teorema 2 π de Gromov y Thurston establece una condición suficiente para que Dehnrellene un colector de 3 hiperbólico hiperbólico para dar como resultado un colector de 3 con curvatura negativa.
Deje M ser un 3-múltiple hiperbólico cusped. Disjuntos horoball barrios de cada cúspide pueden ser seleccionados. Los límites de estos barrios son cocientes de horóscopos y, por lo tanto, tienen métricas euclidianas. Una pendiente, es decir, una clase de isotopía no orientada de curvas cerradas simples en estos límites, por lo tanto, tiene una longitud bien definida al tomar la longitud euclidiana mínima sobre todas las curvas en la clase de isotopía. El teorema 2 π establece: un llenado Dehn de M con cada pendiente de llenado mayor que 2 π da como resultado un múltiple de 3 con una métrica completa de curvatura de sección negativa. De hecho, esta métrica se puede seleccionar para que sea idéntica a la métrica hiperbólica original fuera de los vecindarios de horoball.
La idea básica de la prueba es construir explícitamente una métrica curvada negativamente dentro de cada vecindario de horoball que coincida con la métrica cerca del límite horosférico. Esta construcción, utilizando coordenadas cilíndricas, funciona cuando la pendiente de llenado es mayor que 2 π . Ver Bleiler y Hodgson (1996) para detalles completos.
De acuerdo con la conjetura de la geometrización , estos 3-manifolds curvados negativamente deben admitir una métrica hiperbólica completa. Un argumento de empaquetamiento de Horoball debido a Thurston muestra que hay a lo sumo 48 pendientes para evitar en cada cúspide para obtener un 3-manifold hiperbólico. Para los 3 múltiples hiperbólicos de 1 cusped, una mejora debido a Colin Adams da 24 pendientes excepcionales.
Este resultado fue mejorado posteriormente de forma independiente por Ian Agol ( 2000 ) y Marc Lackenby ( 2000 ) con el teorema 6 . El "teorema 6" indica que el llenado de Dehn a lo largo de las pendientes de longitud mayor que 6 da como resultado un múltiple hiperbólico similar a 3, es decir, un múltiple múltiple irreducible , atoroideo , sin fibras de Seifert con la palabra infinita grupo fundamental hiperbólico . Una vez más, asumiendo la conjetura de la geometrización , estas variedades tienen una métrica hiperbólica completa. Un argumento de Agol muestra que hay como máximo 12 pendientes excepcionales.
teorema de regularidad de Almgren , probado por Almgren ( 1983 , 2000 ), establece que el conjunto singular de una superficie que minimiza la masa tiene una dimensión de al menos 2. La prueba de Almgren de esto fue de 955 páginas.
teorema de Anderson es un resultado en el análisis real y la geometría que dice que la integral de una función integrable, simétrica, unimodal, no negativa f sobre un cuerpo convexo n- dimensional Kno disminuye si K se traduce hacia el origen . Esta es una afirmación natural, ya que la gráfica de f se puede considerar como una colina con un solo pico sobre el origen; sin embargo, para n ≥ 2, la prueba no es del todo obvia, ya que puede haber puntos x del cuerpo K donde el valor f ( x ) es mayor que en la traducción correspondiente de x .
Declaración del teorema [ editar ]
Deje que K sea un cuerpo convexo en n - dimensional espacio euclidiano R n que es simétrica con respecto a la reflexión en el origen, es decir, K = - K . Sea f : R n → R una función no negativa , simétrica, integrable globalmente; es decir
- f ( x ) ≥ 0 para todas las x ∈ R n ;
- f ( x ) = f (- x ) para todos los x ∈ R n ;
son subconjuntos convexos de R n para cada t ≥ 0. (Esta propiedad a veces se denomina unimodal ). Luego, para cualquier 0 ≤ c ≤ 1 y y ∈ R n ,
Aplicación a la teoría de probabilidad [ editar ]
Dado un espacio de probabilidad (Ω, Σ, Pr), supongamos que X : Ω → R n es un R n -valued variable aleatoriacon función de densidad de probabilidad f : R n → [0, + ∞) y que Y : Ω → R n es una variable aleatoria independiente . Las funciones de densidad de probabilidad de muchas distribuciones de probabilidad conocidas son p - cóncavas para algunas p , y por lo tanto unimodales. Si también son simétricas (por ejemplo, las distribuciones de Laplace y las distribuciones normales).), entonces se aplica el teorema de Anderson, en cuyo caso
para cualquier cuerpo convexo simétrico de origen K ⊆ R n .
el teorema de Bang sobre tetraedros establece que, si una esfera está inscrita dentro de un tetraedro , y los segmentos se dibujan desde los puntos de tangencia a cada vértice del tetraedro, entonces los cuatro puntos de tangencia tienen el mismo triple de ángulos. En particular, se deduce que los 12 triángulos en los que los segmentos subdividen las caras del tetraedro forman pares congruentes a través de cada borde del tetraedro. [1] Lleva el nombre de AS Bang, quien lo planteó como un problema en 1897.
el teorema de Barbier establece que cada curva de ancho constante tiene un perímetro π veces su ancho, independientemente de su forma precisa. [1] Este teorema fue publicado por primera vez por Joseph-Émile Barbier en 1860.
