GEOMETRÍA - TEOREMAS EN GEOMETRÍA

teorema de plegado y corte establece que cualquier forma con lados rectos se puede cortar desde una única hoja de papel (idealizada) doblándola en forma plana y haciendo un solo corte completo y recto. ^[1] Tales formas incluyen polígonos, que pueden ser cóncavos, formas con orificios y colecciones de tales formas (es decir, las regiones no necesitan estar conectadas ).

El problema correspondiente que resuelve el teorema se conoce como el problema de plegado y corte , que pregunta qué formas pueden obtenerse mediante el llamado método de plegado y corte. Un ejemplo particular del problema, que pregunta cómo se puede obtener una forma particular mediante el método de plegado y corte, se conoce como un problema de plegado y corte.

Historia [ editar ]

La primera descripción conocida de un problema de plegado y corte aparece en Wakoku Chiyekurabe(Concursos matemáticos), un libro que fue publicado en 1721 por Kan Chu Sen en Japón. ^[2]

Un artículo de 1873 en Harper's New Monthly Magazine describe cómo Betsy Ross pudo haber propuesto que las estrellas en la bandera estadounidense tengan cinco puntos, porque tal forma se puede obtener fácilmente mediante el método de plegado y corte. ^[3]

En el siglo XX, varios magos publicaron libros que contenían ejemplos de problemas de corte y plegado, entre ellos Will Blyth, ^[4] Harry Houdini , ^[5] y Gerald Loe (1955). ^[6]

Martin Gardner , inspirado por Loe, escribió sobre los problemas de doblar y cortar en Scientific American en 1960. Los ejemplos mencionados por Gardner incluyen separar los cuadrados rojos de los cuadrados negros de un tablero de ajedrez con un corte, y "un truco viejo de corte de papel, de origen desconocido "en el que un corte divide un pedazo de papel en una cruz latina y un conjunto de piezas más pequeñas que se pueden reorganizar para deletrear la palabra" infierno ". Previendo el trabajo sobre el teorema general de plegado y corte, escribe que "los diseños más complicados presentan problemas formidables". ^[7]

La primera prueba del teorema de doblar y cortar, resolver el problema, fue publicada en 1999 por Erik Demaine , Martin Demaine y Anna Lubiw . ^[8] [9]

Soluciones [ editar ]

Hay dos métodos generales conocidos para resolver instancias del problema de plegado y corte, basados ​​en esqueletos rectos y en empaquetado circular, respectivamente.

El teorema de Harcourt es una fórmula en geometría para el área de un triángulo , en función de la longitud de sus lados y las distancias perpendiculares de sus vértices desde una línea arbitraria tangente a su incircle. ^[1]

El teorema lleva el nombre de J. Harcourt, un profesor irlandés.

Declaración [ editar ]

Deje un triángulo con los vértices A , B y C , lados opuestos de las longitudes a , b y c , el área K y una línea que es tangente al incircle del triángulo en cualquier punto de ese círculo. Denotar las distancias perpendiculares firmadas de los vértices de la línea como un ' b ' y c ', con una distancia de ser negativo si y sólo si el vértice está en el lado opuesto de la línea desde el incentro. Entonces

$${\ displaystyle aa ^ {\ prime} + bb ^ {\ prime} + cc ^ {\ prime} = 2K.}

Caso degenerado [ editar ]

Si la línea tangente contiene uno de los lados del triángulo, entonces dos de las distancias son cero y la fórmula contrae la fórmula familiar de que dos veces el área de un triángulo es una base (el lado del triángulo coincidente) veces la altitud desde esa base .

Extensión [ editar ]

Si la línea es, en cambio, tangente al excirculo opuesto, digamos, el vértice A del triángulo, entonces ^{[1] : Thm.3}

$${\ displaystyle -aa ^ {\ prime} + bb ^ {\ prime} + cc ^ {\ prime} = 2K.}

Propiedad dual [ editar ]

Si en lugar de un ', b', c 'que se refiere a distancias desde un vértice a una línea tangente incircular arbitraria, se refieren a distancias desde una línea lateral a un punto arbitrario, entonces la ecuación

$${\ displaystyle aa ^ {\ prime} + bb ^ {\ prime} + cc ^ {\ prime} = 2K.}

teorema de la bisagra indica que si dos lados de un triángulo son congruentes con dos lados de otro triángulo, y el ángulo incluido del primero es más grande que el ángulo incluido del segundo, entonces el tercer lado del primer triángulo es más largo que el tercer lado del segundo triángulo. Este teorema es en realidad las proposiciones 24 del libro 1 de los Elementos de Euclides (a veces llamado teorema de boca abierta ). El teorema establece lo siguiente:

Si dos lados de un triángulo son congruentes, respectivamente, con dos lados de un segundo triángulo, y el ángulo incluido del primer triángulo es mayor que el ángulo incluido del segundo, entonces el tercer lado del primer triángulo es más largo que el tercer triángulo. Lado del segundo. ^[1]

Euclidiana [ editar ]

El teorema de la bisagra se mantiene en los espacios euclidianos y, más generalmente, en formas de espacio sincurvas, simplemente conectadas .

