ARTÍCULOS DE MATEMÁTICAS

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Ilustración gráfica de una función elíptica donde sus valores están indicados por colores. Estos se repiten periódicamente en las dos direcciones del plano complejo .

Las funciones elípticas de Abel son funciones holomorfas de una variable compleja y con dos períodos . Fueron establecidos por primera vez por Niels Henrik Abel y son una generalización de las funciones trigonométricas . Como se basan en integrales elípticas , fueron los primeros ejemplos de funciones elípticas . Funciones similares fueron definidas poco después por Carl Gustav Jacobi . A pesar de que las funciones de Abel tienen varias ventajas teóricas, las funciones elípticas de JacobiSe han convertido en la norma. Esto puede tener que ver con el hecho de que Abel murió solo dos años después de que los presentó, mientras que Jacobi podría continuar explorándolos durante toda su vida. Tanto las funciones elípticas de Abel como las de Jacobi se pueden derivar de una formulación más general que Karl Weierstrass dio luego basándose en su doble periodicidad.

Historia [ editar ]

Las primeras funciones elípticas fueron encontradas por Carl Friedrich Gauss alrededor de 1795 en relación con su cálculo de la longitud del arco lemniscado , pero publicado por primera vez después de su muerte. ^[1] Estos son casos especiales de funciones elípticas generales que fueron investigadas por primera vez por Abel en 1823 cuando aún era estudiante. ^[2] Su punto de partida fueron las integrales elípticas que Adrien-Marie Legendrehabía estudiado con gran detalle . El año después de que Abel pudo informar que sus nuevas funciones tenían dos períodos . ^[3] Especialmente esta propiedad los hizo más interesantes que lo normal.Funciones trigonométricas que tienen un solo periodo. En particular, significaba que tenían que ser funciones complejas que en ese momento estaban aún en su infancia.

En los años siguientes, Abel continuó explorando estas funciones. También trató de generalizarlos a funciones con incluso más períodos, pero parecía no tener prisa por publicar sus resultados. Pero a principios del año 1827 escribió juntos su primera y larga presentación, Recherches sur les fonctions elliptiques, de sus descubrimientos. ^[4] A fines de ese mismo año, conoció a Carl Gustav Jacobi y sus trabajos sobre nuevas transformaciones de integrales elípticas. Abel termina una segunda parte de su artículo sobre funciones elípticas y muestra en un apéndice cómo los resultados de transformación de Jacobi seguirían fácilmente. ^[5]Cuando ve la próxima publicación de Jacobi, en la que utiliza funciones elípticas para probar sus resultados sin referirse a Abel, el matemático noruego se encuentra en una lucha con Jacobi por la prioridad. Termina varios artículos nuevos sobre temas relacionados, ahora por primera vez saliendo con ellos, pero muere menos de un año después. Mientras tanto, Jacobi completa su gran trabajo Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum sobre funciones elípticas que aparece el mismo año que un libro. Terminó definiendo cuál sería la forma estándar de funciones elípticas en los años siguientes.

Propiedades [ editar ]

Bajo su corta estancia en Copenhague en 1823, bajo la influencia de Carl Ferdinand, Degen Abel comenzó a trabajar en las integrales elípticas que previamente habían sido investigadas y clasificadas por Legendre . La integral del primer tipo que escribió sobre la forma simétrica.

$${\ displaystyle u = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {dt} {\ sqrt {(1-c ^ {2} t ^ {2}) (1 + e ^ {2} t ^ { 2})}}}}

donde c y e   son parámetros arbitrarios. Inicialmente, se considerarán números reales, pero eventualmente también pueden tomar valores complejos. ^[6] En el caso especial c = 1 y e = 0, la integral da la longitud del arcode un círculo , mientras que para c = e = 1 conduce a la longitud del arco del lemniscado . De este modo, podía hacer contacto tanto con las funciones trigonométricas ( funciones circulares) como con las funciones lemniscáticas que Gauss había insinuado en sus Disquisitiones Arithmeticae..

