ARTÍCULOS DE MATEMÁTICAS

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Líneas 10580–10594, columnas 21–40, de un millón de dígitos aleatorios con 100,000 desviaciones normales

Un millón de dígitos aleatorios con 100,000 desviaciones normaleses un libro de números aleatorios de RAND Corporation , publicado originalmente en 1955. El libro, que consiste principalmente en una tabla de números aleatorios , fue un trabajo importante del siglo XX en el campo de las estadísticas y los números aleatorios . Fue producido a partir de 1947 por una simulación electrónica de una rueda de ruletaconectada a una computadora., cuyos resultados fueron luego cuidadosamente filtrados y probados antes de ser utilizados para generar la tabla. La tabla RAND fue un avance importante en la entrega de números aleatorios, porque nunca antes había estado disponible una tabla tan grande y cuidadosamente preparada. Además de estar disponible en forma de libro, también se pueden ordenar los dígitos en una serie de tarjetas perforadas .

La tabla tiene el formato de 400 páginas, cada una de las cuales contiene 50 líneas de 50 dígitos. Las columnas y las líneas se agrupan en cinco, y las líneas se numeran del 00000 al 19999. Las desviaciones normales estándar son otras 200 páginas (10 por línea, líneas del 0000 al 9999), con cada desviación dada a tres lugares decimales. Hay 28 páginas adicionales de portada .

El uso principal de las tablas fue en las estadísticas y en el diseño experimental de experimentos científicos , especialmente aquellos que usaron el método de Monte Carlo ; en criptografía , también se han utilizado como nada en mis números de manga , por ejemplo en el diseño del cifrado Khafre . El libro fue uno de los últimos de una serie de tablas de números aleatorios producidas desde mediados de la década de 1920 hasta la década de 1950, después de lo cual el desarrollo de computadoras de alta velocidad permitió un funcionamiento más rápido mediante la generación de números pseudoaleatorios en lugar de leerlos en tablas.

El libro fue reeditado en 2001 ( ISBN  0-8330-3047-7 ) con un nuevo prólogo del vicepresidente ejecutivo de RAND, Michael D. Rich . Ha generado muchos comentarios de usuarios humorísticos en Amazon.com . ^[1]

Los dígitos (secuencia A002205 en el OEIS ) comienzan:

10097 32533 76520 13586 34673 54876 80959 09117 39292 74945

La probabilidad a priori es una probabilidad que se deriva puramente por el razonamiento deductivo . ^[1] Una forma de derivar probabilidades a priori es el principio de indiferencia , que tiene el carácter de decir que, si hay Neventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos y si son igualmente probables, entonces la probabilidad de que ocurra un evento determinado es 1 / N . Del mismo modo la probabilidad de una de una colección dada de K eventos es K / N .

Una desventaja de la definición de probabilidades de la manera anterior es que se aplica solo a colecciones finitas de eventos.

En la inferencia bayesiana , los " antecedentes no informativos " o los "antecedentes objetivos" son elecciones particulares de probabilidades a priori . ^[2] Tenga en cuenta que " probabilidad previa " es un concepto más amplio.

Similar a la distinción en filosofía entre a priori y a posteriori , en inferencia bayesiana a priori denota conocimiento general sobre la distribución de datos antes de hacer una inferencia, mientras que a posterioridenota conocimiento que incorpora los resultados de hacer una inferencia.

Probabilidad a priori en mecánica estadística [ editar ]

La probabilidad a priori tiene una aplicación importante en la mecánica estadística . La versión clásica se define como la proporción del número de eventos elementales(p. ej., el número de veces que se lanza un dado) al número total de eventos, y estos se consideran puramente deductivos, es decir, sin experimentar. En el caso del dado, si lo miramos en la mesa sin lanzarlo, cada evento elemental se deduce deductivamente para tener la misma probabilidad, por lo tanto, la probabilidad de cada resultado de un lanzamiento imaginario del dado (perfecto) o simplemente contando El número de caras es 1/6. Cada cara del dado aparece con igual probabilidad, siendo la probabilidad una medida definida para cada evento elemental. El resultado es diferente si lanzamos el dado veinte veces y preguntamos cuántas veces (de 20) aparece el número 6 en la cara superior. En este caso, el tiempo entra en juego y tenemos un tipo diferente de probabilidad dependiendo del tiempo o la cantidad de veces que se tira el dado. Por otra parte,

