GEOMETRÍA - TEOREMAS EN GEOMETRIA

En geometría , teorema de Descartes afirma que por cada cuatro besos, o mutuamente tangentes , círculos , los radios de los círculos satisfacer una cierta ecuación cuadrática . Al resolver esta ecuación, uno puede construir un cuarto círculo tangente a tres círculos dados, mutuamente tangentes. El teorema lleva el nombre de René Descartes , quien lo declaró en 1643.

Historia [ editar ]

Los problemas geométricos que involucran círculos tangentes han sido ponderados durante milenios. En la antigua Grecia del siglo III aC, Apolonio de Perga dedicó todo un libro al tema.

René Descartes discutió el problema brevemente en 1643, en una carta a la princesa Elisabeth del Palatinado . Se le ocurrió esencialmente la misma solución que se da en la ecuación (1) a continuación, y así adjuntó su nombre al teorema.

Frederick Soddy redescubrió la ecuación en 1936. Los círculos de besos en este problema a veces se conocen como círculos de Soddy , tal vez porque Soddy eligió publicar su versión del teorema en forma de un poema titulado The Kiss Precise , que se imprimió en Nature (junio 20, 1936). Soddy también extendió el teorema a las esferas; Thorold Gosset extendió el teorema a dimensiones arbitrarias.

Definición de curvatura [ editar ]

Besos circulos Dados tres círculos mutuamente tangentes ( negro ), ¿qué radio puede tener un cuarto círculo tangente? En general hay dos respuestas posibles ( rojo ).

El teorema de Descartes se expresa más fácilmente en términos de las curvaturas de los círculos . La curvatura (o curva ) de un círculo se define como k  = ± 1 / r , donde r es su radio. Cuanto más grande es un círculo, más pequeña es la magnitud de su curvatura y viceversa.

El signo más en k  = ± 1 / r se aplica a un círculo que es externamentetangente a los otros círculos, como los tres círculos negros en la imagen. Para un círculo internamente tangente como el círculo rojo grande, que circunscribe a los otros círculos, se aplica el signo menos.

Si una línea recta se considera un círculo degenerado con curvatura cero (y, por lo tanto, un radio infinito), el teorema de Descartes también se aplica a una línea y dos círculos que son todos tres tangentes entre sí, dando el radio de un tercer círculo tangente a los otros dos círculos y la linea.

Si cuatro círculos son tangentes entre sí en seis puntos distintos, y los círculos tienen curvaturas k _i (para i  = 1, ..., 4), el teorema de Descartes dice:

$${\ displaystyle (k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} + k_ {4}) ^ {2} = 2 \, (k_ {1} ^ {2} + k_ {2} ^ {2} + k_ {3} ^ {2} + k_ {4} ^ {2}).}

( 1 )

Cuando se intenta encontrar el radio de un cuarto círculo tangente a tres círculos de besos dados, la ecuación se reescribe mejor como:

$${\ displaystyle k_ {4} = k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} \ pm 2 {\ sqrt {k_ {1} k_ {2} + k_ {2} k_ {3} + k_ {3 } k_ {1}}}.}

( 2 )

El signo ± refleja el hecho de que hay en general dos soluciones. Ignorando el caso degenerado de una línea recta, una solución es positiva y la otra es positiva o negativa; si es negativo, representa un círculo que circunscribe a los primeros tres (como se muestra en el diagrama anterior).

Los criterios específicos del problema pueden favorecer una solución sobre la otra en cualquier problema dado.

Casos especiales [ editar ]

Uno de los círculos es reemplazado por una línea recta de curvatura cero. El teorema de Descartes aún se aplica.

Aquí, como los tres círculos son tangentes entre sí en el mismo punto, el teorema de Descartes no se aplica.

Si uno de los tres círculos se sustituye por una línea recta, entonces uno k _i , digamos k ₃ , es cero y las gotas de la ecuación (1) . La ecuación (2) se vuelve mucho más simple:

$${\ displaystyle k_ {4} = k_ {1} + k_ {2} \ pm 2 {\ sqrt {k_ {1} k_ {2}}}.}

( 3 )

Si dos círculos son reemplazados por líneas, la tangencia entre los dos círculos reemplazados se convierte en un paralelismo entre sus dos líneas de reemplazo. Para que las cuatro curvas permanezcan mutuamente tangentes, los otros dos círculos deben ser congruentes. En este caso, con k ₂  =  k ₃  = 0, la ecuación (2) se reduce a lo trivial

$${\ displaystyle \ displaystyle k_ {4} = k_ {1}.}

No es posible reemplazar tres círculos por líneas, ya que no es posible que tres líneas y un círculo sean mutuamente tangentes. El teorema de Descartes no se aplica cuando los cuatro círculos están tangentes entre sí en el mismo punto.

