ARTÍCULOS DE MATEMÁTICAS

 presentación absoluta . ^[1]

Recordemos que para definir un grupo $${\ displaystyle G \}Por medio de una presentación , se especifica un conjunto.$${\ displaystyle S \}de generadores para que cada elemento del grupo pueda escribirse como un producto de algunos de estos generadores, y un conjunto$${\ displaystyle R \}De las relaciones entre esos generadores. En simbolos:

$${\ displaystyle G \ simeq \ langle S \ mid R \ rangle.}

Informalmente $${\ displaystyle G \} Es el grupo generado por el conjunto. $${\ displaystyle S \} tal que $${\ displaystyle r = 1 \} para todos $${\ displaystyle r \ en R}. Pero aquí hay un supuesto tácito de que$${\ displaystyle G \}es el grupo "más libre" tal como claramente se satisfacen las relaciones en cualquier imagen homomórfica de$${\ displaystyle G \}. Una forma de poder eliminar este supuesto tácito es especificando que ciertas palabras en$${\ displaystyle S \} no debe ser igual a $${\ displaystyle 1.} Es decir especificamos un conjunto. $${\ displaystyle I \}, llamado el conjunto de irrelaciones, tal que$${\ displaystyle i \ neq 1 \} para todos $${\ displaystyle i \ in I}.

Definición formal [ editar ]

Definir una presentación absoluta de un grupo. $${\ displaystyle G \} uno especifica un conjunto $${\ displaystyle S \} de generadores, un conjunto $${\ displaystyle R \}De las relaciones entre esos generadores y un conjunto. $${\ displaystyle I \}De las irrelaciones entre esos generadores. Entonces decimos$${\ displaystyle G \} tiene una presentación absoluta

$${\ displaystyle \ langle S \ mid R, I \ rangle.}

siempre que:

1. $${\ displaystyle G \}tiene presentación $${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle.}
2. Dado cualquier homomorfismo $${\ displaystyle h: G \ rightarrow H} tal que las irrelaciones $${\ displaystyle I \} están satisfechos en $${\ displaystyle h (G) \}, $${\ displaystyle G \} es isomorfo a$${\ displaystyle h (G) \}.

Una forma más algebraica, pero equivalente, de establecer la condición 2 es:

2a. Si$${\ displaystyle N \ triangleleft G \}es un subgrupo normal no trivial de$${\ displaystyle G} entonces $${\ displaystyle I \ cap N \ neq \ left \ {1 \ right \}.}

Observación: El concepto de presentación absoluta ha sido fructífero en campos como los grupos algebraicamente cerrados y la topología de Grigorchuk . En la literatura, en un contexto donde se discuten presentaciones absolutas, una presentación (en el sentido habitual de la palabra) a veces se denomina presentación relativa , que es una instancia de un retronym .

Ejemplo [ editar ]

El grupo cíclico de orden 8 tiene la presentación.

$${\ displaystyle \ langle a \ mid a ^ {8} = 1 \ rangle.}

Pero, hasta el isomorfismo hay tres grupos más que "satisfacen" la relación $${\ displaystyle a ^ {8} = 1 \,} a saber:

$${\ displaystyle \ langle a \ mid a ^ {4} = 1 \ rangle}

$${\ displaystyle \ langle a \ mid a ^ {2} = 1 \ rangle} y

$${\ displaystyle \ langle a \ mid a = 1 \ rangle.}

Sin embargo ninguno de estos satisface la irrelación $${\ displaystyle a ^ {4} \ neq 1}. Entonces, una presentación absoluta para el grupo cíclico de orden 8 es:

$${\ displaystyle \ langle a \ mid a ^ {8} = 1, a ^ {4} \ neq 1 \ rangle.}

Es parte de la definición de presentación absoluta que las irrelaciones no se satisfacen en ninguna imagen homomórfica adecuada del grupo. Por lo tanto:

$${\ displaystyle \ langle a \ mid a ^ {8} = 1, a ^ {2} \ neq 1 \ rangle}

No es una presentación absoluta para el grupo cíclico de orden 8 porque la irrelación$${\ displaystyle a ^ {2} \ neq 1} Se satisface en el grupo cíclico de orden 4.

Fondo [ editar ]

La noción de una presentación absoluta surge del estudio de Bernhard Neumann del problema del isomorfismopara grupos algebraicamente cerrados . ^[1]

Una estrategia común para considerar si dos grupos $${\ displaystyle G \,} y $${\ displaystyle H \,}son isomorfos es considerar si una presentación para uno puede ser transformado en una presentación para el otro. Sin embargo, los grupos algebraicamente cerrados no se generan de forma finita ni se presentan recursivamente, por lo que es imposible comparar sus presentaciones. Neumann consideró la siguiente estrategia alternativa:

Supongamos que sabemos que un grupo $${\ displaystyle G \,} con presentación finita $${\ displaystyle G = \ langle x_ {1}, x_ {2} \ mid R \ rangle} Se puede incrustar en el grupo algebraicamente cerrado. $${\ displaystyle G ^ {*} \,} Luego se le da otro grupo algebraicamente cerrado. $${\ displaystyle H ^ {*} \,}, podemos preguntar "puede $${\ displaystyle G \,} estar incrustado en $${\ displaystyle H ^ {*} \,}? "

Pronto se hace evidente que una presentación para un grupo no contiene suficiente información para tomar esta decisión, mientras que puede haber un homomorfismo. $${\ displaystyle h: G \ rightarrow H ^ {*}}, este homomorfismo no necesita ser una incrustación. Lo que se necesita es una especificación para$${\ displaystyle G ^ {*} \,}que "obliga" a cualquier homomorfismo que conserve esa especificación como una incrustación. Una presentación absoluta hace precisamente esto.

