ARTÍCULOS DE MATEMÁTICAS

elemento absorbente (o, elemento de aniquilación ) es un tipo especial de elemento de un conjunto con respecto a una operación binaria en ese conjunto. El resultado de combinar un elemento absorbente con cualquier elemento del conjunto es el propio elemento absorbente. En la teoría de semigrupos , el elemento absorbente se denomina elemento cero ^[1] [2] porque no existe riesgo de confusión con otras nociones de cero . En este artículo las dos nociones son sinónimos.

Definición [ editar ]

Formalmente, sea ( S , •) un conjunto S con una operación binaria cerrada • en él (conocido como magma ). Un elemento cero es un elemento z tal que para todas las s en S , z • s = s • z = z . Un refinamiento ^[2] son las nociones de cero izquierdo , donde se requiere solo que z • s = z , y cero derecho , donde s • z = z.

Los elementos absorbentes son particularmente interesantes para los semigrupos , especialmente el semigrupo multiplicativo de un semiringuito . En el caso de un semiring con 0, la definición de un elemento absorbente a veces es relajada, de modo que no se requiere que absorba 0; de lo contrario, 0 sería el único elemento absorbente. ^[3]

Propiedades [ editar ]

• Si magma tiene tanto un cero a la izquierda z y un derecho cero z ', entonces tiene un cero, ya que z = z • z ' = z ' .
• Un magma puede tener como máximo un elemento cero.

Ejemplos [ editar ]

• El ejemplo más conocido de un elemento absorbente proviene del álgebra elemental, donde cualquier número multiplicado por cero es igual a cero. El cero es, pues, un elemento absorbente.
• El cero de cualquier anillo es también un elemento absorbente. Para un elemento r de un anillo R , r = r (1 + 0) = r + r0 , por lo r0 = 0 , como cero es el elemento único una para la que r + a = r para cualquier r en el anillo R .
• La aritmética de punto flotante, tal como se define en la norma IEEE-754, contiene un valor especial llamado No-a-Número ("NaN"). Es un elemento absorbente para cada operación; es decir, x + NaN = NaN + x = NaN , x - NaN = NaN - x = NaN , etc.
• El conjunto de relaciones binarias sobre un conjunto X , junto con la composición de relaciones, forma un monoide con cero, donde el elemento cero es la relación vacía ( conjunto vacío ).
• El intervalo cerrado H = [0, 1] con x • y = min ( x , y ) también es un monoide con cero, y el elemento cero es 0.
• Más ejemplos:

Dominio	Operación		Amortiguador
Numeros reales	⋅	Multiplicación	0
Enteros		Máximo común divisor	1
n- por- n matrices cuadradas		Multiplicación de matrices		Matriz de todos los ceros
Numeros reales extendidos		Mínimo / infimum	−∞
		Maximo / supremo	+ ∞
Conjuntos	∩	Intersección	∅	Conjunto vacio
Subconjuntos de un conjunto M	∪	Unión	METRO
lógica booleana	∧	Lógico y	⊥	Falsedad
	∨	Lógico o	⊤	Verdad

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Un paseo de borrachos (finito) es un ejemplo de una cadena absorbente de Markov. ^[1]

En la teoría matemática de la probabilidad , una cadena de Markov absorbente es una cadena de Markov en la que cada estado puede alcanzar un estado de absorción. Un estado absorbente es un estado que, una vez ingresado, no se puede dejar.

Al igual que las cadenas de Markov generales, puede haber cadenas de Markov absorbentes en un tiempo continuo con un espacio de estado infinito. Sin embargo, este artículo se concentra en el caso del espacio de estado discreto de tiempo discreto.

Definición formal [ editar ]

Una cadena de Markov es una cadena absorbente si ^[1] [2]

1. Hay al menos un estado absorbente y
2. es posible pasar de cualquier estado a al menos un estado absorbente en un número finito de pasos.

En una cadena de Markov absorbente, un estado que no absorbe se llama transitorio.

