GEOMETRÍA - TEOREMAS EN GEOMETRÍA

Para dibujar el paralelo (h) a un diámetro g a través de un punto P determinado. Elija el punto auxiliar C en cualquier lugar en la línea recta a través de B y P fuera de BP. (Steiner)

En la geometría euclidiana , el teorema de Poncelet-Steiner es uno de los varios resultados con respecto a las construcciones de brújula y reglacon restricciones adicionales. Este resultado indica que todo lo que se puede construir con una regla y una brújula se puede construir solo con una regla, siempre que se proporcione un solo círculo y su centro.

Historia [ editar ]

En el siglo X, el matemático persa Abu al-Wafa 'Buzjani (940-998) consideró construcciones geométricas utilizando una regla y una brújula con una apertura fija, la llamada brújula oxidada . Las construcciones de este tipo parecían tener algún significado práctico ya que fueron utilizadas por los artistas Leonardo da Vinci y Albrecht Dürer en Europa a finales del siglo XV. Un nuevo punto de vista se desarrolló a mediados del siglo XVI cuando el tamaño de la apertura se consideró fijo pero arbitrario y la cuestión de cuántas de las construcciones de Euclides se podían obtener era primordial. ^[1]

El matemático del Renacimiento Lodovico Ferrari , un estudiante de Gerolamo Cardano en un "desafío matemático" contra Niccolò Fontana Tartaglia pudo demostrar que "todo Euclides" (es decir, las construcciones de regla y compás en los primeros seis libros de Elementos de Euclides ) podría ser Realizado con una regla y compás oxidado. Dentro de diez años, Cardano, Tartaglia y el estudiante de Tartaglia Benedetti obtuvieron soluciones adicionales. Durante el siglo siguiente, estas soluciones fueron generalmente olvidadas hasta que, en 1673, Georg Mohr publicó (de forma anónima y en holandés) Euclidis Curiosi.Contiene sus propias soluciones. Mohr solo había escuchado sobre la existencia de los resultados anteriores y esto lo llevó a trabajar en el problema. ^[2]

Mostrar que "todo Euclid" podría realizarse con una regla y una brújula oxidada no es lo mismo que probar que todas las construcciones de una regla y una brújula se podrían hacer con una regla y solo una brújula oxidada. Tal prueba requeriría la formalización de lo que podrían construir una regla y una brújula. Jean Victor Ponceletproporcionó esta base en 1822. También conjeturó y sugirió una posible prueba de que una brújula de regla y oxidada sería equivalente a una regla y una brújula, y además, ¡la brújula oxidada solo debe usarse una vez! El resultado de que una regla y un solo círculo con centro dado es equivalente a una regla y compás fue probado por Jakob Steiner en 1833. ^[3] [1]

Otros tipos de construcción restringido [ editar ]

El teorema de Poncelet-Steiner debe contrastarse con el teorema de Mohr-Mascheroni , que establece que cualquier construcción de brújula y regla puede ejecutarse solo con una brújula.

No es posible construir todo lo que se puede construir con regla y compás con regla solo. y además, si no se da el centro del círculo, no se puede obtener solo con una regla. Además, no se requiere el círculo entero. En 1904, Francesco Severi demostró que cualquier pequeño arco junto con el centro será suficiente.

 geometría y el álgebra lineal , un eje principal es una cierta línea en un espacio euclidiano asociado con un elipsoide o hiperboloide , que generaliza los ejes mayor y menor de una elipse o hipérbola . El teorema del eje principal establece que los ejes principales son perpendiculares y proporciona un procedimiento constructivo para encontrarlos.

Matemáticamente, el teorema del eje principal es una generalización del método de completar el cuadrado del álgebra elemental . En álgebra lineal y análisis funcional , el teorema del eje principal es una contraparte geométrica del teorema espectral . Tiene aplicaciones a las estadísticas de análisis de componentes principales y la descomposición del valor singular . En física , el teorema es fundamental para el estudio del momento angular.

