GEOMETRÍA - TEOREMAS EN GEOMETRÍA

teorema de geometrización de Thurston o el teorema de hiperbolización implica que las variedades de Haken atoroides cerradas son hiperbólicas, y en particular satisfacen la conjetura de Thurston .

Declaración [ editar ]

Una forma del teorema de geometrización de Thurston es que si M es un colector de Haken atoroideo irreducible y compacto cuyo límite tiene una característica de Euler cero, entonces el interior de M tiene una estructura hiperbólica completa de volumen finito.

El teorema de rigidez de Mostow implica que si una variedad de dimensión al menos 3 tiene una estructura hiperbólica de volumen finito, entonces es esencialmente única.

Las condiciones para que el colector M sea ​​irreducible y atoroidal son necesarias, ya que los colectores hiperbólicos tienen estas propiedades. Sin embargo, la condición de que el colector sea Haken es innecesariamente fuerte. La conjetura de hiperbolización de Thurston establece que una 3-variedad atoroidal irreducible cerrada con un grupo fundamental infinito es hiperbólica, y esto se deduce de la prueba de Perelman de la conjetura de la geometrización de Thurston.

Manifolds con límite [ editar ]

Thurston (1982 , 2.3) demostró que si una variedad compacta 3 es primordial, homotópicamente atoroidal y tiene un límite no vacío, entonces tiene una estructura hiperbólica completa, a menos que sea homeomórfica a cierta variedad ( T ² × [0,1] ) / Z / 2 Z con límite  T ² .

Una estructura hiperbólica en el interior de un colector de 3 compacta orientable tiene un volumen finito si y solo si todos los componentes del límite son toros, excepto el colector T ² × [0,1] que tiene una estructura hiperbólica pero ninguna de volumen finito ( Thurston 1982 , p. 359).

Pruebas [ editar ]

Thurston nunca publicó una prueba completa de su teorema por las razones que explicó en ( Thurston 1994 ), aunque partes de su argumento se encuentran en Thurston ( 1986 , 1998a , 1998b ). Wall (1984) y Morgan (1984) dieron resúmenes de la prueba de Thurston. Otal (1996) dio una prueba en el caso de los colectores de esa fibra en el círculo, y Otal (1998) y Kapovich (2009) dieron pruebas del caso genérico de los colectores que no tienen fibra en el círculo. El teorema de geometrización de Thurston también se desprende de la prueba de Perelman que utiliza el flujo de Ricci de lo más generalConjetura de la geometrización de Thurston .

Colectores de que la fibra sobre el círculo [ editar ]

El argumento original de Thurston para este caso fue resumido por Sullivan (1979) . Otal (1996) dio una prueba en el caso de los colectores de esa fibra sobre el círculo.

El teorema de geometrización de Thurston en este caso especial establece que si M es un 3-múltiple que las fibras sobre el círculo y cuya monodromía es un difeomorfismo pseudo-Anosov , entonces el interior de M tiene una métrica hiperbólica completa de volumen finito.

Colectores que no forman fibra sobre el círculo [ editar ]

Otal (1998) y Kapovich (2009) dieron pruebas del teorema de Thurston para el caso genérico de múltiples que no forman fibra sobre el círculo.

La idea de la prueba es cortar un colector Haken M a lo largo de una superficie incompresible, para obtener un nuevo colector N . Por inducción, se supone que el interior de N tiene una estructura hiperbólica, y el problema es modificarlo para que pueda extenderse hasta el límite de N y pegarlo. Thurston demostró que esto se desprende de la existencia de un punto fijo para un mapa del espacio Teichmüller llamado el mapa de desollar . El núcleo de la prueba del teorema de la geometrización es probar que si N no es un paquete de intervalo en un intervalo y M es un atoroidal, entonces el mapa de revestimiento tiene un punto fijo. (Si Nes un paquete de intervalos, entonces el mapa de revestimiento no tiene un punto fijo, por lo que se necesita un argumento separado cuando M fibras sobre el círculo. McMullen (1990) dio una nueva prueba de la existencia de un punto fijo del mapa de revestimiento.

El ángulo inscrito θ es la mitad del ángulo central 2 subt que subtiende el mismo arco en el círculo. Por lo tanto, el ángulo θ no cambia a medida que su vértice se mueve alrededor del círculo.