Los ejemplos más conocidos de curvas de ancho constante son el círculo y el triángulo de Reuleaux . Para un círculo, el ancho es el mismo que el diámetro ; un círculo de ancho w tiene un perímetro π w . Un triángulo Reuleaux de ancho w consiste en tres arcos de círculos de radio w . Cada uno de estos arcos tiene un ángulo central π / 3, por lo que el perímetro del triángulo de Reuleaux de ancho w es igual a la mitad del perímetro de un círculo de radio w y, por lo tanto, es igual a π w. Un análisis similar de otros ejemplos simples como los polígonos de Reuleaux da la misma respuesta.
Pruebas [ editar ]
Una prueba del teorema usa las propiedades de las sumas de Minkowski . Si K es un cuerpo de ancho constante w , entonces la suma de K de Minkowski y su rotación de 180 ° es un disco con radio w y perímetro 2π w . Sin embargo, la suma de Minkowski actúa linealmente en los perímetros de los cuerpos convexos, por lo que el perímetro de K debe ser la mitad del perímetro de este disco, que es π w como indica el teorema. [3]
Alternativamente, el teorema se sigue inmediatamente de la fórmula de Crofton en geometría integral según la cual la longitud de cualquier curva es igual a la medida del conjunto de líneas que cruzan la curva, multiplicada por su número de cruces. Cualquiera de las dos curvas que tienen el mismo ancho constante se cruzan con conjuntos de líneas con la misma medida y, por lo tanto, tienen la misma longitud. Históricamente, Crofton derivó su fórmula más tarde e independientemente del teorema de Barbier. [4]
Dimensiones superiores [ editar ]
El análogo del teorema de Barbier para superficies de ancho constante es falso. En particular, la esfera unidadtiene área de superficie., mientras que la superficie de revolución de un triángulo de Reuleaux con el mismo ancho constante tiene área de superficie.
teorema de Beckman-Quarles , llamado así por FS Beckman y DA Quarles, Jr., establece que si una transformación del plano euclidiano o un espacio euclidiano de dimensión superior preserva las distancias unitarias , entonces preserva todas las distancias. De manera equivalente, cada automorfismo del gráfico de distancia unitaria del plano debe ser una isometría del plano. Beckman y Quarles publicaron este resultado en 1953; [1] más tarde fue redescubierto por otros autores.
Declaración formal [ editar ]
Formalmente, el resultado es el siguiente. Deje que f sea una función o función de valores múltiples a partir de un d espacio euclidiano -dimensional a sí mismo, y supongamos que, para cada par de puntos p y q que están en unidad de distancia unos de otros, cada par de imágenes f ( p ) y f ( q ) también están a una unidad de distancia entre sí. Entonces f debe ser una isometría : es una función uno a uno que preserva las distancias entre todos los pares de puntos. [1]
Contraejemplos para otros espacios [ editar ]
Beckman y Quarles observan que el teorema no es cierto para la línea real (espacio euclidiano unidimensional). Para, la función f ( x ) que devuelve x + 1 si x es un número entero y retorna x, de lo contrario obedece las condiciones previas del teorema (preserva las distancias unitarias) pero no es una isometría. [1]
Beckman y Quarles también proporcionan un contraejemplo para el espacio de Hilbert , el espacio de las secuencias sumables de números reales. Este ejemplo involucra la composición de dos funciones discontinuas : una que mapea cada punto del espacio de Hilbert en un punto cercano en un subespacio denso contable , y una segunda que mapea este conjunto denso en una unidad simple contable(un conjunto infinito de puntos, todos a una unidad de distancia entre sí). Estas dos transformaciones asignan dos puntos a una distancia unitaria entre sí y dos puntos diferentes en el subespacio denso, y desde allí los asignan a dos puntos diferentes del símplex, que están necesariamente separados por una unidad de distancia. Por lo tanto, su composición conserva las distancias unitarias. Sin embargo, no es una isometría, ya que mapea cada par de puntos, sin importar su distancia original, ya sea en el mismo punto o en una distancia unitaria. [1]
Resultados relacionados [ editar ]
Para las transformaciones solo del subconjunto del espacio euclidiano con coordenadas cartesianas que son números racionales , la situación es más complicada que para el plano euclidiano completo. En este caso, existen no isometrías que conservan la distancia unitaria de dimensiones de hasta cuatro, pero ninguna para las dimensiones de cinco y superiores. [4] [5] Los resultados similares son válidos también para mapeos de los puntos racionales que conservan otras distancias, como la raíz cuadrada de dos . [6]
Una forma de reformular el teorema de Beckman-Quarles es que, para el gráfico de distancia unitaria cuyos vértices son todos los puntos en el plano, con un borde entre dos puntos a una distancia unitaria, los automorfismos de gráficos únicos son los obvios provenientes de isometrías. del avion Para pares de puntos cuya distancia es un número algebraico A , hay una versión finito de este teorema: Maehara mostró que hay un finito rígido gráfico unidad de distancia G en la que algunos dos vértices p y q deben estar a una distancia Aentre sí, De lo cual se deduce que cualquier transformación del plano que preserva las distancias de la unidad enG también debe preservar la distancia entre p y q . [7] [8] [9]
Varios autores han estudiado resultados análogos para otros tipos de geometrías. Por ejemplo, es posible reemplazar la distancia euclidiana por el valor de una forma cuadrática . [10] Los teoremas de Beckman-Quarles han sido probados para espacios no euclidianos como el espacio de Minkowski , [11] distancia inversa en el plano de Möbius , [12] planos desarguesianos finitos , [13] y espacios definidos sobre campos con característicasdistintas de cero . [14] [15] Además, los teoremas de este tipo se han utilizado para caracterizar transformaciones distintas de las isometrías, comoTransformaciones de lorentz .
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