Forma canónica [ editar ]

Deje que una cadena de Markov absorbente con matriz de transición P tenga t estados transitorios y r estado de absorción. Entonces

{\ displaystyle P = \ left ({\ begin {array} {cc} Q&R \\\ mathbf {0} & I_ {r} \ end {array}} \ right),}

donde Q es un t -by- t matriz, R es un no nulo t -by- r matriz, 0 es un r -by- t matriz cero, y I _r es el r -by- r matriz identidad. Por lo tanto, Q describe la probabilidad de transición de algún estado transitorio a otro, mientras que Rdescribe la probabilidad de transición de algún estado transitorio a algún estado absorbente.

Matriz fundamental [ editar ]

Una propiedad básica sobre una cadena de Markov absorbente es el número esperado de visitas a un estado transitorio j a partir de un estado transitorio i (antes de ser absorbido). La probabilidad de realizar la transición de i a j en exactamente k pasos es la entrada ( i , j ) de Q ^k . Resumiendo esto para todos k (de 0 a ∞) produce la matriz fundamental, denotada por N . Se puede probar que

$${\ displaystyle N = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} Q ^ {k} = (I_ {t} -Q) ^ {- 1},}

donde I _t es la matriz de identidad t- by- t . La entrada ( i ,  j ) de la matriz N es el número esperado de veces que la cadena está en el estado j , dado que la cadena comenzó en el estado i . Con la matriz N en la mano, otras propiedades de la cadena de Markov son fáciles de obtener. ^[2]

Variación en el número de visitas [ editar ]

La varianza en el número de visitas a un estado transitorio j que comienza en un estado transitorio i (antes de ser absorbido) es la entrada ( i , j ) de la matriz

$${\ displaystyle N_ {2} = N (2N _ {\ operatorname {dg}} -I_ {t}) - N _ {\ operatorname {sq}},}

donde N _dg es la matriz diagonal con la misma diagonal que N y N _sq es el producto de Hadamard de N consigo mismo (es decir, cada entrada de N es cuadrada).

Número esperado de pasos [ editar ]

El número esperado de pasos antes de ser absorbido cuando se inicia en el estado transitorio i es la entrada i th del vector

$${\ displaystyle \ mathbf {t} = N \ mathbf {1},}

donde 1 es un vector de columna de longitud- t cuyas entradas son todas 1.

Variación en el número de pasos [ editar ]

La variación en el número de pasos antes de ser absorbida cuando se inicia en el estado transitorio i es la entrada i th del vector

$${\ displaystyle (2N-I_ {t}) \ mathbf {t} - \ mathbf {t} _ {\ operatorname {sq}},}

donde t _sq es el producto de Hadamard de t consigo mismo (es decir, cada entrada de t es cuadrada).

Probabilidades transitorios [ editar ]

La probabilidad de visitar el estado transitorio j cuando se inicia en un estado transitorio i es la entrada ( i , j ) de la matriz

$${\ displaystyle H = (N-I_ {t}) N _ {\ operatorname {dg}} ^ {- 1}.}

Probabilidades de absorción [ editar ]

Otra propiedad es la probabilidad de ser absorbido en el estado de absorción j al comenzar desde el estado transitorio i , que es la entrada ( i , j ) de la matriz.

$${\ displaystyle B = NR.}

Ejemplos [ editar ]

Generación cadena [ editar ]

Artículo principal: Generación de cuerdas.

Considere el proceso de lanzar repetidamente una moneda justa hasta que aparezca la secuencia (cabezas, colas, cabezas). Este proceso está modelado por una cadena de Markov absorbente con matriz de transición.

{\ displaystyle P = {\ begin {bmatrix} 1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}.

El primer estado representa la cadena vacía , el segundo estado la cadena "H", el tercer estado la cadena "HT" y el cuarto estado la cadena "HTH". Aunque en realidad, los lanzamientos de monedas cesan después de que se genera la cadena "HTH", la perspectiva de la cadena de Markov absorbente es que el proceso ha pasado al estado de absorción que representa la cadena "HTH" y, por lo tanto, no se puede abandonar.

