ARTÍCULOS DE MATEMÁTICAS

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Para otras aplicaciones, vea Valor absoluto (desambiguación) .

La gráfica de la función de valor absoluto para números reales.

El valor absoluto de un número puede considerarse como su distancia desde cero.

En matemáticas , el valor absoluto o módulo | x | de un número real  xes el valor no negativo de  x sin tener en cuenta su signo . A saber, | x | = x para un x positivo  , | x | = - x para un x negativo (en cuyo caso - x es positivo), y | 0 | = 0 . Por ejemplo, el valor absoluto de 3 es 3, y el valor absoluto de −3 también es 3. El valor absoluto de un número se puede considerar como su distancia desde cero.

Las generalizaciones del valor absoluto para números reales ocurren en una amplia variedad de configuraciones matemáticas. Por ejemplo, también se define un valor absoluto para los números complejos , los cuaterniones , los anillos ordenados , los campos y los espacios vectoriales . El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud , distancia y norma en diversos contextos matemáticos y físicos.

La terminología y la notación [ editar ]

En 1806, Jean-Robert Argand introdujo el término módulo , que significa unidad de medida en francés, específicamente para el valor absoluto complejo , ^[1] [2] y fue tomado en inglés en 1866 como el móduloequivalente en latín . ^[1] El término valor absoluto se ha utilizado en este sentido desde al menos 1806 en francés ^[3] y 1857 en inglés. ^[4] La notación | x | , con una barra vertical en cada lado, fue introducido por Karl Weierstrassen 1841. ^[5] Otros nombres parael valor absoluto incluye el valor numérico ^[1] y la magnitud . ^[1] En los lenguajes de programación y paquetes de software computacional, el valor absoluto de x generalmente se representa mediante abs ( x ), o una expresión similar.

La notación de la barra vertical también aparece en varios otros contextos matemáticos: por ejemplo, cuando se aplica a un conjunto, denota su cardinalidad ; cuando se aplica a una matriz , denota su determinante . Las barras verticales indican el valor absoluto solo para los objetos algebraicos para los cuales se define la noción de un valor absoluto, en particular un elemento de un álgebra de división normalizada , por ejemplo, un número real, un número complejo o un cuaternión. Una notación estrechamente relacionada pero distinta es el uso de barras verticales para la norma euclidiana ^[6] o sup norma ^[7] de un vector en$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}, aunque dobles barras verticales con subíndices ($${\ displaystyle || \ cdot || _ {2}} y $${\ displaystyle || \ cdot || _ {\ infty}}, respectivamente) son una notación más común y menos ambigua.

Definición y propiedades [ editar ]

Números reales [ editar ]

Para cualquier número real  x , el valor absoluto o el módulo de  x se denota mediante | x | (una barra vertical a cada lado de la cantidad) y se define como ^[8]

{\ displaystyle | x | = \ left \ {{\ begin {array} {rl} x, & {\ text {if}} x \ geq 0 \\ - x, & {\ text {if}} x <0 .="" array="" end="" font="" right.="">

El valor absoluto de  x siempre es positivo o cero , pero nunca negativo : cuando x es negativo ( x <0 font=""> ), entonces su valor absoluto es necesariamente positivo ( | x | = - x > 0 ).

Desde el punto de vista de la geometría analítica , el valor absoluto de un número real es la distancia de ese número desde cero a lo largo de la recta numérica real , y más generalmente el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, la noción de una función de distancia abstracta en matemáticas puede verse como una generalización del valor absoluto de la diferencia (ver "Distancia" másadelante).

Dado que el símbolo de la raíz cuadrada representa la raíz cuadrada positiva única (cuando se aplica a un número positivo), se deduce que

$${\ displaystyle | x | = {\ sqrt {x ^ {2}}}}

es equivalente a la definición anterior y se puede usar como una definición alternativa del valor absoluto de los números reales. ^[9]

El valor absoluto tiene las siguientes cuatro propiedades fundamentales ( a , b son números reales), que se utilizan para la generalización de esta noción a otros dominios:

$${\ displaystyle | a | \ geq 0}	No negatividad
$${\ displaystyle | a | = 0 \ iff a = 0}	Positivo-definiteness
$${\ displaystyle | ab | = | a | \, | b |}	Multiplicidad
$${\ displaystyle | a + b | \ leq | a | + | b |}	Subaditividad , específicamente la desigualdad del triángulo.