En geometría , un ángulo inscrito es el ángulo formado en el interior de un círculo cuando dos líneas secantes (o, en un caso degenerado , cuando una línea secante y una línea tangente de ese círculo) se intersecan en el círculo. También se puede definir como el ángulo subtendido en un punto en el círculo por dos puntos dados en el círculo.

De manera equivalente, un ángulo inscrito se define por dos acordes del círculo que comparten un punto final.

El teorema del ángulo inscrito relaciona la medida de un ángulo inscrito con la del ángulo central que subtiende el mismo arco .

Teorema [ editar ]

Declaración [ editar ]

Para los puntos fijos A y B , el conjunto de puntos M en el plano para el cual el ángulo AMB es igual a  α es un arco de círculo. La medida de ∠ AOB , donde O es el centro del círculo, es 2 α .

El teorema del ángulo inscrito establece que un ángulo θ inscrito en un círculo es la mitad del ángulo central 2 subt que subtiende el mismo arcoen el círculo. Por lo tanto, el ángulo no cambia a medida que su vérticese mueve a diferentes posiciones en el círculo.

Prueba [ editar ]

Ángulos inscritos donde un acorde es un diámetro [ editar ]

Caso: un acorde es un diámetro

Sea O el centro de un círculo, como en el diagrama de la derecha. Elegir dos puntos de la circunferencia, y los llaman V y A . Dibujar línea VO y extendido más allá de O de modo que se cruza con el círculo en el punto B que es diametralmente opuesto al punto V . Dibuje un ángulo cuyo vértice es el punto V y cuyos lados pasan por los puntos A y B .

Dibuja la línea OA . El ángulo BOA es un ángulo central ; llamalo θ . Las líneas OV y OA son radios del círculo, por lo que tienen longitudes iguales. Por lo tanto, el triángulo VOA es isósceles , por lo que el ángulo BVA (el ángulo inscrito) y el ángulo VAO son iguales; dejar que cada uno de ellos se denota como ψ .

Los ángulos BOA y AOV son suplementarios . Agregan hasta 180 °, ya que la línea VB que pasa por O es una línea recta. Por lo tanto, el ángulo AOV mide 180 ° -  θ .

Se sabe que los tres ángulos de un triángulo suman 180 °, y los tres ángulos del triángulo VOA son:

180 ° - θ

ψ

ψ .

Por lo tanto,

$${\ displaystyle 2 \ psi +180 ^ {\ circ} - \ theta = 180 ^ {\ circ}.}

Resta 180 ° de ambos lados,

$${\ displaystyle 2 \ psi = \ theta,}

donde θ es el arco AB que subtiende el ángulo central y ψ es el arco AB que subtiende el ángulo inscrito .

Ángulos inscritos con el centro del círculo en su interior [ editar ]

Estuche: Centro interior a ángulo.

Dado un círculo cuyo centro es el punto O , elija tres puntos V , C y D en el círculo. Dibuja las líneas VC y VD : ángulo DVC es un ángulo inscrito. Ahora dibuja la línea VO y extenderlo más allá punto O de manera que se cruza con el círculo en el punto E . Subtítulo DVC subtenda arco DCen el círculo.

Supongamos que este arco incluye el punto E dentro de él. Punto E es diametralmente opuesto al punto V . Los ángulos DVE y EVC también son ángulos inscritos, pero ambos ángulos tienen un lado que atraviesa el centro del círculo, por lo que se les puede aplicar el teorema de la Parte 1 anterior.

Por lo tanto,

$${\ displaystyle \ angle DVC = \ angle DVE + \ angle EVC.}

entonces vamos

$${\ displaystyle \ psi _ {0} = \ angle DVC,}

$${\ displaystyle \ psi _ {1} = \ angle DVE,}

$${\ displaystyle \ psi _ {2} = \ angle EVC,}

así que eso

$${\ displaystyle \ psi _ {0} = \ psi _ {1} + \ psi _ {2}. \ qquad \ qquad (1)}

Dibuja las líneas OC y OD . El ángulo DOC es un ángulo central, pero también lo son los ángulos DOE y EOC , y

$${\ displaystyle \ angle DOC = \ angle DOE + \ angle EOC.}

Dejar

$${\ displaystyle \ theta _ {0} = \ angle DOC,}

$${\ displaystyle \ theta _ {1} = \ angle DOE,}

$${\ displaystyle \ theta _ {2} = \ angle EOC,}

así que eso

$${\ displaystyle \ theta _ {0} = \ theta _ {1} + \ theta _ {2}. \ qquad \ qquad (2)}