Motivación [ editar ]

Las ecuaciones en el plano cartesiano R ² :

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {9}} + {\ frac {y ^ {2}} {25}} = 1}

$${\ displaystyle {} {\ frac {x ^ {2}} {9}} - {\ frac {y ^ {2}} {25}} = 1}

Definir, respectivamente, una elipse y una hipérbola. En cada caso, los ejes x e y son los ejes principales. Esto se ve fácilmente, dado que no hay términos cruzados que involucren productos xy en ninguna expresión. Sin embargo, la situación es más complicada para ecuaciones como

$${\ displaystyle 5x ^ {2} + 8xy + 5y ^ {2} = 1.}

Aquí se requiere algún método para determinar si se trata de una elipse o una hipérbola. La observación básica es que si, al completar el cuadrado, la expresión cuadrática puede reducirse a una suma de dos cuadrados, la ecuación define una elipse, mientras que si se reduce a una diferencia de dos cuadrados, la ecuación representa una hipérbola:

$${\ displaystyle u (x, y) ^ {2} + v (x, y) ^ {2} = 1 \ qquad {\ text {(elipse)}}}

$${\ displaystyle u (x, y) ^ {2} -v (x, y) ^ {2} = 1 \ qquad {\ text {(hipérbola)}}.}

Por lo tanto, en nuestro ejemplo de expresión, el problema es cómo absorber el coeficiente del término cruzado 8 xy en las funciones u y v . Formalmente, este problema es similar al problema de la diagonalización de la matriz , donde se intenta encontrar un sistema de coordenadas adecuado en el que la matriz de una transformación lineal sea diagonal. El primer paso es encontrar una matriz en la que se pueda aplicar la técnica de diagonalización.

El truco es escribir la forma cuadrática como

{\ displaystyle 5x ^ {2} + 8xy + 5y ^ {2} = {\ begin {bmatrix} x & y \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \ end {bmatrix}} {\ begin { bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}} = \ mathbf {x} ^ {T} A \ mathbf {x}}

donde el término cruzado se ha dividido en dos partes iguales. La matriz A en la descomposición anterior es una matriz simétrica . En particular, según el teorema espectral , tiene valores propios reales y es diagonalizable por una matriz ortogonal ( ortogonal diagonalizable ).

Para diagonalizar ortogonalmente A , uno debe primero encontrar sus valores propios, y luego encontrar una base propia ortonormal . El cálculo revela que los valores propios de A son

$${\ displaystyle \ lambda _ {1} = 1, \ quad \ lambda _ {2} = 9}

con los vectores propios correspondientes

$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ - 1 \ end {bmatrix}}, \ quad \ mathbf {v} _ {2} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix}}.}

La división de estos por sus respectivas longitudes da lugar a una base de valores ortonormal:

$${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {1} = {\ begin {bmatrix} 1 / {\ sqrt {2}} \\ - 1 / {\ sqrt {2}} \ end {bmatrix}}, \ quad \ mathbf {u} _ {2} = {\ begin {bmatrix} 1 / {\ sqrt {2}} \\ 1 / {\ sqrt {2}} \ end {bmatrix}}.}

Ahora la matriz S = [ u ₁ u ₂ ] es una matriz ortogonal, ya que tiene columnas ortonormales, y A está diagonalizada por:

{\ displaystyle A = SDS ^ {- 1} = SDS ^ {T} = {\ begin {bmatrix} 1 / {\ sqrt {2}} & 1 / {\ sqrt {2}} \\ - 1 / {\ sqrt {2}} & 1 / {\ sqrt {2}} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 9 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 / {\ sqrt {2}} & -1 / {\ sqrt {2}} \\ 1 / {\ sqrt {2}} & 1 / {\ sqrt {2}} \ end {bmatrix}}.}