La no negatividad, la definición positiva y la multiplicatividad son fácilmente evidentes a partir de la definición. Para ver que la subaditividad se mantiene, primero observe que una de las dos alternativas de tomar s como –1o +1 garantiza que$${\ displaystyle s \ cdot (a + b) = | a + b | \ geq 0.} Ahora desde $${\ displaystyle -1 \ cdot x \ leq | x |} y $${\ displaystyle +1 \ cdot x \ leq | x |}, se deduce que, cualquiera que sea el valor de s , uno tiene$${\ displaystyle s \ cdot x \ leq | x |} para todos los reales $${\ displaystyle x}. Por consiguiente,$${\ displaystyle | a + b | = s \ cdot (a + b) = s \ cdot a + s \ cdot b \ leq | a | + | b |}, como se desee. (Para una generalización de este argumento a números complejos, vea "Prueba de la desigualdad de triángulos para números complejos" a continuación).

Algunas propiedades útiles adicionales se dan a continuación. Estas son consecuencias inmediatas de la definición o están implícitas en las cuatro propiedades fundamentales anteriores.

$${\ displaystyle {\ big |} \, | a | \, {\ big |} = | a |}	Idempotence (el valor absoluto del valor absoluto es el valor absoluto)
$${\ displaystyle | -a | = | a |}	Uniformidad ( simetría de reflexión de la gráfica)
$${\ displaystyle | ab | = 0 \ iff a = b}	Identidad de indiscernibles (equivalente a positivo-definiteness)
$${\ displaystyle | ab | \ leq | ac | + | cb |}	Desigualdad del triángulo (equivalente a la subaditividad)
$${\ displaystyle \ left | {\ frac {a} {b}} \ right | = {\ frac {| a |} {| b |}} \} (Si $${\ displaystyle b \ neq 0})	Preservación de la división (equivalente a la multiplicatividad)
$${\ displaystyle | ab | \ geq {\ big |} \, | a | - | b | \, {\ big |}}	Desigualdad del triángulo inverso (equivalente a la subaditividad)

Otras dos propiedades útiles con respecto a las desigualdades son:

$${\ displaystyle | a | \ leq b \ iff -b \ leq a \ leq b}

$${\ displaystyle | a | \ geq b \ iff a \ leq -b \} o $${\ displaystyle a \ geq b}

Estas relaciones pueden usarse para resolver desigualdades que involucran valores absolutos. Por ejemplo:

$${\ displaystyle | x-3 | \ leq 9}	$${\ displaystyle \ iff -9 \ leq x-3 \ leq 9}
	$${\ displaystyle \ iff -6 \ leq x \ leq 12}

El valor absoluto, como "distancia desde cero", se utiliza para definir la diferencia absoluta entre números reales arbitrarios, la métrica estándar sobre los números reales.

Números complejos [ editar ]

El valor absoluto de un número complejo. $${\ displaystyle z} es la distancia $${\ displaystyle r} de $${\ displaystyle z}desde el origen. También se ve en la foto que$${\ displaystyle z}y su complejo conjugado $${\ displaystyle {\ bar {z}}}tienen el mismo valor absoluto.

Como los números complejos no están ordenados , la definición dada en la parte superior para el valor absoluto real no se puede aplicar directamente a los números complejos. Sin embargo, la interpretación geométrica del valor absoluto de un número real como su distancia desde 0 puede generalizarse. El valor absoluto de un número complejo está definido por la distancia euclidiana de su punto correspondiente en el plano complejo desde el origen . Esto se puede calcular utilizando el teorema de Pitágoras : para cualquier número complejo

$${\ displaystyle z = x + iy,}

donde x e y son números reales, el valor absoluto o el módulo de  z se denota | z | y se define por ^[10]

$${\ displaystyle | z | = {\ sqrt {[\ mathrm {Re} (z)] ^ {2} + [\ mathrm {Im} (z)] ^ {2}}} = {\ sqrt {x ^ { 2} + y ^ {2}}},}

donde Re ( z ) = x y Im ( z ) = y denota las partes real e imaginaria de z , respectivamente. Cuando la parte imaginaria y es cero, esto coincide con la definición del valor absoluto del número real  x .

