ARTÍCULOS DE MATEMÁTICAS

 absolutamente convexo o en disco si es convexo y está equilibrado (en un círculo), en cuyo caso se llama disco .

Propiedades [ editar ]

Un conjunto $${\ displaystyle C} es absolutamente convexo si y solo si para cualquier punto $${\ displaystyle x_ {1}, \, x_ {2}} en $${\ displaystyle C} y cualquier numero $${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \, \ lambda _ {2}} satisfactorio $${\ displaystyle | \ lambda _ {1} | + | \ lambda _ {2} | \ leq 1} la suma $${\ displaystyle \ lambda _ {1} x_ {1} + \ lambda _ {2} x_ {2}} pertenece a $${\ displaystyle C}.

La intersección de arbitrariamente muchos conjuntos absolutamente convexos es otra vez absolutamente convexa; sin embargo, las uniones de conjuntos absolutamente convexos ya no tienen que ser absolutamente convexas.

Casco absolutamente convexo [ editar ]

El área gris claro es el casco absolutamente convexo de la cruz.

Dado que la intersección de cualquier colección de conjuntos absolutamente convexos es absolutamente convexa, se puede definir para cualquier subconjunto A de un espacio vectorial su casco absolutamente convexo como la intersección de todos los conjuntos absolutamente convexos que contienen A , análogo a la construcción bien conocida de los convexos. casco .

Más explícitamente, uno puede definir el casco absolutamente convexo del conjunto A a través de

$${\ displaystyle {\ mbox {absconv}} A = \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} x_ {i}: n \ in \ mathbb {N}, \, x_ {i} \ en A, \, \ sum _ {i = 1} ^ {n} | \ lambda _ {i} | \ leq 1 \ right \},}

donde λ _i son elementos del campo subyacente.

El casco absolutamente convexo de un conjunto delimitado en un espacio vectorial topológico está nuevamente delimitado.

Una función absolutamente integrable es una función cuyo valor absoluto es integrable , lo que significa que la integral del valor absoluto en todo el dominio es finita.

Para una función de valor real, ya que

$${\ displaystyle \ int | f (x) | dx = \ int f ^ {+} (x) dx + \ int f ^ {-} (x) dx}

dónde

$${\ displaystyle f ^ {+} (x) = \ max (f (x), 0), \ \ \ f ^ {-} (x) = \ max (-f (x), 0),}

ambos $${\ displaystyle \ int f ^ {+} (x) dx} y $${\ displaystyle \ int f ^ {-} (x) dx}debe ser finito En la integración de Lebesgue , este es exactamente el requisito para que f se considere integrable (con la integral igual al igual que$${\ displaystyle \ int f ^ {+} (x) dx- \ int f ^ {-} (x) dx}), de modo que, de hecho, "absolutamente integrable" significa lo mismo que "Lebesgue integrable".

Lo mismo ocurre con una función de valor complejo. Definamos

$${\ displaystyle f ^ {+} (x) = \ max (\ Re f (x), 0)}

$${\ displaystyle f ^ {-} (x) = \ max (- \ Re f (x), 0)}

$${\ displaystyle f ^ {+ i} (x) = \ max (\ Im f (x), 0)}

$${\ displaystyle f ^ {- i} (x) = \ max (- \ Im f (x), 0)}

dónde $${\ displaystyle \ Re f (x)} y $${\ displaystyle \ Im f (x)} son las partes reales e imaginarias de $${\ displaystyle f (x)}. Entonces

$${\ displaystyle | f (x) | \ leq f ^ {+} (x) + f ^ {-} (x) + f ^ {+ i} (x) + f ^ {- i} (x) \ leq {\ sqrt {2}} | f (x) |}

asi que

$${\ displaystyle \ int | f (x) | dx \ leq \ int f ^ {+} (x) dx + \ int f ^ {-} (x) dx + \ int f ^ {+ i} (x) dx + \ int f ^ {- i} (x) dx \ leq {\ sqrt {2}} \ int | f (x) | dx}