Esto se aplica al problema actual de "diagonalizar" la forma cuadrática a través de la observación de que

$${\ displaystyle 5x ^ {2} + 8xy + 5y ^ {2} = \ mathbf {x} ^ {T} A \ mathbf {x} = \ mathbf {x} ^ {T} (SDS ^ {T}) \ mathbf {x} = (S ^ {T} \ mathbf {x}) ^ {T} D (S ^ {T} \ mathbf {x}) = 1 \ left ({\ frac {xy} {\ sqrt {2 }}} \ derecha) ^ {2} +9 \ izquierda ({\ frac {x + y} {\ sqrt {2}}} \ derecha) ^ {2}.}

Así, la ecuación. $${\ displaystyle 5x ^ {2} + 8xy + 5y ^ {2} = 1} es el de una elipse, ya que el lado izquierdo se puede escribir como la suma de dos cuadrados.

Es tentador simplificar esta expresión sacando factores de 2. Sin embargo, es importante no hacer esto. Las cantidades

$${\ displaystyle c_ {1} = {\ frac {xy} {\ sqrt {2}}}, \ quad c_ {2} = {\ frac {x + y} {\ sqrt {2}}}}

Tiene un significado geométrico. Determinan un sistema de coordenadas ortonormal en R ² . En otras palabras, se obtienen a partir de las coordenadas originales mediante la aplicación de una rotación (y posiblemente una reflexión). En consecuencia, uno puede usar las coordenadas c ₁ y c ₂ para hacer afirmaciones sobre la longitud y los ángulos (particularmente la longitud), que de otro modo serían más difíciles en una elección diferente de coordenadas (al volver a escalarlas, por ejemplo). Por ejemplo, la distancia máxima desde el origen en la elipse c ₁ ² + 9 c ₂ ² = 1 se produce cuando c ₂= 0, entonces en los puntos c ₁ = ± 1. Del mismo modo, la distancia mínima es donde c ₂ = ± 1/3.

Ahora es posible leer los ejes mayor y menor de esta elipse. Estos son precisamente los espacios propios de la matriz A , ya que estos son donde c ₂ = 0 o c ₁ = 0. Simbólicamente, los ejes principales son

$${\ displaystyle E_ {1} = {\ text {span}} \ left ({\ begin {bmatrix} 1 / {\ sqrt {2}} \\ - 1 / {\ sqrt {2}} \ end {bmatrix} } \ derecha), \ quad E_ {2} = {\ text {span}} \ left ({\ begin {bmatrix} 1 / {\ sqrt {2}} \\ 1 / {\ sqrt {2}} \ end {bmatrix}} \ right).}

Para resumir:

• La ecuación es para una elipse, ya que ambos valores propios son positivos. (De lo contrario, si uno fuera positivo y el otro negativo, sería una hipérbola).
• Los ejes principales son las líneas que abarcan los vectores propios.
• Las distancias mínimas y máximas al origen se pueden leer fuera de la ecuación en forma diagonal.

Usando esta información, es posible obtener una imagen geométrica clara de la elipse: para graficarla, por ejemplo.

Declaración formal [ editar ]

El teorema del eje principal se refiere a las formas cuadráticas en R ⁿ , que son polinomios homogéneos de grado 2. Cualquier forma cuadrática puede representarse como

$${\ displaystyle Q (\ mathbf {x}) = \ mathbf {x} ^ {T} A \ mathbf {x}}

donde A es una matriz simétrica.

La primera parte del teorema está contenida en las siguientes afirmaciones garantizadas por el teorema espectral:

• Los valores propios de A son reales.
• A es diagonalizable, y los espacios propios de A son ortogonales entre sí.

En particular, A es ortogonalmente diagonalizable , ya que uno puede tomar una base de cada espacio propio y aplicar el proceso de Gram-Schmidt por separado dentro del espacio propio para obtener una base autonómica ortonormal.