Cuando un número complejo  z se expresa en su forma polar como

$${\ displaystyle z = re ^ {i \ theta},}

con $${\ displaystyle r = {\ sqrt {[\ mathrm {Re} (z)] ^ {2} + [\ mathrm {Im} (z)] ^ {2}}} \ geq 0}(y θ ∈ arg ( z ) es el argumento (o fase) de z ), su valor absoluto es

$${\ displaystyle | z | = r}.

Dado que el producto de cualquier número complejo  z y su complejo conjugado $${\ displaystyle {\ bar {z}} = x-iy,} Con el mismo valor absoluto, es siempre el número real no negativo. $${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2})}, el valor absoluto de un número complejo puede expresarse convenientemente como

$${\ displaystyle | z | = {\ sqrt {z \ cdot {\ overline {z}}}},}

asemejándose a la definición alternativa para los reales: $${\ displaystyle | x | = {\ sqrt {x \ cdot x}}.}

El valor absoluto complejo comparte las cuatro propiedades fundamentales dadas anteriormente para el valor absoluto real.

En el lenguaje de la teoría de grupos , la propiedad multiplicativa puede reformularse de la siguiente manera: el valor absoluto es un homomorfismo de grupo del grupo multiplicativo de los números complejos al grupomediante la multiplicación de números reales positivos . ^[11]

Es importante destacar que la propiedad de la subaditividad (" desigualdad de triángulo ") se extiende a cualquier colección finita de n números  complejos$${\ textstyle (z_ {k}) _ {k = 1} ^ {n}} como

$${\ displaystyle {\ Bigg |} \ sum _ {k = 1} ^ {n} z_ {k} {\ Bigg |} \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} | z_ {k} |. \ quad \ quad (*)}

Esta desigualdad también se aplica a familias infinitas , siempre que las series infinitas $${\ textstyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} z_ {k}}Es absolutamente convergente . Si la integración de Lebesgue se ve como el análogo continuo de la suma, entonces esta desigualdad se obedece de manera análoga mediante funciones medibles de valor complejo. $${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}cuando se integra sobre un subconjunto medible $${\ displaystyle E}:

$${\ displaystyle {\ Bigg |} \ int _ {E} f \ dx {\ Bigg |} \ leq \ int _ {E} | f | \ dx. \ quad \ quad (**)}

(Esto incluye funciones integrables de Riemann en un intervalo limitado)$${\ displaystyle [a, b]} como un caso especial.)

Prueba de la desigualdad del triángulo complejo [ editar ]

La desigualdad del triángulo, dada por $${\ displaystyle (*)}, se puede demostrar aplicando tres propiedades fácilmente verificables de los números complejos: a saber, para cada número complejo $${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}},

(i): existe $${\ displaystyle c \ in \ mathbb {C}} tal que $${\ displaystyle | c | = 1} y $${\ displaystyle | z | = c \ cdot z};

(ii): $${\ displaystyle \ mathrm {Re} (z) \ leq | z |}.

Además, para una familia de números complejos. $${\ displaystyle (w_ {k}) _ {k = 1} ^ {n}}, $${\ textstyle \ sum _ {k} w_ {k} = \ sum _ {k} \ mathrm {Re} (w_ {k}) + i \ sum _ {k} \ mathrm {Im} (w_ {k}) }. En particular,

(iii): si $${\ textstyle \ sum _ {k} w_ {k} \ in \ mathbb {R}}, entonces $${\ textstyle \ sum _ {k} w_ {k} = \ sum _ {k} \ mathrm {Re} (w_ {k})}.

Prueba de $${\ displaystyle (*)}: Elegir$${\ displaystyle c \ in \ mathbb {C}} tal que $${\ displaystyle | c | = 1} y $${\ textstyle {\ big |} \ sum _ {k} z_ {k} {\ big |} = c {\ big (} \ sum _ {k} z_ {k} {\ big)}} (resumido $${\ displaystyle k = 1, \ ldots, n}). El siguiente cálculo proporciona la desigualdad deseada:

$${\ displaystyle {\ Big |} \ sum _ {k} z_ {k} {\ Big |} \; {\ overset {(i)} {=}} \; c {\ Big (} \ sum _ {k } z_ {k} {\ Big)} = \ sum _ {k} cz_ {k} \; {\ overset {(iii)} {=}} \; \ sum _ {k} \ mathrm {Re} (cz_ {k}) \; {\ overset {(ii)} {\ leq}} \; \ sum _ {k} | cz_ {k} | = \ sum _ {k} | c || z_ {k} | = \ sum _ {k} | z_ {k} |}.

