GEOMETRÍA - TEOREMAS EN GEOMETRÍA

Medianas de un tetraedro que se intersecan en el centroide S.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {| AS |} {| SS_ {BCD} |}} & = {\ frac {| BS |} {| SS_ {ACD} |}} = {\ frac { | CS |} {| SS_ {ABD} |}} = {\ frac {| DS |} {| SS_ {ABC}}} \\ & = {\ frac {3} {1}} \ end {alineado} }}

El teorema de Commandino , que lleva el nombre de Federico Commandino (1509–1575), establece que las cuatro medianas de un tetraedro son concurrentes en un punto S , que las divide en una proporción de 3: 1. En un tetraedro, una mediana es un segmento de línea que conecta un vértice con el centroide de la caraopuesta , es decir, el centroide del triángulo opuesto. El punto S es también el centroide del tetraedro. ^{[1] [2] [3]}

El teorema se atribuye a Commandino, quien afirmó, en su obra De Centro Gravitatis Solidorum (El Centro de Gravedad de Sólidos, 1565), que las cuatro medianas del tetraedro son concurrentes. Sin embargo, según el investigador del siglo XIX Guillaume Libri, Francesco Maurolico (1494-1575) afirmó haber encontrado el resultado anteriormente. Sin embargo, Libri pensó que ya lo conocía Leonardo da Vinci , que parecía haberlo utilizado en su trabajo. Julian Coolidgecompartió esa evaluación, pero señaló que no podía encontrar ninguna descripción explícita o tratamiento matemático del teorema en las obras de Da Vinci. ^[4]Otros estudiosos han especulado con que los matemáticos griegos ya sabían el resultado durante la antigüedad.

longitud de la cuerda constante: $${\ displaystyle | P_ {1} Q_ {1} | = | P_ {2} Q_ {2} |}

longitud del diámetro constante: $${\ displaystyle | P_ {1} Q_ {1} | = | P_ {2} Q_ {2} |}

El teorema de acordes constante es una declaración en geometría elemental sobre una propiedad de ciertos acordes en dos círculos que se intersecan .

Los circulos $${\ displaystyle k_ {1}} y $${\ displaystyle k_ {2}} intersectarse en los puntos $${\ displaystyle P} y $${\ displaystyle Q}. $${\ displaystyle Z_ {1}} es un punto arbitrario en $${\ displaystyle k_ {1}} siendo diferente de $${\ displaystyle P} y $${\ displaystyle Q}. Las líneas$${\ displaystyle Z_ {1} P} y $${\ displaystyle Z_ {1} Q} intersecta el círculo $${\ displaystyle k_ {2}} en $${\ displaystyle P_ {1}} y $${\ displaystyle Q_ {1}}. El teorema del acorde constante luego establece que la longitud del acorde$${\ displaystyle P_ {1} Q_ {1}} en $${\ displaystyle k_ {2}} No depende de la ubicación de $${\ displaystyle Z_ {1}} en $${\ displaystyle k_ {1}}En otras palabras, la longitud es constante.

El teorema se mantiene vigente, cuando $${\ displaystyle Z_ {1}} coincide con $${\ displaystyle P} o $${\ displaystyle Q} siempre y cuando uno reemplaza la línea entonces indefinida $${\ displaystyle Z_ {1} P} o $${\ displaystyle Z_ {1} Q} por la tangente en $${\ displaystyle k_ {1}}en $${\ displaystyle Z_ {1}}.

Un teorema similar existe en tres dimensiones para la intersección de dos esferas . Las esferas$${\ displaystyle k_ {1}} y $${\ displaystyle k_ {2}}intersectarse en el círculo $${\ displaystyle k_ {s}}. $${\ displaystyle Z_ {1}} Es un punto arbitrario en la superficie de la primera esfera. $${\ displaystyle k_ {1}}, eso no está en el círculo de intersección $${\ displaystyle k_ {s}}. El cono extendido creado por$${\ displaystyle k_ {s}} y $${\ displaystyle Z_ {1}} intersecta la segunda esfera $${\ displaystyle k_ {2}}en un círculo. La longitud del diámetro de este círculo es constante, es decir, no depende de la ubicación de$${\ displaystyle Z_ {1}}en $${\ displaystyle k_ {1}}.

Nathan Altshiller Court describió el teorema del acorde constante de 1925 en el artículo sur deux cercles secants para la revista matemática belga Mathesis . Ocho años más tarde publicó On Two Intersecting Spheres en el American Mathematical Monthly , que contenía la versión tridimensional. Más tarde se quedó incluido en varios libros de texto, tales como Ross Honsberger 's Matemáticas Morsels y Roger Nelsen de prueba sin palabras II , en la que se da como un problema, o el libro de texto de geometría alemán Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten por Halbeisen, Hungerbühler y Lauchli, donde Fue dado como un teorema.