Para la segunda parte, suponga que los valores propios de A son λ ₁ , ..., λ _n (posiblemente repetidos de acuerdo con sus multiplicidades algebraicas) y la eigenbasis ortonormal correspondiente es u ₁ , ..., u _n . Entonces

• $${\ displaystyle Q (\ mathbf {x}) = \ lambda _ {1} c_ {1} ^ {2} + \ lambda _ {2} c_ {2} ^ {2} + \ dots + \ lambda _ {n } c_ {n} ^ {2},}

donde c _i son las coordenadas con respecto a la base de datos dada. Además,

• El eje principal i -th es la línea determinada por las ecuaciones n -1 c _j = 0, j ≠ i . Este eje es el lapso del vector u _i .

El teorema de Ptolomeo es una relación entre estas longitudes en un cuadrilátero cíclico.

En la geometría euclidiana , el teorema de Ptolomeo es una relación entre los cuatro lados y dos diagonales de un cuadrilátero cíclico (un cuadrilátero cuyos vértices se encuentran en un círculo común). El teorema lleva el nombre del astrónomo y matemático griego Ptolomeo(Claudio Ptolomeo). ^[1] Ptolomeo utilizó el teorema como ayuda para crear su tabla de acordes , una tabla trigonométrica que aplicó a la astronomía. 

Si los vértices del cuadrilátero cíclico son A , B , C y D en orden, entonces el teorema establece que:

$${\ displaystyle | {\ overline {AC}} | \ cdot | {\ overline {BD}} | = | {\ overline {AB}} | \ cdot | {\ overline {CD}} | + | {\ overline { BC}} | \ cdot | {\ overline {AD}} |}

donde las líneas verticales denotan las longitudes de los segmentos de línea entre los vértices nombrados. En el contexto de la geometría, la igualdad anterior a menudo se escribe simplemente como

AC · BD = AB · CD + BC · AD .

Esta relación puede expresarse verbalmente de la siguiente manera:

Si un cuadrilátero es inscribible en un círculo, entonces el producto de las medidas de sus diagonales es igual a la suma de los productos de las medidas de los pares de lados opuestos.

Además, lo contrario del teorema de Ptolomeo también es cierto:

En un cuadrilátero, si la suma de los productos de sus dos pares de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales, entonces el cuadrilátero puede inscribirse en un círculo.

Ejemplos [ editar ]

Triángulo equilátero [ editar ]

Triángulo equilátero

El teorema de Ptolomeo produce como corolario un bonito teorema ^{[2] con}respecto a un triángulo equilátero inscrito en un círculo.

Dado Un triángulo equilátero inscrito en un círculo y un punto en el círculo.

La distancia desde el punto hasta el vértice más distante del triángulo es la suma de las distancias desde el punto hasta los dos vértices más cercanos.

Prueba: Sigue inmediatamente del teorema de Ptolomeo:

$${\ displaystyle qs = ps + rs \ Rightarrow q = p + r.}

Cuadrado [ editar ]

Cualquier cuadrado puede inscribirse en un círculo cuyo centro es el centro del cuadrado. Si la longitud común de sus cuatro lados es igual a$${\ displaystyle a} entonces la longitud de la diagonal es igual a $${\ displaystyle a {\ sqrt {2}}}Según el teorema de Pitágorasy la relación, obviamente, se mantiene.

Rectángulo [ editar ]

Teorema de Pitágoras: "manifestum est" : copérnico

Más generalmente, si el cuadrilátero es un rectángulo con los lados a y b y diagonal d, entonces el teorema de Ptolomeo se reduce al teorema de Pitágoras. En este caso, el centro del círculo coincide con el punto de intersección de las diagonales. El producto de las diagonales es entonces d ² , el lado derecho de la relación de Ptolomeo es la suma a ² +  b ² .

Copérnico, que utilizó el teorema de Ptolomeo ampliamente en su trabajo trigonométrico, se refiere a este resultado como un "porismo" o corolario evidente:

Además, está claro (se manifiesta ) que cuando el acorde que subtiende un arco se ha dado, ese acorde también se puede encontrar que subtiende el resto del semicírculo. ^[3]

Pentágono [ editar ]

La razón de oro se deduce de esta aplicación del teorema de Ptolomeo.