En mecánica estadística, por ejemplo, la de un gas contenido en un volumen finito. $${\ displaystyle V}, tanto las coordenadas espaciales $${\ displaystyle q_ {i}} y las coordenadas del impulso $${\ displaystyle p_ {i}}de los elementos de gas individuales (átomos o moléculas) son finitos en el espacio de fase abarcado por estas coordenadas. En analogía con el caso de la matriz, la probabilidad a priori es aquí (en el caso de un continuo) proporcional al elemento de volumen de espacio de fase$${\ displaystyle \ Delta q \ Delta p} dividido por $${\ displaystyle h}, y es el número de ondas estacionarias (es decir, estados) en el mismo, donde $${\ displaystyle \ Delta q} es el rango de la variable $${\ displaystyle q} y $${\ displaystyle \ Delta p} es el rango de la variable $${\ displaystyle p}(Aquí por simplicidad considerado en una dimensión). En 1 dimensión (longitud$${\ displaystyle L}) este número o ponderación estadística o ponderación a priori es $${\ displaystyle L \ Delta p / h}. En las 3 dimensiones habituales (volumen).$${\ displaystyle V}) el número correspondiente puede ser calculado para ser $${\ displaystyle V4 \ pi p ^ {2} \ Delta p / h ^ {3}}. ^[4] Para entender esta cantidad como una serie de estados en mecánica cuántica (es decir, onda), recuerde que en la mecánica cuántica cada partícula está asociada con una onda de materia que es la solución de una ecuación de Schrödinger. En el caso de partículas libres (de energía).$${\ displaystyle \ epsilon = {\ bf {p}} ^ {2} / 2m}) como las de un gas en una caja de volumen. $${\ displaystyle V = L ^ {3}} tal ola de materia es explícitamente

$${\ displaystyle \ psi \ propto \ sin (l \ pi x / L) \ sin (m \ pi y / L) \ sin (n \ pi z / L)},

dónde $${\ displaystyle l, m, n}son enteros El numero de diferentes $${\ displaystyle (l, m, n)} valores y, por tanto, los estados en la región entre $${\ displaystyle p, p + dp, p ^ {2} = {\ bf {p}} ^ {2},} luego se encuentra que es la expresión anterior $${\ displaystyle V4 \ pi p ^ {2} dp / h ^ {3}}Considerando el área cubierta por estos puntos. Además, en vista de la relación de incertidumbre , que en 1 dimensión espacial es

$${\ displaystyle \ Delta q \ Delta p \ geq h},

estos estados son indistinguibles (es decir, estos estados no llevan etiquetas). Una consecuencia importante es un resultado conocido como el teorema de Liouville , es decir, la independencia de tiempo de este elemento de volumen de espacio de fase y, por lo tanto, de la probabilidad a priori. Una dependencia temporal de esta cantidad implicaría información conocida sobre la dinámica del sistema y, por lo tanto, no sería una probabilidad a priori. ^[5] Así la región

$${\ displaystyle \ Omega: = {\ frac {\ Delta q \ Delta p} {\ int \ Delta q \ Delta p}}, \; \; \; \ int \ Delta q \ Delta p = const.,}

Cuando se diferencia con respecto al tiempo. $${\ displaystyle t} produce cero (con la ayuda de las ecuaciones de Hamilton): El volumen en el momento $${\ displaystyle t}es lo mismo que en el tiempo cero. Uno describe esto también como conservación de la información.

En la teoría cuántica completa uno tiene una ley de conservación análoga. En este caso, la región del espacio de fase se reemplaza por un subespacio del espacio de estados expresado en términos de un operador de proyección$${\ displaystyle P}, y en lugar de la probabilidad en el espacio de fase, uno tiene la densidad de probabilidad

$${\ displaystyle \ Sigma: = {\ frac {P} {TrP}}, \; \; \; N = TrP = const.,}

dónde $${\ displaystyle N}Es la dimensionalidad del subespacio. La ley de conservación en este caso se expresa por la unitaridad de la matriz-S . En cualquier caso, las consideraciones suponen un sistema aislado cerrado. Este sistema aislado cerrado es un sistema con (1) una energía fija.$${\ displaystyle E} y (2) un número fijo de partículas $${\ displaystyle N}en (c) un estado de equilibrio. Si se considera un gran número de réplicas de este sistema, se obtiene lo que se denomina "conjunto microcanónico". Es por este sistema que uno postula en las estadísticas cuánticas el "postulado fundamental de probabilidades a priori iguales de un sistema aislado". Esto dice que el sistema aislado en equilibrio ocupa cada uno de sus estados accesibles con la misma probabilidad. Este postulado fundamental, por lo tanto, nos permite equiparar la probabilidad a priori con la degeneración de un sistema, es decir, con el número de estados diferentes con la misma energía.

Ejemplo [ editar ]

El siguiente ejemplo ilustra la probabilidad a priori (o ponderación a priori) en (a) los contextos clásico y (b) cuántico.