Otro caso especial es cuando los k _i son cuadrados,

$${\ displaystyle (v ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) ^ {2} = 2 \, (v ^ {4} + x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4})}

Euler demostró que esto es equivalente al triplete simultáneo de los triples pitagóricos ,

$${\ displaystyle (2vx) ^ {2} + (2yz) ^ {2} = \, (v ^ {2} + x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}) ^ {2} }

$${\ displaystyle (2vy) ^ {2} + (2xz) ^ {2} = \, (v ^ {2} -x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2}) ^ {2} }

$${\ displaystyle (2vz) ^ {2} + (2xy) ^ {2} = \, (v ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} + z ^ {2}) ^ {2} }

y se le puede dar una solución paramétrica . Cuando se elige el signo menos de una curvatura,

$${\ displaystyle (-v ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) ^ {2} = 2 \, (v ^ {4} + x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4})}

esto se puede resolver ^[1] como,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {[} & v, x, y, z] \\ [6pt] = {} {\ Big [} & 2 (ab-cd) (ab + cd), \ (a ^ { 2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2}) (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} -d ^ {2}), \\ & \ qquad 2 (ac-bd) (a ^ {2} + c ^ {2}), \ 2 (ac-bd) (b ^ {2} + d ^ {2}) {\ Big]} \ end { alineado}}}

dónde

$${\ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} = \, c ^ {4} + d ^ {4}}

Soluciones paramétricas de las cuales son conocidas.

Complejo teorema de Descartes [ editar ]

Para determinar un círculo completamente, no solo se debe conocer su radio (o curvatura), sino también su centro. La ecuación relevante se expresa más claramente si las coordenadas ( x ,  y ) se interpretan como un número complejo z  =  x  + i y . La ecuación es similar al teorema de Descartes y, por lo tanto, se denomina teorema de Descartes complejo .

Dados cuatro círculos con curvaturas k _i y centros z _i (para i  = 1 ... 4), la siguiente igualdad es válida además de la ecuación (1) :

$${\ displaystyle (k_ {1} z_ {1} + k_ {2} z_ {2} + k_ {3} z_ {3} + k_ {4} z_ {4}) ^ {2} = 2 \, (k_ {1} ^ {2} z_ {1} ^ {2} + k_ {2} ^ {2} z_ {2} ^ {2} + k_ {3} ^ {2} z_ {3} ^ {2} + k_ {4} ^ {2} z_ {4} ^ {2}).}

( 4 )

Una vez que se ha encontrado k ₄ usando la ecuación (2) , uno puede proceder a calcular z ₄ reescribiendo la ecuación (4) a una forma similar a la ecuación (2) :

$${\ displaystyle z_ {4} = {\ frac {z_ {1} k_ {1} + z_ {2} k_ {2} + z_ {3} k_ {3} \ pm 2 {\ sqrt {k_ {1} k_ {2} z_ {1} z_ {2} + k_ {2} k_ {3} z_ {2} z_ {3} + k_ {1} k_ {3} z_ {1} z_ {3}}}} {k_ {4}}}.}

De nuevo, en general, hay dos soluciones para z ₄ , que corresponden a las dos soluciones para k ₄ . Tenga en cuenta que el signo más / menos en la fórmula anterior para z no corresponde necesariamente al signo más / menos en la fórmula para k.

Generalizaciones [ editar ]

La generalización a n dimensiones se denomina a veces teorema de Soddy-Gosset , aunque fue mostrada por R. Lachlan en 1886. En el espacio euclidiano n- dimensional , el número máximo de esferas mutuamente tangentes ( n - 1) es n + 2 . Por ejemplo, en el espacio tridimensional, cinco esferas pueden ser mutuamente tangentes. Las curvaturas de las hiperesferas satisfacen

$${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n + 2} k_ {i} \ right) ^ {2} = n \, \ sum _ {i = 1} ^ {n + 2} k_ {i} ^ {2}}

con el caso k _i = 0 correspondiente a un hiperplano plano, en analogía exacta a la versión bidimensional del teorema.

Aunque no hay un análogo tridimensional de los números complejos, la relación entre las posiciones de los centros se puede reexpresar como una ecuación matricial , que también se generaliza a n dimensiones. 

dévissage es una técnica introducida por Alexander Grothendieck para probar afirmaciones sobre poleas coherentes en esquemas noetherianos . Dévissage es una adaptación de un cierto tipo de inducción noeriana . Tiene muchas aplicaciones, incluida la prueba de planitud genérica y la prueba de que las imágenes directas superiores de las poleas coherentes bajo los morfismos adecuados son coherentes.

Laurent Gruson y Michel Raynaud extendieron este concepto a la situación relativa, es decir, a la situación en la que el esquema bajo consideración no es necesariamente noetheriano, sino que admite un morfismo presentado de forma finita a otro esquema. Hicieron esto definiendo un objeto llamado un apéndice relativo que se adapta bien a ciertos tipos de argumentos inductivos. Utilizaron esta técnica para dar un nuevo criterio para que un módulo sea plano . Como consecuencia, pudieron simplificar y generalizar los resultados de EGA IV 11 en el descenso de la llanura. ^[1]

La palabra dévissage es francés para desatornillar .