Un ejemplo más interesante es la relación entre la longitud a del lado y la longitud (común) b de los 5 acordes en un pentágono regular. En este caso, la relación lee b ²  =  a ²  +  ab, lo que produce la proporción de oro

$${\ displaystyle \ varphi = {b \ sobre a} = {{1 + {\ sqrt {5}}} \ sobre 2}.} ^[4]

Lado del decagon [ editar ]

Lado del decagon inscrito.

Si ahora se dibuja el diámetro AF dividiendo DC para que DF y CF sean los lados c de un decágono inscrito, el Teorema de Ptolomeo se puede aplicar nuevamente, esta vez al ADFC del cuadrilátero cíclico con diámetro d como una de sus diagonales:

$${\ displaystyle ad = 2bc}

$${\ displaystyle \ Rightarrow ad = 2 \ varphi ac} dónde $${\ displaystyle \ varphi} es la proporción de oro.

$${\ displaystyle \ Rightarrow c = {\ frac {d} {2 \ varphi}}.}^[5]

de donde se obtiene el lado del decágono inscrito en términos del diámetro del círculo. El teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo AFD luego arroja "b" en términos del diámetro y "a" el lado del pentágono ^[6] se calcula como

$${\ displaystyle a = {\ frac {b} {\ varphi}} = b (\ varphi -1).}

Como Copérnico (siguiendo a Ptolomeo) escribió:

"El diámetro de un círculo dado, los lados del triángulo, tetrágono, pentágono, hexágono y decágono, que el mismo círculo circunscribe, también se dan". ^[7]

Pruebas [ editar ]

Más información: Pruebas de identidades trigonométricas.

Prueba por similitud de triángulos [ editar ]

Construcciones para una prueba del teorema de Ptolomeo.

Sea ABCD un cuadrilátero cíclico . En el acorde BC, los ángulos inscritos ∠BAC = ∠BDC, y en AB, ∠ADB = ∠ACB. Construya K en AC tal que ∠ABK = ∠CBD; ya que ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, ∠CBK = ∠ABD.

Ahora, por ángulos comunes △ ABK es similar a △ DBC, y también △ ABD es similar a C KBC. Así, AK / AB = CD / BD, y CK / BC = DA / BD; equivalentemente, AK · BD = AB · CD, y CK · BD = BC · DA. Al agregar dos ecualizaciones tenemos AK · BD + CK · BD = AB · CD + BC · DA, y factorizando esto da (AK + CK) · BD = AB · CD + BC · DA. Pero AK + CK = AC, entonces AC · BD = AB · CD + BC · DA, QED ^[8]

La prueba como está escrita solo es válida para cuadriláteros cíclicos simples . Si el cuadrilátero se cruza automáticamente, K se ubicará fuera del segmento de línea AC. Pero en este caso, AK − CK = ± AC, dando el resultado esperado.

Prueba de identidades trigonométricas [ editar ]

Dejemos los ángulos inscritos subtendidos por $${\ displaystyle AB}, $${\ displaystyle BC} y $${\ displaystyle CD} ser, respectivamente, $${\ displaystyle \ alpha}, $${\ displaystyle \ beta} y $${\ displaystyle \ gamma}, y el radio del circulo sea $${\ displaystyle R}, entonces nosotros tenemos $${\ displaystyle AB = 2R \ sin \ alpha}, $${\ displaystyle BC = 2R \ sin \ beta}, $${\ displaystyle CD = 2R \ sin \ gamma}, $${\ displaystyle AD = 2R \ sin (180 - (\ alpha + \ beta + \ gamma))}, $${\ displaystyle AC = 2R \ sin (\ alpha + \ beta)} y $${\ displaystyle BD = 2R \ sin (\ beta + \ gamma)}, y la igualdad original a probar se transforma en

$${\ displaystyle \ sin (\ alpha + \ beta) \ sin (\ beta + \ gamma) = \ sin \ alpha \ sin \ gamma + \ sin \ beta \ sin (\ alpha + \ beta + \ gamma)}

de que el factor $${\ displaystyle 4R ^ {2}} ha desaparecido al dividir ambos lados de la ecuación por ella.