El valor u de la integral es una función del límite superior x de la integral. Mientras x <1 font="" nbsp="">c este valor aumentará con el aumento de x y alcanzará un máximo

$${\ displaystyle {\ omega \ over 2} = \ int _ {0} ^ {1 / c} {\ frac {dt} {\ sqrt {(1-c ^ {2} t ^ {2}) (1+ e ^ {2} t ^ {2})}}}.}

cuando x = 1 / c . Hasta ahora no había nada nuevo en esto que Legendre no hubiera hecho ya. Pero el golpe de genio de Abel ahora era considerar la función inversa x = φ ( u ). Esto está bien definido en el intervalo 0 ≤ u ≤ ω / 2 con φ (0) = 0 . Dado que la integral de definición es una función impar del límite superior, esta nueva función φ ( u ) también será impar y, por lo tanto, se definirá en todo el intervalo : ω / 2 ≤ u ≤ ω / 2 con los valores especiales φ (± ω/ 2) = ± 1 / c .

Al tomar la derivada con respecto a u en ambos lados de la integral, se puede encontrar la derivada dx / du = φ '  ( u ) . Eso lleva a

$${\ displaystyle \ varphi '(u) = {\ sqrt {(1-c ^ {2} \ varphi ^ {2} (u)) (1 + e ^ {2} \ varphi ^ {2} (u)) }}}

que ahora es una función par '  ( u ) = φ'  (- u ) con los valores φ '  (± ω / 2) = 0  y φ'  (0) = 1.

Para las dos raíces cuadradas que aquí aparecen, Abel introdujo las nuevas funciones.

$${\ displaystyle f (u) = {\ sqrt {1-c ^ {2} \ varphi ^ {2} (u)}}, \; \; \; F (u) = {\ sqrt {1 + e ^ {2} \ varphi ^ {2} (u)}}}

que también son parejos. Desde arriba se encuentra f (0) = F (0) = 1, junto con f (± omega / 2) = 0  y F (± omega / 2) = √ 1 + e ² / c ² . Si uno considera que φ ( u ) es una función sinusoidal generalizada , entonces estas dos funciones pares pueden verse como funciones de coseno generalizadas de las que ahora hay dos. En términos de ellos, uno tiene la derivada en la forma más compacta φ '  ( u ) = f ( u )F ( u ). De manera similar, luego se sigue que f '  ( u ) = - c ² φ ( u ) F ( u )  y F'  ( u ) = e ² φ ( u ) f ( u ).

Fórmulas de adición [ editar ]

Euler y Legendre habían demostrado que las integrales elípticas satisfacían diferentes teoremas de suma . Abel dio una nueva derivación de esto para la integral particular que consideró y encontró.

$${\ displaystyle \ varphi (u_ {1} + u_ {2}) = {\ varphi (u_ {1}) f (u_ {2}) F (u_ {2}) + \ varphi (u_ {2}) f (u_ {1}) F (u_ {1}) \ sobre 1 + c ^ {2} e ^ {2} \ varphi ^ {2} (u_ {1}) \ varphi ^ {2} (u_ {2} )}}

Para las otras dos funciones elípticas obtuvo similarmente

{\ displaystyle {\ begin {alineado} f (u_ {1} + u_ {2}) & = {f (u_ {1}) f (u_ {2}) - c ^ {2} \ varphi (u_ {1 }) \ varphi (u_ {2}) F (u_ {1}) F (u_ {2}) \ sobre 1 + c ^ {2} e ^ {2} \ varphi ^ {2} (u_ {1}) \ varphi ^ {2} (u_ {2})} \\ [5pt] F (u_ {1} + u_ {2}) & = {F (u_ {1}) F (u_ {2}) + e ^ {2} \ varphi (u_ {1}) \ varphi (u_ {2}) f (u_ {1}) f (u_ {2}) \ sobre 1 + c ^ {2} e ^ {2} \ varphi ^ {2} (u_ {1}) \ varphi ^ {2} (u_ {2})} \ end {alineado}}}

Haciendo uso de estos, ahora podría extender el rango del argumento sobre el cual se definieron las funciones. Por ejemplo, si configura u ₁ = ± ω / 2 en la primera fórmula, se obtiene

$${\ displaystyle \ varphi {\ big (} u \ pm {\ omega \ sobre 2} {\ big)} = \ pm {1 \ sobre c} {f (u) \ sobre F (u)}}

y de manera similar para las otras dos funciones,

$${\ displaystyle f {\ big (} u \ pm {\ omega \ over 2} {\ big)} = \ mp {\ sqrt {c ^ {2} + e ^ {2}}} {\ varphi (u) \ sobre F (u)}, \; \; F {\ big (} u \ pm {\ omega \ over 2} {\ big)} = {{\ sqrt {c ^ {2} + e ^ {2} }} \ sobre c} {1 \ sobre F (u)}}