De esta prueba se desprende que la igualdad se mantiene en $${\ displaystyle (*)} exactamente si todo el $${\ displaystyle cz_ {k}} son números reales no negativos, que a su vez ocurren exactamente si todos son distintos de cero $${\ displaystyle z_ {k}}tienen el mismo argumento , es decir,$${\ displaystyle z_ {k} = a_ {k} \ zeta} para una constante compleja $${\ displaystyle \ zeta} y constantes reales $${\ displaystyle a_ {k} \ geq 0} para $${\ displaystyle 1 \ leq k \ leq n}.

Ya que $${\ displaystyle f} medible implica que $${\ displaystyle | f |} También es medible, la prueba de la desigualdad. $${\ displaystyle (**)} procede a través de la misma técnica, sustituyendo $${\ textstyle \ sum _ {k} (\ cdot)} con $${\ textstyle \ int _ {E} (\ cdot) \, dx} y $${\ displaystyle z_ {k}} con $${\ displaystyle f (x)}. ^[12]

Función de valor absoluto [ editar ]

La gráfica de la función de valor absoluto para números reales.

Composición de valor absoluto con una función cúbica en diferentes órdenes.

La función de valor absoluto real es continua entodas partes. Es diferenciable en todas partes excepto en x  = 0. Está disminuyendo monótonamente en el intervalo (−∞, 0] y aumenta monótonamente en el intervalo [0, + ∞) . Dado que un número real y su opuesto tienen el mismo valor absoluto, es una función par , y por lo tanto no es invertible . La función de valor absoluto real es una función convexa , lineal por partes .

Tanto las funciones reales como las complejas son idempotentes .

Relación con la función de signo [ editar ]

La función de valor absoluto de un número real devuelve su valor independientemente de su signo, mientras que la función de signo (o signum) devuelve el signo de un número independientemente de su valor. Las siguientes ecuaciones muestran la relación entre estas dos funciones:

$${\ displaystyle | x | = x \ operatorname {sgn} (x),}

o

$${\ displaystyle | x | \ operatorname {sgn} (x) = x,}

y para x ≠ 0 ,

$${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (x) = {\ frac {| x |} {x}} = {\ frac {x} {| x |}}.}

Derivado [ editar ]

La función de valor absoluto real tiene una derivada para cada x ≠ 0 , pero no es diferenciable en x = 0 . Su derivada para x ≠ 0está dada por la función de paso : ^[13] [14]

{\ displaystyle {\ frac {d | x |} {dx}} = {\ frac {x} {| x |}} = {\ begin {cases} -1 & x <0 1="" amp="" x=""> 0. \ end {cases }}}

La subdivisión de  | x | en  x = 0 es el intervalo  [−1,1] . ^[15]

La función de valor absoluto complejo es continua en todas partes pero no se puede diferenciar en ninguna parteporque viola las ecuaciones de Cauchy-Riemann . ^[13]

La segunda derivada de  | x | con respecto a  x es cero en todas partes excepto cero, donde no existe. Como una función generalizada , la segunda derivada puede tomarse como dos veces la función delta de Dirac .

Antiderivada [ editar ]

La antiderivada (integral indefinida) de la función de valor absoluto real es

$${\ displaystyle \ int | x | dx = {\ frac {x | x |} {2}} + C,}

donde C es una constante arbitraria de integración . Esto no es una antiderivada compleja porque las antiderivadas complejas solo pueden existir para funciones complejas-diferenciables ( holomorfas ), que no es la función compleja de valor absoluto.

Distancia [ editar ]

Ver también: espacio métrico.

El valor absoluto está estrechamente relacionado con la idea de distancia. Como se señaló anteriormente, el valor absoluto de un número real o complejo es la distancia desde ese número hasta el origen, a lo largo de la recta numérica real, para los números reales, o en el plano complejo, para los números complejos, y más generalmente, el valor absoluto De la diferencia de dos números reales o complejos es la distancia entre ellos.