Ahora usando las fórmulas de suma, $${\ displaystyle \ sin (x + y) = \ sin {x} \ cos y + \ cos x \ sin y} y $${\ displaystyle \ cos (x + y) = \ cos x \ cos y- \ sin x \ sin y}, es trivial mostrar que ambos lados de la ecuación anterior son iguales a

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & \ sin \ alpha \ sin \ beta \ cos \ beta \ cos \ gamma + \ sin \ alpha \ cos ^ {2} \ beta \ sin \ gamma \\ + {} & \ cos \ alpha \ sin ^ {2} \ beta \ cos \ gamma + \ cos \ alpha \ sin \ beta \ cos \ beta \ sin \ gamma. \ end {alineado}}}

QED

Prueba por inversión [ editar ]

Prueba del teorema de Ptolomeo mediante inversión de círculo

Elige un círculo auxiliar $${\ displaystyle \ Gamma}Centrado en D con respecto al cual el circuncírculo de ABCD se invierte en una línea (ver figura). Entonces $${\ displaystyle A'B '+ B'C' = A'C '.} Sin pérdida de generalidad $${\ displaystyle \ Gamma} tiene radio $${\ displaystyle 1}. Entonces$${\ displaystyle A'B ', B'C'} y $${\ displaystyle A'C '} se puede expresar como $${\ displaystyle {\ frac {AB} {DA \ cdot DB}}, {\ frac {BC} {DB \ cdot DC}}, {\ frac {AC} {DA \ cdot DC}}}respectivamente. Multiplicando la relación anterior por$${\ displaystyle DA \ cdot DB \ cdot DC} cede la igualdad de Ptolomeo.

QED

Corolarios [ editar ]

$${\ displaystyle | S_ {1} | = \ sin (\ theta _ {1})}

Corolario 1: Teorema de Pitágoras

En el caso de un círculo de unidad de diámetro los lados. $${\ displaystyle S_ {1}, S_ {2}, S_ {3}, S_ {4}}de cualquier cuadrilátero cíclico ABCD son numéricamente iguales a los senos de los ángulos $${\ displaystyle \ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ theta _ {3}} y $${\ displaystyle \ theta _ {4}}que ellos subtienden. De manera similar, las diagonales son iguales al seno de la suma de cualquier parde ángulos que subtienden. Luego podemos escribir el teorema de Ptolomeo en la siguiente forma trigonométrica:

$${\ displaystyle \ sin \ theta _ {1} \ sin \ theta _ {3} + \ sin \ theta _ {2} \ sin \ theta _ {4} = \ sin (\ theta _ {3} + \ theta _ {2}) \ sin (\ theta _ {1} + \ theta _ {2})}

Aplicando ciertas condiciones a los ángulos subtendidos. $${\ displaystyle \ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ theta _ {3}} y $${\ displaystyle \ theta _ {4}}es posible derivar una serie de corolarios importantes utilizando lo anterior como nuestro punto de partida. En lo que sigue es importante tener en cuenta que la suma de los ángulos$${\ displaystyle \ theta _ {1} + \ theta _ {2} + \ theta _ {3} + \ theta _ {4} = 180 ^ {\ circ}}.