El teorema de la barra cruzada dice que el rayo AD se interseca con el segmento BC

En geometría , el teorema de la barra transversal establece que si el rayo AD está entre el rayo AC y el rayo AB, entonces el rayo AD intersecta el segmento de línea BC. ^[1]

Este resultado es uno de los resultados más profundos en la geometría del plano axiomático. ^[2] A menudo se usa en pruebas para justificar la afirmación de que una línea a través de un vértice de un triángulo que se encuentra dentro del triángulo se encuentra con el lado del triángulo opuesto a ese vértice. Esta propiedad fue utilizada a menudo por Euclid en sus pruebas sin una justificación explícita. ^[3]

Algunos tratamientos modernos (no los de Euclides) de la prueba del teorema de que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes comienzan así: Sea ABC un triángulo con el lado AB congruente al lado AC. Dibuje la bisectriz de ángulo del ángulo A y sea D el punto en el que se encuentra con el lado BC . Y así. La justificación de la existencia del punto D es el teorema de barra cruzada a menudo no expresado. Para este resultado particular, existen otras pruebas que no requieren el uso del teorema de la barra cruzada.

Tetraedro con una esquina en ángulo recto en O

El teorema de De Gua es un análogo tridimensional del teorema de Pitágoras y lleva el nombre de Jean Paul de Gua de Malves .

Si un tetraedro tiene una esquina de ángulo recto (como la esquina de un cubo ), entonces el cuadrado del área de la cara opuesta a la esquina de ángulo recto es la suma de los cuadrados de las áreas de las otras tres caras.

$${\ displaystyle A_ {ABC} ^ {2} = A _ {\ color {azul} ABO} ^ {2} + A _ {\ color {verde} ACO} ^ {2} + A _ {\ color {rojo} BCO} ^ {2}}

Generalizaciones [ editar ]

El teorema de Pitágoras y el teorema de de Gua son casos especiales ( n  = 2, 3) de un teorema general sobre n -simplices con una esquina de ángulo recto . Este, a su vez, es un caso especial de un teorema aún más generalde Donald R. Conant y William A. Beyer, ^[1] que se puede afirmar de la siguiente manera.

Sea U un subconjunto medible de un subespacio afín k- dimensional de$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} (asi que $${\ displaystyle k \ leq n}). Para cualquier subconjunto$${\ displaystyle I \ subseteq \ {1, \ ldots, n \}}con exactamente k elementos, vamos$${\ displaystyle U_ {I}}ser la proyección ortogonal de U en el tramo lineal de$${\ displaystyle e_ {i_ {1}}, \ ldots, e_ {i_ {k}}}, dónde $${\ displaystyle I = \ {i_ {1}, \ ldots, i_ {k} \}} y $${\ displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {n}}es la base estandar para$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}. Entonces

$${\ displaystyle {\ mbox {vol}} _ {k} ^ {2} (U) = \ sum _ {I} {\ mbox {vol}} _ {k} ^ {2} (U_ {I}), }

dónde $${\ displaystyle {\ mbox {vol}} _ {k} (U)}es el volumen k- dimensional de U y la suma está sobre todos los subconjuntos$${\ displaystyle I \ subseteq \ {1, \ ldots, n \}}con exactamente k elementos.

El teorema de De Gua y su generalización (arriba) a n -simplices con esquinas de ángulo recto corresponden al caso especial donde k  =  n −1 y U es un ( n −1) -simplex en$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}con vértices en los ejes de coordenadas . Por ejemplo, supongamos que n  = 3, k  = 2 y U es el triángulo $${\ displaystyle \ triángulo ABC} en $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}con los vértices A , B y C quedescansan sobre el$${\ displaystyle x_ {1}}-, $${\ displaystyle x_ {2}}- y $${\ displaystyle x_ {3}}-axes, respectivamente. Los subconjuntos$${\ displaystyle I} de $${\ displaystyle \ {1,2,3 \}} con exactamente 2 elementos son $${\ displaystyle \ {2,3 \}}, $${\ displaystyle \ {1,3 \}} y $${\ displaystyle \ {1,2 \}}. Por definición,$${\ displaystyle U _ {\ {2,3 \}}} es la proyección ortogonal de $${\ displaystyle U = \ triángulo ABC} sobre la $${\ displaystyle x_ {2} x_ {3}}plano $${\ displaystyle U _ {\ {2,3 \}}} es el triangulo $${\ displaystyle \ triangle OBC}con vértices O , B y C , donde O es el origen de$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}. Similar,$${\ displaystyle U _ {\ {1,3 \}} = \ triángulo AOC} y $${\ displaystyle U _ {\ {1,2 \}} = \ triángulo ABO}, así lo dice el teorema de Conant-Beyer.