(a) Probabilidad a priori clásica

Considere la energía de rotación E de una molécula diatómica con momento de inercia I en coordenadas polares esféricas $${\ displaystyle \ theta, \ phi} (esto significa $${\ displaystyle q} arriba está aquí $${\ displaystyle \ theta, \ phi}), es decir

$${\ displaystyle E = {\ frac {1} {2I}} \ left (p _ {\ theta} ^ {2} + {\ frac {p _ {\ phi} ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ derecha).}

los $${\ displaystyle (p _ {\ theta}, p _ {\ phi})}-curva para constante E y $${\ displaystyle \ theta} es una elipse de area

$${\ displaystyle \ oint dp _ {\ theta} dp _ {\ phi} = \ pi {\ sqrt {2IE}} {\ sqrt {2IE}} \ sin \ theta = 2 \ pi IE \ sin \ theta}.

Al integrar sobre $${\ displaystyle \ theta} y $${\ displaystyle \ phi} El volumen total del espacio de fase cubierto por energía constante E es

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ phi = 2 \ pi} \ int _ {0} ^ {\ theta = \ pi} 2I \ pi E \ sin \ theta d \ theta d \ phi = 8 \ pi ^ {2} IE = \ oint dp _ {\ theta} dp _ {\ phi} d \ theta d \ phi},

Y de ahí la ponderación a priori clásica en el rango energético. $${\ displaystyle dE} es

$${\ displaystyle \ Omega \ propto} (volumen del espacio de fase en $${\ displaystyle E + dE}) menos (volumen de espacio de fase en $${\ displaystyle E}) es dado por $${\ displaystyle 8 {\ pi} ^ {2} IDE.}

(b) Probabilidad a priori cuántica

Suponiendo que el número de estados cuánticos en un rango $${\ displaystyle \ Delta q \ Delta p} Para cada dirección de movimiento se da, por elemento, por un factor. $${\ displaystyle \ Delta q \ Delta p / h}, el número de estados en el rango de energía dE es, como se ve en (a) $${\ displaystyle 8 \ pi ^ {2} IdE / h ^ {2}}Para la molécula diatómica rotativa. De la mecánica de ondas se sabe que los niveles de energía de una molécula diatómica giratoria están dados por

$${\ displaystyle E_ {n} = {\ frac {n (n + 1) h ^ {2}} {8 \ pi ^ {2} I}},}

cada uno de estos niveles es (2n + 1) -de degeneración. Evaluando$${\ displaystyle dn / dE_ {n} = 1 / (dE_ {n} / dn)} Se obtiene

$${\ displaystyle {\ frac {dn} {dE_ {n}}} = {\ frac {8 \ pi ^ {2} I} {(2n + 1) h ^ {2}}}, \; \; \; (2n + 1) dn = {\ frac {8 \ pi ^ {2} I} {h ^ {2}}} dE_ {n}.}

Así, en comparación con $${\ displaystyle \ Omega} arriba, uno encuentra que el número aproximado de estados en el rango dE está dado por la degeneración, es decir

$${\ displaystyle \ Sigma \ propto (2n + 1) dn.}

Por lo tanto, la ponderación a priori en el contexto clásico (a) corresponde a la ponderación a priori aquí en el contexto cuántico (b). En el caso del oscilador armónico simple unidimensional de frecuencia natural.$${\ displaystyle \ nu} uno encuentra correspondientemente: (a) $${\ displaystyle \ Omega \ propto dE / \ nu}, y B) $${\ displaystyle \ Sigma \ propto dn}(sin degeneración). Así, en la mecánica cuántica, la probabilidad a priori es efectivamente una medida de la degeneración , es decir, el número de estados que tienen la misma energía.

En el caso del átomo de hidrógeno o el potencial de Coulomb (donde la evaluación del volumen del espacio de fase para la energía constante es más complicada) se sabe que la degeneración mecánica cuántica es $${\ displaystyle n ^ {2}} con $${\ displaystyle E \ propto 1 / n ^ {2}}. Así en este caso.$${\ displaystyle \ Sigma \ propto n ^ {2} dn}.