De la primera parte sabemos que $${\ displaystyle \ theta _ {1} = 2 \ psi _ {1}} y eso $${\ displaystyle \ theta _ {2} = 2 \ psi _ {2}}. Combinando estos resultados con los resultados de la ecuación (2).

$${\ displaystyle \ theta _ {0} = 2 \ psi _ {1} +2 \ psi _ {2}}

por lo tanto, por la ecuación (1),

$${\ displaystyle \ theta _ {0} = 2 \ psi _ {0}.}

Ángulos inscritos con el centro del círculo en su exterior [ editar ]

Caso: Centro exterior a ángulo

El caso anterior puede extenderse para cubrir el caso en el que la medida del ángulo inscrito es la diferencia entre dos ángulos inscritos, como se explicó en la primera parte de esta prueba.

Dado un círculo cuyo centro es el punto O , elija tres puntos V , C y D en el círculo. Dibuja las líneas VC y VD : ángulo DVC es un ángulo inscrito. Ahora dibuja la línea VO y extenderlo más allá punto O de manera que se cruza con el círculo en el punto E . Subtítulo DVC subtenda arco DCen el círculo.

Supongamos que este arco no incluye el punto E dentro de él. Punto Ees diametralmente opuesto al punto V . Los ángulos EVD y EVC también son ángulos inscritos, pero ambos ángulos tienen un lado que atraviesa el centro del círculo, por lo que se les puede aplicar el teorema de la Parte 1 anterior.

Por lo tanto,

$${\ displaystyle \ angle DVC = \ angle EVC- \ angle EVD}.

entonces vamos

$${\ displaystyle \ psi _ {0} = \ angle DVC,}

$${\ displaystyle \ psi _ {1} = \ angle EVD,}

$${\ displaystyle \ psi _ {2} = \ angle EVC,}

así que eso

$${\ displaystyle \ psi _ {0} = \ psi _ {2} - \ psi _ {1}. \ qquad \ qquad (3)}

Dibuja las líneas OC y OD . El ángulo DOC es un ángulo central, pero también lo son los ángulos EOD y EOC , y

$${\ displaystyle \ angle DOC = \ angle EOC- \ angle EOD.}

Dejar

$${\ displaystyle \ theta _ {0} = \ angle DOC,}

$${\ displaystyle \ theta _ {1} = \ angle EOD,}

$${\ displaystyle \ theta _ {2} = \ angle EOC,}

así que eso

$${\ displaystyle \ theta _ {0} = \ theta _ {2} - \ theta _ {1}. \ qquad \ qquad (4)}

De la primera parte sabemos que $${\ displaystyle \ theta _ {1} = 2 \ psi _ {1}} y eso $${\ displaystyle \ theta _ {2} = 2 \ psi _ {2}}. Combinando estos resultados con los resultados de la ecuación (4).

$${\ displaystyle \ theta _ {0} = 2 \ psi _ {2} -2 \ psi _ {1}}

por lo tanto, por la ecuación (3),

$${\ displaystyle \ theta _ {0} = 2 \ psi _ {0}.}

Corolario [ editar ]

Por un argumento similar, el ángulo entre un acorde y la línea tangente en uno de sus puntos de intersección es igual a la mitad del ángulo central subtendido por el acorde. Ver también Líneas tangentes a círculos .

Aplicaciones [ editar ]

El teorema de ángulo inscrito se usa en muchas pruebas de la geometría euclidiana elemental del plano . Un caso especial del teorema es el teorema de Thales , que establece que el ángulo subtendido por un diámetro es siempre 90 °, es decir, un ángulo recto. Como consecuencia del teorema, los ángulos opuestos de los cuadriláteros cíclicos suman 180 °; a la inversa, cualquier cuadrilátero para el cual esto sea cierto puede inscribirse en un círculo. Como otro ejemplo, el teorema de ángulo inscrito es la base de varios teoremas relacionados con la potencia de un punto con respecto a un círculo. Además, permite probar que cuando dos acordes se intersecan en un círculo, los productos de las longitudes de sus piezas son iguales.