Con u = ω / 2, uno tiene así φ ( ω ) = 0 para que las funciones se definan en todo el intervalo - ω ≤ u ≤ ω . Repitiendo esta extensión un paso más, uno encuentra φ ( u + ω ) = - φ ( u ) . Esta función es entonces periódica φ ( u + 2 ω ) = φ ( u ) con el período 2 ω . Para las dos funciones pares, uno obtiene de manera similar f ( u + ω ) = - f( u ) y F ( u + ω ) = F ( u ) . La función f ( u ) por lo tanto también tiene el período de 2 ω , mientras que F ( u ) tiene el período más corto ω .

Extensión compleja [ editar ]

Abel también podría extender sus nuevas funciones al plano complejo . Para ello definió la integral conjugada.

$${\ displaystyle v = \ int _ {0} ^ {y} {\ frac {dt} {\ sqrt {(1 + c ^ {2} t ^ {2}) (1-e ^ {2} t ^ { 2})}}}}

donde los parámetros c son e se intercambian. El límite superior y puede tomarse nuevamente como una función del valor integral v . Este es un número real y aumenta constantemente de cero a un valor máximo

$${\ displaystyle {\ omega '\ over 2} = \ int _ {0} ^ {1 / e} {\ frac {dt} {\ sqrt {(1 + c ^ {2} t ^ {2}) (1 -e ^ {2} t ^ {2})}}}}

para y = 1 / e . Al cambiar la integración de t a ella , Abel descubrió que iy = φ ( iv ) . Esta función elíptica podría por lo tanto encontrarse para valores puramente imaginarios del argumento. En particular, uno tiene φ ( iω ' / 2) = i / e . Usando los teoremas de suma, se pueden calcular las funciones para un argumento complejo general de la forma w = u + iv .

Para esta extensión compleja, se necesitan también los valores de las otras dos funciones elípticas para los argumentos imaginarios. Uno encuentra f (± iω '  / 2) = √ 1 + c ² / e ² y F (± iω' / 2) = 0 . Así se deduce que

$${\ displaystyle \ varphi {\ big (} u \ pm i {\ omega '\ over 2} {\ big)} = \ pm {i \ over e} {F (u) \ over f (u)}}

y de manera similar para las otras dos funciones,

$${\ displaystyle F {\ big (} u \ pm i {\ omega '\ over 2} {\ big)} = \ pm i {\ sqrt {c ^ {2} + e ^ {2}}} {\ varphi (u) \ sobre f (u)}, \; \; f {\ big (} u \ pm i {\ omega '\ over 2} {\ big)} = {{\ sqrt {c ^ {2} + e ^ {2}}} \ sobre e} {1 \ sobre f (u)}}

Desde f (± ω / 2) = 0, se deduce que las tres funciones elípticas divergen en ω / 2 ± iω'  / 2 y otros puntos relacionados por simetría. Estas divergencias resultan ser simples polos , pero esta parte del análisis complejoaún no estaba tan desarrollada en la época de Abel. ^[6]

Doble periodicidad [ editar ]

La extensión compleja anterior se definió para los argumentos imaginarios en el intervalo - ω '  / 2 ≤ v ≤ ω'  / 2 . Pero usando las fórmulas de suma, esto puede extenderse a - ω '  ≤ v ≤ ω'  . Reemplazando entonces u con u + iω '  / 2 en las mismas fórmulas, se deduce que φ ( u + iω'  ) = - φ ( u ) . Esta función elíptica es por lo tanto periódica también en la dirección imaginaria con el período 2 iω ' . Además, también uno tiene

$${\ displaystyle \ varphi (u + \ omega \ pm i \ omega ') = \ varphi (u)}

de modo que se puede decir que la función tiene los dos períodos complejos ω _1,2 = ω ± i  ω '  . Como φ (0) = 0, la función también será cero en todos los puntos w = mω + inω '  donde m y n son números enteros. Estos ceros forman así una red regular en el plano complejo como también lo harán los polos.