Corolario 1. Teorema de Pitágoras [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle \ theta _ {1} = \ theta _ {3}} y $${\ displaystyle \ theta _ {2} = \ theta _ {4}}. Entonces$${\ displaystyle \ theta _ {1} + \ theta _ {2} = \ theta _ {3} + \ theta _ {4} = 90 ^ {\ circ}} (ya que los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios). Entonces: ^[9]

$${\ displaystyle \ sin \ theta _ {1} \ sin \ theta _ {3} + \ sin \ theta _ {2} \ sin \ theta _ {4} = \ sin (\ theta _ {3} + \ theta _ {2}) \ sin (\ theta _ {3} + \ theta _ {4})}

$${\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta _ {1} + \ sin ^ {2} \ theta _ {2} = \ sin ^ {2} (\ theta _ {1} + \ theta _ {2}) }

$${\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta _ {1} + \ cos ^ {2} \ theta _ {1} = 1}

Corolario 2. La ley de los cosenos [ editar ]

Corolario 2: la ley de los cosenos

Dejar $${\ displaystyle \ theta _ {2} = \ theta _ {4}}. El rectángulo del corolario 1 es ahora un trapecio simétrico con diagonales iguales y un par de lados iguales. Los lados paralelos difieren en longitud por$${\ displaystyle 2x} unidades donde:

$${\ displaystyle x = S_ {2} \ cos (\ theta _ {2} + \ theta _ {3})}

En este caso, será más fácil volver a la afirmación estándar del teorema de Ptolomeo:

$${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} S_ {1} S_ {3} + S_ {2} S_ {4} = {\ overline {AC}} \ cdot {\ overline {BD}} \\ Rightarrow S_ {1} S_ {3} + {S_ {2}} ^ {2} = {\ overline {AC}} ^ {2} \\\ Rightarrow S_ {1} [S_ {1} -2S_ {2} \ cos (\ theta _ {2} + \ theta _ {3})] + {S_ {2}} ^ {2} = {\ overline {AC}} ^ {2} \\\ Rightarrow {S_ {1}} ^ {2} + {S_ {2}} ^ {2} -2S_ {1} S_ {2} \ cos (\ theta _ {2} + \ theta _ {3}) = {\ overline {AC}} ^ {2} \\\ end {array}}}

La regla del coseno para el triángulo ABC.

Corolario 3. Ángulo compuesto seno (+) [ editar ]

Dejar

$${\ displaystyle \ theta _ {1} + \ theta _ {2} = \ theta _ {3} + \ theta _ {4} = 90 ^ {\ circ}.}

Entonces

$${\ displaystyle \ sin \ theta _ {1} \ sin \ theta _ {3} + \ sin \ theta _ {2} \ sin \ theta _ {4} = \ sin (\ theta _ {3} + \ theta _ {2}) \ sin (\ theta _ {3} + \ theta _ {4})}

Por lo tanto,

$${\ displaystyle \ cos \ theta _ {2} \ sin \ theta _ {3} + \ sin \ theta _ {2} \ cos \ theta _ {3} = \ sin (\ theta _ {3} + \ theta _ {2}) \ veces 1}

Fórmula para ángulo senoidal (+). ^[10]

Corolario 4. Ángulo compuesto seno (-) [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle \ theta _ {1} = 90 ^ {\ circ}}. Entonces$${\ displaystyle \ theta _ {2} + (\ theta _ {3} + \ theta _ {4}) = 90 ^ {\ circ}}. Por lo tanto,

$${\ displaystyle \ sin \ theta _ {1} \ sin \ theta _ {3} + \ sin \ theta _ {2} \ sin \ theta _ {4} = \ sin (\ theta _ {3} + \ theta _ {2}) \ sin (\ theta _ {3} + \ theta _ {4})}

$${\ displaystyle \ sin \ theta _ {3} + \ sin \ theta _ {2} \ cos (\ theta _ {2} + \ theta _ {3}) = \ sin (\ theta _ {3} + \ theta _ {2}) \ cos \ theta _ {2}}

$${\ displaystyle \ sin \ theta _ {3} = \ sin (\ theta _ {3} + \ theta _ {2}) \ cos \ theta _ {2} - \ cos (\ theta _ {2} + \ theta _ {3}) \ sin \ theta _ {2}}