Para esta cadena de Markov absorbente, la matriz fundamental es

{\ displaystyle {\ begin {alineado} N & = (IQ) ^ {- 1} = \ left ({\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} - {\ begin {bmatrix} 1 / 2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} \ right) ^ {- 1} \\ [4pt] & = {\ begin {bmatrix} 1/2 & -1 / 2 & 0 \\ 0 & 1/2 & -1 / 2 \\ - 1/2 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} ^ {- 1} = {\ begin {bmatrix} 4 & 4 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \ end {bmatrix}}. \ End { alineado}}}

El número esperado de pasos a partir de cada uno de los estados transitorios es

{\ displaystyle \ mathbf {t} = N \ mathbf {1} = {\ begin {bmatrix} 4 & 4 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 10 \\ 8 \\ 6 \ end {bmatrix}}.

Por lo tanto, el número esperado de tiradas de monedas antes de observar la secuencia (cabezas, colas, cabezas) es 10, la entrada para el estado que representa la cadena vacía.

La probabilidad acumulada de terminar un juego de Serpientes y Escaleras por turno  N

Juegos de azar [ editar ]

Los juegos basados ​​totalmente en el azar pueden ser modelados por una cadena absorbente de Markov. Un ejemplo clásico de esto es el antiguo juego de mesa indio Serpientes y escaleras . La gráfica de la derecha ^[3] traza la masa de probabilidad en el estado de absorción única que representa el cuadrado final a medida que la matriz de transición se eleva a potencias cada vez más grandes. Para determinar el número esperado de turnos para completar el juego, calcula el vector t como se describe anteriormente y examina t _inicio , que es aproximadamente 39.2.

Clínica de enfermedades infecciosas [ editar ]

El ejemplo de la prueba de enfermedades infecciosas, ya sea en productos sanguíneos o en clínicas médicas, a menudo se enseña como un ejemplo de una cadena de Markov absorbente. ^[4] El modelo público de los Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades (CDC, por sus siglas en inglés) de los EE. UU. Para el VIH y la hepatitis B, por ejemplo, ^[5] ilustra la propiedad de que la absorción de las cadenas de Markov puede conducir a la detección de la enfermedad, frente a la pérdida de la detección a través de otros medios.

En el modelo CDC estándar, la cadena de Markov tiene cinco estados, un estado en el que el individuo no está infectado, luego un estado con virus infectados pero no detectables, un estado con virus detectables y estados absorbentes de haber abandonado / perdido la clínica, o de haber sido detectado (la meta). Las tasas típicas de transición entre los estados de Markov son la probabilidad p por unidad de tiempo de infección con el virus, wpara la tasa de eliminación del período de ventana (tiempo hasta que el virus es detectable), q para la tasa de abandono / pérdida del sistema, y d para detección, asumiendo una tasa típica$${\ displaystyle \ lambda}En el que el sistema de salud administra las pruebas del producto sanguíneo o de los pacientes en cuestión.

Ejemplo clásico de detección de virus de VIH o hepatitis.

Se deduce que podemos "seguir" el modelo de Markov para identificar la probabilidad general de detección para una persona que comienza como no detectada, multiplicando las probabilidades de transición a cada estado siguiente del modelo como:

$${\ displaystyle {\ frac {p} {(p + q)}} {\ frac {w} {(w + q)}} {\ frac {d} {(d + q)}}}.

El número absoluto total posterior de pruebas falsas negativas, la preocupación principal de los CDC, se multiplicaría por la probabilidad de alcanzar el estado infectado pero no detectable, multiplicado por la duración de permanecer en el estado indetectable infectado:

$${\ displaystyle {\ frac {p} {(p + q)}} {\ frac {1} {(w + q)}} \ lambda}.