja, entonces puede estar conectado por una diagonal a otro vértice x dentro del triángulo uvw formado por v y sus dos vecinos; xpuede ser elegido para ser el vértice dentro de este triángulo que está más alejado de la línea uw. Esta diagonal descompone el polígono en dos polígonos más pequeños, y la descomposición repetida de los oídos y las diagonales eventualmente produce una triangulación de todo el polígono, desde donde se puede encontrar una oreja como una hoja del árbol dual.

teorema ultra paralelo establece que cada par de líneas ultra paralelas (líneas que no se intersecan y no limitan paralelas ) tiene una línea hiperbólica perpendicular común única .

La construcción de Hilbert [ editar ]

Sean r y s dos líneas ultra paralelas.

De cualquiera de los dos puntos distintos A y C en s dibuje AB y CB 'perpendicular a r con B y B' en r.

Si sucede que AB = CB ', entonces la perpendicular común deseada se une a los puntos medios de AC y BB' (por la simetría del cuadrilátero de Saccheri ACB'B).

Si no, podemos suponer AB Sea E un punto en la línea s en el lado opuesto de A de C. Toma A 'en CB' para que A'B '= AB. A través de A 'dibuje una línea s' (A'E ') en el lado más cercano a E, de modo que el ángulo B'A'E' sea el mismo que el ángulo BAE. Entonces s 'encuentra s en un punto ordinario D'. Construya un punto D en el rayo AE para que AD = A'D '.

Luego D '≠ D. Están a la misma distancia de r y ambos se encuentran en s. Así que la bisectriz perpendicular de D'D (un segmento de s) también es perpendicular a r. ^[1]

(Si r y s fueran asintóticamente paralelos en lugar de ultra paralelos, esta construcción fallaría porque s 'no cumpliría con s. Más bien s' sería asintóticamente paralela a sys r).

Prueba en el modelo de semiplano de Poincaré [ editar ]

Dejar

{\ displaystyle a

Serán cuatro puntos distintos en la abscisa del plano cartesiano . Dejar$${\ displaystyle p} y $${\ displaystyle q}Ser semicírculos por encima de la abscisa con diámetros.$${\ displaystyle ab} y $${\ displaystyle cd}respectivamente. Luego, en el modelo de semiplano Poincaré HP,$${\ displaystyle p} y $${\ displaystyle q} Representa lineas ultra paralelas.

Componga los siguientes dos movimientos hiperbólicos :

$${\ displaystyle x \ to xa}

$${\ displaystyle {\ mbox {inversión en el semicírculo de la unidad.}}}

Entonces $${\ displaystyle a \ to \ infty}, $${\ displaystyle b \ to (ba) ^ {- 1}, \ quad c \ to (ca) ^ {- 1}, \ quad d \ to (da) ^ {- 1}.}

Ahora continúa con estos dos movimientos hiperbólicos:

$${\ displaystyle x \ to x- (ba) ^ {- 1}}

$${\ displaystyle x \ to \ left [(ca) ^ {- 1} - (ba) ^ {- 1} \ right] ^ {- 1} x}

Entonces $${\ displaystyle a} se queda en $${\ displaystyle \ infty}, $${\ displaystyle b \ a 0}, $${\ displaystyle c \ a 1}, $${\ displaystyle d \ to z}(decir). El semicírculo único, con el centro en el origen, perpendicular al que está en$${\ displaystyle 1z}Debe tener un radio tangente al radio del otro. El triángulo rectángulo formado por la abscisa y el radio perpendicular tiene hipotenusa de longitud.$${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} (z + 1)}. Ya que$${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} (z-1)} es el radio del semicírculo en $${\ displaystyle 1z}, el perpendicular común buscado tiene radio-cuadrado.

$${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} \ left [(z + 1) ^ {2} - (z-1) ^ {2} \ right] = z.}

Los cuatro movimientos hiperbólicos que produjeron. $${\ displaystyle z} Los anteriores pueden invertirse y aplicarse en orden inverso al semicírculo centrado en el origen y el radio $${\ displaystyle {\ sqrt {z}}} para producir la única línea hiperbólica perpendicular a ambos ultraparallels $${\ displaystyle p} y $${\ displaystyle q}.

Prueba en el modelo de Beltrami-Klein [ editar ]

En el modelo de Beltrami-Klein de la geometría hiperbólica:

• dos líneas ultra paralelas corresponden a dos acordes que no se cruzan .
• Los polos de estas dos líneas son las intersecciones respectivas de las líneas tangentes al círculo del límite en los puntos finales de los acordes.
• Las líneas perpendiculares a la línea l están modeladas por acordes cuya extensión pasa a través del polo de l .
• Por lo tanto, trazamos la línea única entre los polos de las dos líneas dadas y la intersectamos con el círculo delimitador; El acorde de intersección será el perpendicular común deseado de las líneas ultra paralelas.

Si uno de los acordes es un diámetro, no tenemos un palo, pero en este caso, cualquier cordón perpendicular al diámetro también es perpendicular en el modelo de Beltrami-Klein, por lo que trazamos una línea a través del polo del otra línea que interseca el diámetro en ángulos rectos para obtener el perpendicular común.

La prueba se completa mostrando que esta construcción siempre es posible:

• Si ambos acordes son diámetros, se intersecan (en el centro del círculo del límite)
• Si solo uno de los acordes es un diámetro, el otro se proyecta ortogonalmente hacia una sección del primer acorde contenido en su interior, y una línea desde el polo ortogonal al diámetro intersecta tanto el diámetro como el acorde.
• Si ambas líneas no son diámetros, entonces podemos extender las tangentes dibujadas desde cada polo para producir un cuadrilátero con el círculo unitario inscrito en él. ^{[ ¿Cómo? ]} Los polos son vértices opuestos de este cuadrilátero, y los acordes son líneas dibujadas entre lados adyacentes del vértice, a través de esquinas opuestas. Dado que el cuadrilátero es convexo, ^{[ ¿por qué? ]} la línea entre los polos corta ambos acordes dibujados a través de las esquinas, y el segmento de la línea entre los acordes define el acorde requerido perpendicular a los otros dos acordes.

Alternativamente, podemos construir el perpendicular común de las líneas ultra paralelas de la siguiente manera: las líneas ultra paralelas en el modelo de Beltrami-Klein son dos acordes que no se intersectan. Pero en realidad se cruzan fuera del círculo. El polar del punto de intersección es el perpendicular común deseado.