Teorema de dévissage de Grothendieck [ editar ]

Sea X un esquema noetheriano. Deje que C sea una subcategoría abeliano completa de la categoría de coherentes O _X -modules, y dejar que X 'un subespacio cerrado de la subyacente espacio topológico de X . Supongamos que para cada punto x de X ', existe una gavilla coherente G en C cuya fibra en x es un espacio vectorial unidimensional sobre el campo de residuos k ( x ). Luego, cada módulo O _X coherente cuyo soporte está contenido en X'Está contenido en C . ^[2]

En el caso particular de que X '= X , el teorema dice que C es la categoría de O _X -modules. Este es el escenario en el que se aplica con mayor frecuencia el teorema, pero la afirmación anterior permite probar el teorema mediante la inducción noetheriana.

Una variación del teorema es que si cada factor directo de un objeto en C está nuevamente en C , entonces la condición de que la fibra de G en x sea ​​unidimensional puede reemplazarse por la condición de que la fibra no esté vacía. ^[3]

Aspectos relativos de Gruson y Raynaud [ editar ]

Supongamos que f: X → S es un morfismo finamente presentado de esquemas afines, s es un punto de S y M es un módulo de tipo O _{X de} tipo finito . Si n es un número natural, entonces Gruson y Raynaud definen un S -dévissage en la dimensión n que consiste en:

1. Un subsquema cerrado cerrado X 'de X que contiene el subsistema cerrado definido por el aniquilador de M y tal que la dimensión de X ′ ∩ f ⁻¹ ( s ) es menor o igual que n .
2. Un esquema T y una factorización X '→ T → S de la restricción de f a X ' tal que X '→ T es un morfismo finito y T → S es un morfismo afín suave con fibras geométricamente integrales de dimensión n . Denotan el punto genérico de T × _S k ( s ) por τ y la pushforward de M a la T por N .
3. A finito tipo libre de O _T -module L y un homomorfismo α: L → N tal que α ⊗ k (τ) es biyectiva.

Si n ₁ , n ₂ , ..., n _r es una secuencia estrictamente decreciente de números naturales, entonces una indicación de S en las dimensiones n ₁ , n ₂ , ..., n _r se define recursivamente como:

1. Un S -dévissage en dimensión n ₁ . Denota el cokernel de α por P ₁ .
2. Un S -dévissage en dimensiones n ₂ , ..., n _r de P ₁ .

Se dice que el dévissage se encuentra entre las dimensiones n ₁ y n _r . r se llama la longitud del dévissage. El último paso de la recursión consiste en una descripción en dimensión n _r que incluye un morfismo α _r  : L _r → N _r . Denota el cokernel de este morfismo por P _r . El dévissage se llama total si P _r es cero. ^[4]

Gruson y Raynaud demuestran, en general, que a nivel local, siempre existen dévissages. Específicamente, dejar que f  : ( X , x ) → ( S , s ) sea un morfismo finitamente presentado de los regímenes de puntiagudos y Msea un O _X -módulo de tipo finito cuya fibra en x no es cero. Conjunto n igual a la dimensión de M ⊗ k ( s ) y r a la codepth de M a s , es decir, a n - profundidad ( M ⊗ k( s )) . ^[5] Entonces existen barrios afines étalé X 'de x y S' de s , junto con los puntos x 'y s ' de elevación x y s , de manera que las extensiones de campo de residuos k ( x ) → k ( x ') y k ( s ) → k ( s ′) son triviales, el mapa X ′ → S se basa en S', Esta factorización envía x ' a s ', y que el retroceso de M a X ' admite un total de S '-dévissage en x ' en las dimensiones entre n y n - r .

 teorema del doble límite de Thurston da la condición para que una secuencia de grupos cuasi-fucsianos tenga una subsecuencia convergente. Se introdujo en Thurston (1998 , teorema 4.1) y es un paso importante en la prueba de Thurston del teorema de hiperbolización para el caso de múltiples fibras en el círculo.

Declaración [ editar ]

Por el teorema de Bers , los grupos cuasi-fuchsianos (de algún género fijo ) están parametrizados por puntos en T × T , donde T es el espacio de Teichmüller del mismo género. Supongamos que hay una secuencia de grupos cuasi-Fuchsian correspondientes a puntos ( g _i , h _i ) en T × T . Supongamos también que las secuencias g _i , h _iconvergen a los puntos μ, μ ′ en el límite de Thurston del espacio de Teichmüller de las laminaciones proyectivas medidas. Si los puntos μ, μ ′ tienen la propiedad de que cualquier laminación medida sin cero tiene un número de intersección positivo con al menos uno de ellos, entonces la secuencia de grupos cuasi-fucsianos tiene una subsecuencia que converge algebraicamente.