Funciones de probabilidad y distribución a priori [ editar ]

En la mecánica estadística (ver cualquier libro) se derivan las llamadas funciones de distribución. $${\ displaystyle f}para varias estadísticas. En el caso de las estadísticas de Fermi – Dirac y las estadísticas de Bose – Einstein, estas funciones son respectivamente

$${\ displaystyle f_ {i} ^ {FD} = {\ frac {1} {e ^ {(\ epsilon _ {i} - \ epsilon _ {0}) / kT} +1}}, \ quad f_ {i } ^ {BE} = {\ frac {1} {e ^ {(\ epsilon _ {i} - \ epsilon _ {0}) / kT} -1}}.}

Estas funciones se derivan de (1) un sistema en equilibrio dinámico (es decir, en condiciones uniformes y constantes) con (2) número total (y enorme) de partículas $${\ displaystyle N = \ Sigma _ {i} n_ {i}} (esta condición determina la constante $${\ displaystyle \ epsilon _ {0}}), y (3) energía total $${\ displaystyle E = \ Sigma _ {i} n_ {i} \ epsilon _ {i}}, es decir, con cada uno de los $${\ displaystyle n_ {i}} partículas que tienen la energía $${\ displaystyle \ epsilon _ {i}}. Un aspecto importante en la derivación es tener en cuenta la indistinguibilidad de las partículas y los estados en las estadísticas cuánticas, es decir, las partículas y los estados no tienen etiquetas. En el caso de los fermiones, como los electrones, que obedecen el principio de Pauli (solo se permite una partícula por estado o ninguna), se tiene

$${\ displaystyle 0 \ leq f_ {i} ^ {FD} \ leq 1, \ quad while \ quad 0 \ leq f_ {i} ^ {BE} \ leq \ infty.}

Así $${\ displaystyle f_ {i} ^ {FD}} es una medida de la fracción de estados realmente ocupados por electrones en energía $${\ displaystyle \ epsilon _ {i}} y temperatura $${\ displaystyle T}. Por otro lado, la probabilidad a priori.$${\ displaystyle g_ {i}}es una medida del número de estados mecánicos de onda disponibles. Por lo tanto

$${\ displaystyle n_ {i} = f_ {i} g_ {i}.}

Ya que $${\ displaystyle n_ {i}} es constante en condiciones uniformes (la cantidad de partículas que fluyen desde un elemento de volumen también fluyen de manera constante, de modo que la situación en el elemento parece estática), es decir, independiente del tiempo $${\ displaystyle t}y $${\ displaystyle g_ {i}} también es independiente del tiempo $${\ displaystyle t} como se muestra anteriormente, obtenemos

$${\ displaystyle {\ frac {df_ {i}} {dt}} = 0, \ quad f_ {i} = f_ {i} (t, {\ bf {v}} _ {i}, {\ bf {r }}_{yo}).}

Al expresar esta ecuación en términos de sus derivadas parciales, se obtiene la ecuación de transporte de Boltzmann . Como hacen las coordenadasetc. aparecen aquí de repente? Arriba no se hizo mención de campos eléctricos u otros. Por lo tanto, sin tales campos presentes tenemos la distribución de Fermi-Dirac como anteriormente. Pero con tales campos presentes tenemos esta dependencia adicional de.

En matemáticas , una ecuación de Abel del primer tipo , llamada así por Niels Henrik Abel , es cualquier ecuación diferencial ordinaria que sea cúbica en la función desconocida. En otras palabras, es una ecuación de la forma.

$${\ displaystyle y '= f_ {3} (x) y ^ {3} + f_ {2} (x) y ^ {2} + f_ {1} (x) y + f_ {0} (x) \, }

dónde $${\ displaystyle f_ {3} (x) \ neq 0}. Si$${\ displaystyle f_ {3} (x) = 0} y $${\ displaystyle f_ {0} (x) = 0}o $${\ displaystyle f_ {2} (x) = 0} y $${\ displaystyle f_ {0} (x) = 0}, la ecuación se reduce a una ecuación de Bernoulli , mientras que si$${\ displaystyle f_ {3} (x) = 0}La ecuación se reduce a una ecuación de Riccati .

Propiedades [ editar ]

La sustitucion $${\ displaystyle y = {\ dfrac {1} {u}}}trae la ecuación de Abel del primer tipo a la " Ecuación de Abel del segundo tipo " de la forma

$${\ displaystyle uu '= - f_ {0} (x) u ^ {3} -f_ {1} (x) u ^ {2} -f_ {2} (x) u-f_ {3} (x). \,}

La sustitucion

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ xi & = \ int f_ {3} (x) E ^ {2} ~ dx, \\ [6pt] u & = \ left (y + {\ dfrac {f_ {2} ( x)} {3f_ {3} (x)}} \ right) E ^ {- 1}, \\ [6pt] E & = \ exp \ left (\ int \ left (f_ {1} (x) - {\ frac {f_ {2} ^ {2} (x)} {3f_ {3} (x)}} \ right) ~ dx \ right) \ end {alineado}}}

Aporta la ecuación de Abel del primer tipo a la forma canónica.

$${\ displaystyle u '= u ^ {3} + \ phi (\ xi). \,}

Dimitrios E. Panayotounakos y Theodoros I. Zarmpoutis descubrieron un método analítico para resolver la ecuación anterior en general.