La distancia euclidiana estándar entre dos puntos.

$${\ displaystyle a = (a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {n})}

y

$${\ displaystyle b = (b_ {1}, b_ {2}, \ dots, b_ {n})}

en euclidiano n -espacio se define como:

$${\ displaystyle {\ sqrt {\ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} (a_ {i} -b_ {i}) ^ {2}}}.}

Esto puede ser visto como una generalización, ya que para $${\ displaystyle a_ {1}} y $${\ displaystyle b_ {1}} real, es decir, en un espacio 1, según la definición alternativa del valor absoluto,

$${\ displaystyle | a_ {1} -b_ {1} | = {\ sqrt {(a_ {1} -b_ {1}) ^ {2}}} = {\ sqrt {\ textstyle \ sum _ {i = 1 } ^ {1} (a_ {i} -b_ {i}) ^ {2}}},}

y para $${\ displaystyle a = a_ {1} + ia_ {2}} y $${\ displaystyle b = b_ {1} + ib_ {2}} números complejos, es decir, en un espacio de 2,

$${\ displaystyle | ab |}	$${\ displaystyle = | (a_ {1} + ia_ {2}) - (b_ {1} + ib_ {2}) |}
	$${\ displaystyle = | (a_ {1} -b_ {1}) + i (a_ {2} -b_ {2}) |}
	$${\ displaystyle = {\ sqrt {(a_ {1} -b_ {1}) ^ {2} + (a_ {2} -b_ {2}) ^ {2}}} = {\ sqrt {\ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {2} (a_ {i} -b_ {i}) ^ {2}}}.}

Lo anterior muestra que la distancia de "valor absoluto", para números reales y complejos, concuerda con la distancia euclidiana estándar, que heredan como resultado de considerarlos como espacios euclidianos de una y dos dimensiones, respectivamente.

Se puede considerar que las propiedades del valor absoluto de la diferencia de dos números reales o complejos: la no negatividad, la identidad de indiscernibles, la simetría y la desigualdad del triángulo dadas anteriormente, motivan la noción más general de una función de distancia de la siguiente manera:

Una función de valor real d en un conjunto X  ×  X se llama métrica (o función de distancia ) en  X , si satisface los siguientes cuatro axiomas: ^[16]

$${\ displaystyle d (a, b) \ geq 0}	No negatividad
$${\ displaystyle d (a, b) = 0 \ iff a = b}	Identidad de indiscernibles.
$${\ displaystyle d (a, b) = d (b, a)}	Simetría
$${\ displaystyle d (a, b) \ leq d (a, c) + d (c, b)}	Desigualdad triangular

Generalizaciones [ editar ]

Anillos ordenados [ editar ]

La definición de valor absoluto dada para los números reales anteriores se puede extender a cualquier timbre ordenado . Es decir, si  a es un elemento de un anillo ordenado  R , entonces el valor absoluto de  a , indicado por | un | , se define como: ^[17]

{\ displaystyle | a | = \ left \ {{\ begin {array} {rl} a, & {\ text {if}} a \ geq 0 \\ - a, & {\ text {if}} a <0 .="" array="" end="" font="" right.="">

donde - a es el inverso aditivo de  a , 0 es el elemento de identidad aditivo , y

Campos [ editar ]

Artículo principal: Valor absoluto (álgebra).

Las cuatro propiedades fundamentales del valor absoluto para los números reales se pueden utilizar para generalizar la noción de valor absoluto en un campo arbitrario, de la siguiente manera.

Una función de valor real  v en un campo  F se denomina valor absoluto (también módulo , magnitud , valor o valoración ) ^[18] si satisface los siguientes cuatro axiomas:

$${\ displaystyle v (a) \ geq 0}	No negatividad
$${\ displaystyle v (a) = 0 \ iff a = \ mathbf {0}}	Positivo-definiteness
$${\ displaystyle v (ab) = v (a) v (b)}	Multiplicidad
$${\ displaystyle v (a + b) \ leq v (a) + v (b)}	La subaditividad o la desigualdad del triángulo.

Donde 0 denota la identidad aditiva elemento de  F . Se deduce de positivo-precisión y multiplicabilidad que v ( 1 ) = 1 , donde 1 indica la identidad multiplicativa elemento de  F . Los valores absolutos reales y complejos definidos anteriormente son ejemplos de valores absolutos para un campo arbitrario.