Esto muestra que la suma de las cuatro integrales (en el centro) es finita si, y solo si la integral del valor absoluto es finita, y la función es Lebesgue integrable solo si las cuatro integrales son finitas. Por lo tanto, tener una integral finita del valor absoluto es equivalente a las condiciones para que la función sea "Lebesgue integrable".

 absolutamente irreductible si es irreducible sobre el campo complejo . ^{[1] [2] [3]} Por ejemplo,$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1} Es absolutamente irreductible, pero mientras $${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}} es irreductible sobre los enteros y los reales, se puede reducir sobre los números complejos como $${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = (x + iy) (x-iy),} Y por lo tanto no es absolutamente irreductible.

Más generalmente, un polinomio definido sobre un campo K es absolutamente irreductible si es irreducible sobre cada extensión algebraica de K , ^[4] y un conjunto algebraico afín definido por ecuaciones con coeficientes en un campo K es absolutamente irreductible si no es la unión de dos conjuntos algebraicas definidas por las ecuaciones en una extensión algebraicamente cerrado de K . En otras palabras, un conjunto algebraico absolutamente irreductible es un sinónimo de una variedad algebraica , ^[5] que enfatiza que los coeficientes de las ecuaciones definitorias pueden no pertenecer a un campo cerrado algebraicamente.

También se aplica absolutamente irreductible , con el mismo significado a las representaciones lineales de los grupos algebraicos .

En todos los casos, ser absolutamente irreductible es lo mismo que ser irreducible en el cierre algebraico del campo de tierra.

Ejemplos [ editar ]

• Un polinomio univariado de grado mayor o igual a 2 nunca es absolutamente irreductible, debido al teorema fundamental del álgebra .
• La representación bidimensional irreducible del grupo simétrico S ₃ de orden 6, definida originalmente sobre el campo de los números racionales , es absolutamente irreducible.
• La representación del grupo circular por rotaciones en el plano es irreducible (en el campo de los números reales), pero no es absolutamente irreducible. Después de extender el campo a números complejos, se divide en dos componentes irreducibles. Esto es de esperar, ya que el grupo circular es conmutativo y se sabe que todas las representaciones irreductibles de grupos conmutativos sobre un campo algebraicamente cerrado son unidimensionales.
• La verdadera variedad algebraica definida por la ecuación.

$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}

Es absolutamente irreductible. ^[3] Es el círculo ordinario sobre los reales y sigue siendo una sección cónicairreducible sobre el campo de los números complejos. La irreductibilidad absoluta se aplica más generalmente a cualquier campo que no sea de la característica dos. En la característica dos, la ecuación es equivalente a ( x  +  y  −1) ² = 0. Por lo tanto, define la línea doble x  +  y  = 1, que es un esquema no reducido .

• La variedad algebraica dada por la ecuación.

$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 0}

No es absolutamente irreductible. De hecho, el lado izquierdo puede ser factorizado como

$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = (x + yi) (x-yi),} dónde $${\ displaystyle i} es una raíz cuadrada de −1.

Por lo tanto, esta variedad algebraica consiste en dos líneas que se cruzan en el origen y no es absolutamente irreductible. Esto se mantiene ya sea sobre el campo de tierra, si −1 es un cuadrado, o sobre la extensión cuadrática obtenida al adjuntar i .

absolutamente simple si no tiene subgrupos seriales no triviales adecuados . ^[1] Es decir,$${\ displaystyle G} es un grupo absolutamente simple si los únicos subgrupos en serie de $${\ displaystyle G} son $${\ displaystyle \ {e \}} (el subgrupo trivial), y $${\ displaystyle G} En sí (todo el grupo).