Fórmula para el ángulo compuesto sinusoidal (-). ^[10]

Esta derivación corresponde al Tercer Teorema, como lo describe Copérnico siguiendo a Ptolomeo en Almagesto . En particular, si se dan los lados de un pentágono (subtendiendo 36 ° en la circunferencia) y de un hexágono (subtendiendo 30 ° en la circunferencia), se puede calcular un acorde que subtiende 6 °. Este fue un paso crítico en el antiguo método de cálculo de tablas de acordes. ^[11]

Corolario 5. Coseno del ángulo compuesto (+) [ editar ]

Este corolario es el núcleo del Quinto Teorema, como lo describe Copérnico después de Ptolomeo en Almagesto.

Dejar $${\ displaystyle \ theta _ {3} = 90 ^ {\ circ}}. Entonces$${\ displaystyle \ theta _ {1} + (\ theta _ {2} + \ theta _ {4}) = 90 ^ {\ circ}}. Por lo tanto

$${\ displaystyle \ sin \ theta _ {1} \ sin \ theta _ {3} + \ sin \ theta _ {2} \ sin \ theta _ {4} = \ sin (\ theta _ {3} + \ theta _ {2}) \ sin (\ theta _ {3} + \ theta _ {4})}

$${\ displaystyle \ cos (\ theta _ {2} + \ theta _ {4}) + \ sin \ theta _ {2} \ sin \ theta _ {4} = \ cos \ theta _ {2} \ cos \ theta _ {4}}

$${\ displaystyle \ cos (\ theta _ {2} + \ theta _ {4}) = \ cos \ theta _ {2} \ cos \ theta _ {4} - \ sin \ theta _ {2} \ sin \ theta _ {4}}

Fórmula para coseno de ángulo compuesto (+)

A pesar de carecer de la destreza de nuestra notación trigonométrica moderna, de los corolarios anteriores debería quedar claro que en el teorema de Ptolomeo (o más simplemente el Segundo teorema ), el mundo antiguo tenía a su disposición una herramienta trigonométrica extremadamente flexible y poderosa que permitía la comprensión de aquellos tiempos para elaborar tablas precisas de acordes (correspondientes a tablas de senos) y usarlas en sus intentos de entender y mapear el cosmos como lo vieron. Desde tablas de acordes fueron elaborados por Hiparco tres siglos antes de Tolomeo, debemos asumir que sabía del 'Segundo Teorema' y sus derivados. Siguiendo el rastro de los antiguos astrónomos, la historia registra el catálogo de estrellas de Timocharis.de Alejandría. Si, como parece probable, la compilación de tales catálogos requirió una comprensión del "Segundo Teorema", los verdaderos orígenes de este último desaparecerán posteriormente en las nieblas de la antigüedad, pero no puede ser descabellado suponer que los astrónomos, arquitectos e ingenieros de la construcción de El antiguo Egipto puede haber tenido algún conocimiento de ello.

La desigualdad de Ptolomeo [ editar ]

Artículo principal: la desigualdad de Ptolomeo.

Esto no es un cuadrilátero cíclico. La igualdad nunca se mantiene aquí, y es desigual en la dirección indicada por la desigualdad de Ptolomeo.

La ecuación en el teorema de Ptolomeo nunca es cierta con cuadriláteros no cíclicos. La desigualdad de Ptolomeo es una extensión de este hecho, y es una forma más general del teorema de Ptolomeo. Afirma que, dado un cuadrilátero ABCD , entonces

$${\ displaystyle {\ overline {AB}} \ cdot {\ overline {CD}} + {\ overline {BC}} \ cdot {\ overline {DA}} \ geq {\ overline {AC}} \ cdot {\ overline {BD}}}

donde la igualdad se mantiene si y solo si el cuadrilátero es cíclico . Este caso especial es equivalente al teorema de Ptolomeo.