$${\ displaystyle {\ mbox {vol}} _ {2} ^ {2} (\ triángulo ABC) = {\ mbox {vol}} _ {2} ^ {2} (\ triangle OBC) + {\ mbox {vol }} _ {2} ^ {2} (\ triangle AOC) + {\ mbox {vol}} _ {2} ^ {2} (\ triangle ABO),}

que es el teorema de de gua.

el teorema de Desargues , que lleva el nombre de Girard Desargues , establece:

Dos triángulos están en perspectiva axialmente si y solo si están en perspectiva centralmente .

Denotan los tres vértices de un triángulo por una , by c , y los de la otra por A , B y C . Perspectividadaxial significa que las líneas ab y AB se juntan en un punto, las líneas ac y AC se juntan en un segundo punto, y las líneas bc y BC se juntan en un tercer punto, y que estos tres puntos se encuentran en una línea común llamada eje de perspectividad. . La perspectividad central significa que las tres líneas Aa , Bb yLos Cc son concurrentes, en un punto llamadocentro de la perspectiva.

Este teorema de intersección es cierto en el plano euclidiano habitual , pero se debe tener especial cuidado en casos excepcionales, como cuando un par de lados son paralelos, de modo que su "punto de intersección" retroceda hasta el infinito. Comúnmente, para eliminar estas excepciones, los matemáticos "completan" el plano euclidiano "agregando" puntos al infinito después de Jean-Victor Poncelet . Esto se traduce en un plano proyectivo .

El teorema de Desargues es válido para el plano proyectivo real , para cualquier espacio proyectivo definido aritméticamente de un campo o anillo de división , para cualquier espacio proyectivo de dimensión desigual a dos, y para cualquier espacio proyectivo en el que se sostiene el teorema de Pappus . Sin embargo, hay algunos planos no desarguesianos en los que el teorema de Desargues es falso.

Perspectiva de los triángulos. Los lados correspondientes de los triángulos, cuando se extienden, se encuentran en puntos de una línea llamada eje de perspectividad. Las líneas que corren a través de los vértices correspondientes en los triángulos se encuentran en un punto llamado centro de perspectividad. El teorema de Desargues afirma que la verdad de la primera condición es necesaria y suficiente para la verdad de la segunda.

Historia [ editar ]

Desargues nunca publicó este teorema, pero apareció en un apéndice titulado Método universal de M. Desargues para utilizar la perspectiva (Maniére universelle de M. Desargues pour practiquer la perspectiva) de un libro práctico sobre el uso de la perspectiva publicado en 1648 ^[1] por su amigo y alumno Abraham Bosse (1602-1676). ^[2]

Espacios proyectivos versus afines [ editar ]

En un espacio afín como el plano euclidiano, una afirmación similar es cierta, pero solo si se enumeran varias excepciones relacionadas con líneas paralelas. El teorema de Desargues es, por lo tanto, uno de los teoremas geométricos más simples cuyo hogar natural es el espacio proyectivo en lugar del afín.

Auto-dualidad [ editar ]

Por definición, dos triángulos son perspectiva si y solo si están en perspectiva centralmente (o, de manera equivalente, según este teorema, en perspectiva axial). Tenga en cuenta que los triángulos de perspectiva no tienen por qué ser similares .

Bajo la dualidad estándar de la geometría proyectiva plana (donde los puntos corresponden a las líneas y la colinealidad de los puntos corresponde a la concurrencia de las líneas), el enunciado del teorema de Desargues es auto-dual: ^[3] la perspectividad axial se traduce en la perspectividad central y viceversa. La configuración de Desargues (abajo) es una configuración auto-dual. ^[4]

Prueba del teorema de Desargues [ editar ]

El teorema de Desargues es válido para el espacio proyectivo de cualquier dimensión sobre cualquier campo o anillo de división, y también para los espacios proyectivos abstractos de la dimensión al menos 3. En la dimensión 2, los planos para los que se sostiene se denominan planos desarguesianos y son iguales a los planos que Se pueden dar coordenadas sobre un anillo de división. También hay muchos planos no desarguesianosdonde el teorema de Desargues no se sostiene.

Prueba tridimensional [ editar ]

El teorema de Desargues es válido para cualquier espacio proyectivo de dimensión al menos 3, y más generalmente para cualquier espacio proyectivo que pueda incrustarse en un espacio de dimensión al menos 3.