En el caso finito, un grupo es absolutamente simple si y solo si es simple . Sin embargo, en el caso infinito, absolutamente simple es una propiedad más fuerte que simple. La propiedad de ser estrictamente simple está en algún punto intermedio.

absoluta si tiene el mismo valor de verdad en cada una de las clases de estructuras (también llamadas modelos). Los teoremas sobre el carácter absoluto suelen establecer relaciones entre el carácter absoluto de las fórmulas y su forma sintáctica.

Hay dos formas más débiles de absoluto parcial. Si la verdad de una fórmula en cada subestructura N de una estructura M se sigue de su verdad en M , la fórmula es absoluta hacia abajo . Si la verdad de una fórmula en una estructura N implica su verdad en cada estructura M que se extiende a N , la fórmula es absoluta ascendente .

Las cuestiones de lo absoluto son particularmente importantes en la teoría de conjuntos y en la teoría de modelos , campos en los que se consideran simultáneamente múltiples estructuras. En la teoría de modelos, varios resultados básicos y definiciones están motivados por lo absoluto. En la teoría de conjuntos, la cuestión de qué propiedades de conjuntos son absolutas está bien estudiada. El teorema del carácter absoluto de Shoenfield , debido a Joseph Shoenfield (1961), establece el carácter absoluto de una gran clase de fórmulas entre un modelo de teoría de conjuntos y su universo construible , con importantes consecuencias metodológicas. También se estudia el carácter absoluto de los grandes axiomas cardinales , con resultados positivos y negativos conocidos.

En la teoría de modelos [ editar ]

En la teoría de modelos , hay varios resultados generales y definiciones relacionadas con lo absoluto. Un ejemplo fundamental de lo absoluto hacia abajo es que las oraciones universales (aquellas con solo cuantificadores universales) que son verdaderas en una estructura también son verdaderas en cada subestructura de la estructura original. A la inversa, las oraciones existenciales son absolutas ascendentes desde una estructura a cualquier estructura que lo contenga.

Dos estructuras se definen como elementalmente equivalentes si están de acuerdo con el valor de verdad de todas las oraciones en su lenguaje compartido, es decir, si todas las oraciones en su idioma son absolutas entre las dos estructuras. Una teoría se define para ser modelo completo si cada vez que M y N son los modelos de la teoría y M es una subestructura de N , entonces M es una subestructura primaria de N .

En la teoría de conjuntos [ editar ]

Una parte importante de la teoría de conjuntos moderna implica el estudio de diferentes modelos de ZF y ZFC. Es crucial para el estudio de tales modelos saber qué propiedades de un conjunto son absolutas para diferentes modelos. Es común comenzar con un modelo fijo de teoría de conjuntos y solo considerar otros modelos transitivos que contienen los mismos ordinales que el modelo fijo.

Ciertas propiedades son absolutas para todos los modelos transitivos de la teoría de conjuntos, incluidas las siguientes (ver Jech (2003 sec. I.12) y Kunen (1980 sec. IV.3)).

• x es el conjunto vacío.
• x es un ordinal.
• X es un ordinal finito.
• x = ω.
• x es (la gráfica de) una función.

Otras propiedades, como la contabilidad, no son absolutas.

Fallo de lo absoluto para la contabilidad [ editar ]

La paradoja de Skolem es la aparente contradicción de que, por un lado, el conjunto de números reales es incontable (y esto se puede demostrar desde ZFC, o incluso desde un pequeño subsistema finito ZFC 'de ZFC), mientras que por otro lado hay modelos transitivos contables. de ZFC '(esto es demostrable en ZFC), y el conjunto de números reales en dicho modelo será un conjunto contable. La paradoja puede resolverse señalando que la capacidad de contabilización no es absoluta para los submodelos de un modelo particular de ZFC. Es posible que un conjunto X sea ​​contable en un modelo de teoría de conjuntos pero no contable en un submodelo que contenga X , ya que el submodelo no puede contener bijection entre X y ω, mientras que la definición de contabilidad es la existencia de tal bijection. losEl teorema de Löwenheim-Skolem , cuando se aplica a ZFC, muestra que esta situación ocurre.