Si v es un valor absoluto en  F , entonces la función  d en F  ×  F , definida por d ( a ,  b ) = v ( a - b ) , es una métrica y lo siguiente es equivalente:

• d satisface la desigualdad ultrametrica$${\ displaystyle d (x, y) \ leq \ max (d (x, z), d (y, z))}para todo x , y , z en  f .
• $${\ displaystyle {\ big \ {} v {\ Big (} {\ textstyle \ sum _ {k = 1} ^ {n}} \ mathbf {1} {\ Big)}: n \ in \ mathbb {N} {\grande \}}}está delimitada en  R .
• $${\ displaystyle v {\ Big (} {\ textstyle \ sum _ {k = 1} ^ {n}} \ mathbf {1} {\ Big)} \ leq 1 \} para cada $${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}.}
• $${\ displaystyle v (a) \ leq 1 \ Rightarrow v (1 + a) \ leq 1 \} para todos $${\ displaystyle a \ in F.}
• $${\ displaystyle v (a + b) \ leq \ mathrm {max} \ {v (a), v (b) \} \} para todos $${\ displaystyle a, b \ in F.}

Un valor absoluto que satisface cualquiera (por lo tanto, todas) de las condiciones anteriores se dice que no es arquimediano , de lo contrario se dice que es arquimediano . ^[19]

Espacios vectoriales [ editar ]

Artículo principal: Norma (Matemáticas).

Nuevamente, las propiedades fundamentales del valor absoluto para números reales pueden usarse, con una ligera modificación, para generalizar la noción a un espacio vectorial arbitrario.

Una función de valor real en un espacio vectorial  V sobre un campo  F , representada como ‖ · ‖ , se llama un valor absoluto , pero más generalmente una norma , si satisface los siguientes axiomas:

Para todos  a en  F , y v , u en  V ,

$${\ displaystyle \ | \ mathbf {v} \ | \ geq 0}	No negatividad
$${\ displaystyle \ | \ mathbf {v} \ | = 0 \ iff \ mathbf {v} = 0}	Positivo-definiteness
$${\ displaystyle \ | a \ mathbf {v} \ | = | a | \ | \ mathbf {v} \ |}	Homogeneidad positiva o escalabilidad positiva.
$${\ displaystyle \ | \ mathbf {v} + \ mathbf {u} \ | \ leq \ | \ mathbf {v} \ | + \ | \ mathbf {u} \ |}	La subaditividad o la desigualdad del triángulo.

La norma de un vector también se llama su longitud o magnitud .

En el caso del espacio euclídeo  R ⁿ , la función definida por

$${\ displaystyle \ | (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) \ | = {\ sqrt {\ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2}}}}

Es una norma llamada la norma euclidiana . Cuando los números reales  R se consideran como el espacio vectorial unidimensional  R ¹ , el valor absoluto es una norma , y es la p -norma (ver espacio L ^p ) para cualquier  p . De hecho, el valor absoluto es la norma "única" en R ¹ , en el sentido de que, para cada norma ‖ · ‖ en  R ¹ , ‖ x ‖ = ‖1‖ ⋅ | x | . El valor absoluto complejo es un caso especial de la norma en un espacio de producto interno. Es idéntica a la norma euclidiana, si el plano complejo se identifica con el plano euclidiano  R ² .

Composición álgebra [ editar ]

Artículo principal: Composición de álgebra.

Cada composición del álgebra A tiene una involución x → x * llamada su conjugación . El producto en A de un elemento x y su conjugado x * se escribe N ( x ) = xx * y se llama la norma de x .

Los números reales ℝ, los números complejos ℂ y los cuaterniones ℍ son todos álgebras de composición con normas dadas por formas cuadráticas definidas . El valor absoluto en estos álgebras de división viene dado por la raíz cuadrada de la norma de álgebra de composición.

En general, la norma de un álgebra de composición puede ser una forma cuadrática que no es definida y tiene vectores nulos . Sin embargo, como en el caso de las álgebras de división, cuando un elemento x tiene una norma distinta de cero, entonces x tiene un inverso multiplicativo dado por x * / N ( x ).