También puede extenderse desde planos de geometría euclidiana a espacios euclidianos de dimensión superior (por ejemplo, a tetraedros y, en general, a simples), como se ha hecho para tetraedros ortocéntricos (es decir, tetraedros en los que las altitudes son concurrentes) ^[2] y más en general para Simplicidad ortocéntrica (es decir, simplicidad en la que las altitudes son concurrentes). ^[3]

Converse [ editar ]

Lo contrario del teorema de la bisagra también es cierto: si los dos lados de un triángulo son congruentes con los dos lados de otro triángulo, y el tercer lado del primer triángulo es mayor que el tercer lado del segundo triángulo, entonces el ángulo incluido de el primer triángulo es más grande que el ángulo incluido del segundo triángulo.

En algunos libros de texto, el teorema y su inverso están escritos como el Teorema de desigualdad de SAS y el Teorema de desigualdad de SSS respectivamente.

Los triples de puntos rojos en las dos líneas negras tienen las mismas distancias dentro de cada triple, por lo tanto, según el teorema de Hjelmslev, los tres puntos medios de los pares correspondientes de puntos están en una sola línea (verde).

En geometría , el teorema de Hjelmslev , que lleva el nombre de Johannes Hjelmslev , es la afirmación de que si los puntos P, Q, R ... en una línea se asignan isométricamente a los puntos P´, Q´, R´ ... de otra línea en la misma línea plano, luego los puntos medios de los segmentos PP`, QQ´, RR´ ... también se encuentran en una línea.

La prueba es fácil si se asume la clasificación de isometrías planas . Si la isometría dada es impar, en cuyo caso es necesariamente un reflejo en una línea o un reflejo de planeo (el producto de tres reflexiones en una línea y dos perpendiculares a ella), entonces la afirmación es cierta de cualquier punto en el cualquier plano: el punto medio de PP´ se encuentra sobre el eje de la reflexión (deslizamiento) para cualquier P. Si la isometría es uniforme, compónlala con la reflexión en la línea PQR para obtener una isometría impar con el mismo efecto en P, Q, R ... y aplicar el comentario anterior.

La importancia del teorema radica en el hecho de que tiene una prueba diferente que no presupone el postulado paralelo y, por lo tanto, también es válida en la geometría no euclídea . Por su ayuda, el mapeo que mapea cada punto P del plano al punto medio del segmento P´P´´, donde P´ y P´´ son las imágenes de P bajo una rotación(en cualquier sentido) por un agudo dado. El ángulo alrededor de un centro dado, se ve como una colineación que mapea todo el plano hiperbólico de manera 1-1 en el interior de un disco, proporcionando así una buena noción intuitiva de la estructura lineal del plano hiperbólico. De hecho, esto se llama la transformación Hjelmslev .

 el teorema de Holditch establece que si se permite que un cordón de longitud fija gire dentro de una curva cerrada convexa, entonces el lugar geométrico de un punto en el cordón a una distancia pde un extremo y una distancia q del otro es una curva cerrada cuyo área cerrada es menor que la de la curva original por$${\ displaystyle \ pi pq}. El teorema fue publicado en 1858 por el Reverendo Hamnet Holditch . ^[1] [2] Si bien Holditch no lo menciona, la prueba del teorema requiere una suposición de que el acorde sea lo suficientemente corto como para que el locus trazado sea una curva cerrada simple.

Observaciones [ editar ]

El teorema se incluye como uno de los 250 hitos de Clifford Pickover en la historia de las matemáticas. ^[1]Algunas peculiaridades del teorema incluyen que la fórmula de área$${\ displaystyle \ pi pq}es independiente de la forma y el tamaño de la curva original, y que la fórmula del área es la misma que para la de la zona de una elipse con semiejes p y q . El autor del teorema era un presidente de Caius College, Cambridge .

Extensiones [ editar ]

Broman ^[3] da una declaración más precisa del teorema, junto con una generalización. La generalización permite, por ejemplo, considerar el caso en el que la curva externa es un triángulo , de modo que las condiciones de la declaración precisa del teorema de Holditch no se sostienen porque las rutas de los puntos finales del acorde tienen porciones retrógradas (porciones que retroceden ellos mismos) cada vez que se atraviesa un ángulo agudo . Sin embargo, la generalización muestra que si el acorde es más corto que cualquiera de las altitudes del triángulo , y es lo suficientemente corto para que el locus trazado sea una curva simple, la fórmula de Holditch para el área intermedia sigue siendo correcta (y permanece así si el triángulo es reemplazado por cualquierpolígono convexo con un acorde bastante corto). Sin embargo, otros casos dan lugar a diferentes fórmulas.