Teorema absoluto de Shoenfield [ editar ]

El teorema del carácter absoluto de Shoenfield demuestra que$${\ displaystyle \ Pi _ {2} ^ {1}} y $${\ displaystyle \ Sigma _ {2} ^ {1}}Las oraciones en la jerarquía analíticason absolutas entre un modelo V de ZF y el universo construible L del modelo, cuando se interpretan como declaraciones sobre los números naturales en cada modelo. El teorema se puede relativizar para permitir que la oración use conjuntos de números naturales de V como parámetros, en cuyo caso L debe reemplazarse por el submodelo más pequeño que contenga esos parámetros y todos los ordinales. El teorema tiene corolarios que$${\ displaystyle \ Sigma _ {3} ^ {1}}las oraciones son ascendentes absolutas (si tal oración se mantiene en L, entonces se mantiene en V ) y$${\ displaystyle \ Pi _ {3} ^ {1}}Las oraciones son absolutas a la baja (si se mantienen en V, entonces se mantienen en L ). Debido a que cualquiera de los dos modelos transitivos de la teoría de conjuntos con los mismos ordinales tienen el mismo universo construible, el teorema de Shoenfield muestra que dos de estos modelos deben estar de acuerdo con la verdad de todos$${\ displaystyle \ Pi _ {2} ^ {1}} frases.

Una consecuencia del teorema de Shoenfield se relaciona con el axioma de elección . Gödel demostró que el universo constructible L siempre satisface a ZFC, incluido el axioma de elección, incluso cuando se supone que V solo satisface a ZF. El teorema de Shoenfield muestra que si hay un modelo de ZF en el que un determinado$${\ displaystyle \ Sigma _ {3} ^ {1}}la declaración φ es falsa, entonces φ también es falsa en el universo construible de ese modelo. En contraposición, esto significa que si ZFC demuestra una$${\ displaystyle \ Sigma _ {3} ^ {1}}frase entonces esa frase también es demostrable en ZF. El mismo argumento se puede aplicar a cualquier otro principio que siempre se mantenga en el universo construible, como el principio combinatorio ◊ . Incluso si estos principios son independientes de ZF, cada uno de sus$${\ displaystyle \ Sigma _ {3} ^ {1}}Las consecuencias ya son demostrables en ZF. En particular, esto incluye cualquiera de sus consecuencias que pueden expresarse en el lenguaje (de primer orden) de la aritmética de Peano .

El teorema de Shoenfield también muestra que hay límites a los resultados de independencia que se pueden obtener forzando . En particular, cualquier oración de aritmética de Peano es absoluta a los modelos transitivos de la teoría de conjuntos con los mismos ordinales. Por lo tanto, no es posible utilizar forzar para cambiar el valor de verdad de las oraciones aritméticas, ya que forzar no cambia los ordinales del modelo al que se aplica. Muchos problemas abiertos famosos, como la hipótesis de Riemann y el problema P = NP , se pueden expresar como$${\ displaystyle \ Pi _ {2} ^ {1}} oraciones (u oraciones de menor complejidad) y, por lo tanto, no pueden probarse como independientes de ZFC forzando.

Cardenales grandes [ editar ]

Hay ciertos cardenales grandes que no pueden existir en el universo construible ( L ) de cualquier modelo de teoría de conjuntos. Sin embargo, el universo constructible contiene todos los números ordinales que contiene el modelo original de la teoría de conjuntos. Esta "paradoja" se puede resolver observando que las propiedades definitorias de algunos cardenales grandes no son absolutas para los submodelos.

Un ejemplo de este gran axioma cardinal no absoluto es para cardenales medibles ; para que un ordinal sea un cardinal medible debe existir otro conjunto (la medida) que satisfaga ciertas propiedades. Se puede demostrar que tal medida no es constructible.