El teorema de Desargues se puede afirmar de la siguiente manera:

Si las líneas Aa , Bb y Cc son concurrentes (se encuentran en un punto), entonces

los puntos AB ∩ ab , AC ∩ ac y BC ∩ bc son colineales .

Los puntos A , B , a y b son coplanares (se encuentran en el mismo plano) debido a la concurrencia supuesta de Aa y Bb . Por lo tanto, las líneas AB y ab pertenecen al mismo plano y deben intersecarse. Además, si los dos triángulos se encuentran en planos diferentes, entonces el punto AB ∩ ab pertenece a ambos planos. Por un argumento simétrico, los puntos AC ∩ ac y BC ∩ bcTambién existen y pertenecen a los planos de ambos triángulos. Dado que estos dos planos se intersecan en más de un punto, su intersección es una línea que contiene los tres puntos.

Esto prueba el teorema de Desargues si los dos triángulos no están contenidos en el mismo plano. Si están en el mismo plano, se puede probar el teorema de Desargues al elegir un punto que no esté en el plano, usar esto para levantar los triángulos fuera del plano para que el argumento anterior funcione, y luego volver a proyectar en el plano. El último paso de la prueba falla si el espacio proyectivo tiene una dimensión menor que 3, ya que en este caso puede que no sea posible encontrar un punto fuera del plano.

El teorema de Monge también afirma que tres puntos se encuentran en una línea, y tiene una prueba que usa la misma idea de considerarla en tres en lugar de dos dimensiones y escribir la línea como una intersección de dos planos.

Prueba bidimensional [ editar ]

Como hay planos proyectivos no desarguesianos en los que el teorema de Desargues no es cierto, ^[5] deben cumplirse algunas condiciones adicionales para demostrarlo. Estas condiciones usualmente toman la forma de asumir la existencia de suficientes colinciones de un cierto tipo, lo que a su vez lleva a mostrar que el sistema de coordenadas algebraicas subyacente debe ser un anillo de división (campo de skewfield). ^[6]

Relación con el teorema de Pappus [ editar ]

El teorema del hexágono de Pappus establece que, si un hexágono AbCaBc se dibuja de tal manera que los vértices a , b y c se encuentran en una línea y los vértices A , B y C se encuentran en una segunda línea, entonces cada uno de los dos lados opuestos del hexágono se encuentra en Dos líneas que se juntan en un punto y los tres puntos construidos de esta manera son colineales. Un plano en el que el teorema de Pappus es universalmente verdadero se llama Pappian . Hessenberg (1905) ^[7] mostró que el teorema de Desargues se puede deducir de tres aplicaciones del teorema de Pappus. ^[8]

Lo contrario de este resultado no es cierto, es decir, no todos los planos Desarguesianos son Pappianos. Satisfacer el teorema de Pappus universalmente es equivalente a tener el sistema de coordenadas subyacente sea conmutativo . Un plano definido sobre un anillo de división no conmutativo (un anillo de división que no es un campo) sería, por lo tanto, Desarguesiano pero no Pappiano. Sin embargo, debido al pequeño teorema de Wedderburn , que establece que todos los anillos de división finita son campos, todos los planos desarguesianos finitos son Pappian. No hay pruebas completamente geométricas conocidas de este hecho, aunque Bamberg y Penttila (2015) dar una prueba que use solo datos algebraicos "elementales" (en lugar de la fuerza completa del pequeño teorema de Wedderburn).

La configuración de Desargues [ editar ]

Artículo principal: Configuración de Desargues.

La configuración de Desargues se ve como un par de pentágonos inscritos entre sí: cada vértice del pentágono se encuentra en la línea a través de uno de los lados del otro pentágono.

Las diez líneas involucradas en el teorema de Desargues (seis lados de los triángulos, las tres líneas Aa , Bb y Cc , y el eje de la perspectividad) y los diez puntos involucrados (los seis vértices, los tres puntos de intersección en el eje de la perspectividad, y el centro de la perspectividad) está dispuesto de tal manera que cada una de las diez líneas pasa por tres de los diez puntos, y cada uno de los diez puntos se encuentra en tres de las diez líneas. Esos diez puntos y diez líneas conforman la configuración de Desargues , un ejemplo de una configuración proyectiva . Aunque el teorema de Desargues elige roles diferentes para estas diez líneas y puntos, la configuración de Desargues en sí es más simétrica : cualquier de los diez puntos puede elegirse para ser el centro de la perspectividad, y esa elección determina qué seis puntos serán los vértices de los triángulos y qué línea será el eje de la perspectividad.