Para las otras dos funciones, Abel encontró f ( u + iω '  ) = f ( u ) y F ( u + iω'  ) = - F ( u ) . La función f ( u ) tiene el período iω '  en la dirección imaginaria, mientras que es 2 iω'  para F ( u ). Sus ceros y polos formarán de nuevo una red regular que refleja su doble periodicidad. Después de la muerte de Gauss, se descubrió que había descubierto una doble periodicidad correspondiente en su función elíptica lemniscada . ^[1]

Funciones elípticas de Jacobi [ editar ]

A partir de las integrales definitorias, se puede ver que las funciones elípticas de Abel se pueden expresar mediante las funciones elípticas de Jacobi para valores imaginarios k = ie / c del módulo. La relación precisa entre estas funciones se puede encontrar mediante un cambio de la variable de integración y es

$${\ displaystyle \ varphi (u; c, e) = {1 \ over c} \ operatorname {sn} (cu, ie / c)}

Para las dos funciones secundarias esto resulta en

$${\ displaystyle f (u; c, e) = \ operatorname {cn} (cu, ie / c), \; \; F (u; c, e) = \ operatorname {dn} (cu, ie / c) }

Después de que Abel muriera en 1829, Jacobi continuó sus investigaciones sobre las funciones elípticas. Con el tiempo, se tabularon numéricamente y terminaron siendo las funciones elípticas estándar. ^[7] Usando estos para valores imaginarios del módulo, también se pueden calcular las funciones elípticas de Abel correspondientes.

La ecuación de Abel , llamada así por Niels Henrik Abel , es un tipo de ecuación funcional que se puede escribir en la forma

$${\ displaystyle f (h (x)) = h (x + 1)}

o equivalente,

$${\ displaystyle \ alpha (f (x)) = \ alpha (x) +1}

y controla la iteración de   f .

Equivalencia [ editar ]

Estas ecuaciones son equivalentes. Suponiendo que α es una función invertible , la segunda ecuación se puede escribir como

$${\ displaystyle \ alpha ^ {- 1} (\ alpha (f (x))) = \ alpha ^ {- 1} (\ alpha (x) +1) \ ,.}

Tomando x = α ⁻¹ ( y ) , la ecuación se puede escribir como

$${\ displaystyle f (\ alpha ^ {- 1} (y)) = \ alpha ^ {- 1} (y + 1) \ ,.

Para una función f ( x ) que se supone que se conoce, la tarea es resolver la ecuación funcional para la función α ⁻¹ ≡ h , que posiblemente cumpla con requisitos adicionales, como α ⁻¹ (0) = 1 .

El cambio de las variables s ^α ( x ) = Ψ ( x ) , para un parámetro real s , lleva la ecuación de Abel a la celebrada ecuación de Schröder , Ψ ( f ( x )) = s  Ψ ( x ) .

El cambio adicional F ( x ) = exp ( s ^α ( x ) ) en la ecuación de Böttcher , F ( f ( x )) = F ( x ) ^s .

La ecuación de Abel es un caso especial de (y se generaliza fácilmente a) la ecuación de traducción , ^[1]

$${\ displaystyle \ omega (\ omega (x, u), v) = \ omega (x, u + v) ~,}

por ejemplo, para $${\ displaystyle \ omega (x, 1) = f (x)},

$${\ displaystyle \ omega (x, u) = \ alpha ^ {- 1} (\ alpha (x) + u)}. (Observe ω ( x , 0) = x .)

La función de Abel α ( x ) proporciona además la coordenada canónica para los flujos advectivos de Lie (un parámetro, los grupos de Lie ).

Véase también: Función iterada § Propiedad abeliana y secuencias de iteración

Historia [ editar ]

Inicialmente, se informó la ecuación en la forma más general ^[2] [3] . Incluso en el caso de una sola variable, la ecuación no es trivial y admite un análisis especial. ^{[4] [5] [6]}

En el caso de una función de transferencia lineal, la solución se puede expresar de forma compacta. ^[7]

Casos especiales [ editar ]

La ecuación de tetración es un caso especial de la ecuación de Abel, con f = exp .

En el caso de un argumento entero, la ecuación codifica un procedimiento recurrente, por ejemplo,

$${\ displaystyle \ alpha (f (f (x))) = \ alpha (x) + 2 ~,}

y así,

$${\ displaystyle \ alpha (f_ {n} (x)) = \ alpha (x) + n ~.}

Soluciones [ editar ]

• Solución formal: única (a una constante) ^[8]
• Soluciones analíticas (coordenadas de Fatou) = aproximación por expansión asintótica de una función definida por series de potencias en los sectores alrededor del punto fijo parabólico ^[9]

Las coordenadas de Fatou describen la dinámica local de un sistema dinámico discreto cerca de un punto fijo parabólico .