El juicio de probabilidad absoluta es una técnica utilizada en el campo de la evaluación de la confiabilidad humana (HRA), con el propósito de evaluar la probabilidad de un error humano.ocurriendo a lo largo de la finalización de una tarea específica. A partir de dichos análisis, se pueden tomar medidas para reducir la probabilidad de errores que ocurren dentro de un sistema y, por lo tanto, conducir a una mejora en los niveles generales de seguridad. Existen tres razones principales para realizar una HRA; Identificación de errores, cuantificación de errores y reducción de errores. Como existen varias técnicas utilizadas para tales propósitos, se pueden dividir en una de dos clasificaciones; Técnicas de primera generación y técnicas de segunda generación. Las técnicas de primera generación funcionan sobre la base de la dicotomía simple de 'ajustes / no encaja' en la comparación de la situación de error en contexto con la identificación y cuantificación de errores relacionadas y las técnicas de segunda generación son más basadas en la teoría de su evaluación y cuantificación de errores . 'sector sanitario , ingeniería , nuclear, transporte y negocios; Cada técnica tiene diferentes usos dentro de diferentes disciplinas.

El juicio de probabilidad absoluta, que también se conoce como estimación numérica directa , ^[1] se basa en la cuantificación de las probabilidades de error humano (HEP). Se basa en la premisa de que las personas no pueden recordar o no pueden estimar con certeza la probabilidad de que ocurra un evento determinado. El criterio de los expertos suele ser deseable para su utilización en la técnica cuando hay poca o ninguna información con la que calcular HEP, o cuando los datos no son adecuados o son difíciles de entender. En teoría, el conocimiento cualitativo construido a través de la experiencia de los expertos puede traducirse en datos cuantitativos , como los HEP.

El requerimiento de los expertos es un buen nivel de experiencia sustantiva (es decir, el experto debe tener un nivel adecuado de conocimiento del dominio del problema) y experiencia normativa (es decir, debe ser posible para el experto, quizás con la ayuda de un facilitador ,) traducir este conocimiento explícitamente en probabilidades). Si los expertos poseen los conocimientos sustantivos requeridos pero carecen de conocimientos de naturaleza normativa, los expertos pueden recibir capacitación o asistencia para garantizar que los conocimientos y la experiencia que se requieren capturar se traduzcan en las probabilidades correctas, es decir, para garantizar que se trata de una representación precisa de Los juicios de los expertos.

Fondo [ editar ]

El juicio de probabilidad absoluta es un enfoque basado en el juicio experto que implica el uso de las creencias de los expertos (p. Ej., Personal de primera línea, ingenieros de procesos, etc.) para estimar las HEP. Hay dos formas primarias de la técnica; Métodos de grupo y métodos de un solo experto, es decir, se puede hacer ya sea como un grupo o como un ejercicio individual. Los métodos de grupo tienden a ser más populares y ampliamente utilizados, ya que son más robustos y están menos sujetos a sesgos . Además, dentro del contexto de uso, es inusual que una sola persona posea toda la información y los conocimientos necesarios para poder estimar únicamente, de manera precisa, la fiabilidad humana en cuestión. En el enfoque grupal, el resultado de la agregación de conocimientos y opiniones individuales es más confiable.

Metodologías [ editar ]

Hay 4 métodos de grupo principal por los cuales se puede realizar un juicio de probabilidad absoluta.

Método individual agregado [ editar ]

Utilizando este método, los expertos hacen sus estimaciones individualmente sin realmente reunirse o discutir la tarea. Luego, las estimaciones se agregan tomando la media geométrica de las estimaciones de los expertos individuales para cada tarea. El principal inconveniente de este método es que no hay experiencia compartida a través del grupo; sin embargo, un aspecto positivo de esto es que, debido a la individualidad del proceso, se evita cualquier conflicto como las personalidades dominantes o las personalidades en conflicto y, por lo tanto, los resultados están libres de sesgos.

Método Delphi [ editar ]

Desarrollado por Dalkey, ^[2] [3] el método Delphi es muy similar al Método Individual Agregado en el que los expertos hacen sus estimaciones iniciales de forma aislada. Sin embargo, después de esta etapa, a los expertos se les muestra el resultado al que han llegado todos los demás participantes y luego pueden reconsiderar las estimaciones que hicieron inicialmente. Las reestimaciones se agregan utilizando la media geométrica . Esto permite compartir información , mientras se evita la mayoría de los sesgos liderados por grupos; Sin embargo, todavía queda el problema de la falta de discusión.

Técnica de grupo nominal (NGT) [ editar ]

Esta técnica toma el método Delphi e introduce una discusión / consulta limitada entre los expertos. De esta manera, el intercambio de información es superior y la dominación de grupo se mitiga al hacer que los expertos lleguen a su propia conclusión antes de agregar los puntajes de HEP.

Método de grupo de consenso [ editar ]

Este es el enfoque más centrado en el grupo y requiere que el grupo deba llegar a un consenso sobre las estimaciones de HEP a través de la discusión y el acuerdo mutuo. Este método maximiza el intercambio de conocimientos y el intercambio de ideas y también promueve la igualdad de oportunidades para participar en la discusión. Sin embargo, también puede ser difícil de coordinar logísticamente ya que requiere que todos los expertos estén juntos en el mismo lugar para que la discusión tenga lugar. Debido a esta tecnicidad, las personalidades y otros mecanismos de sesgo, como el exceso de confianza, la disponibilidad reciente y el anclaje pueden convertirse en un factor, lo que aumenta el potencial de sesgo de los resultados. Si surge una circunstancia en la que hay un punto muerto o una avería en la dinámica de grupo, entonces se hace necesario volver a uno de los otros métodos de juicio de probabilidad absoluta del grupo.

Procedimiento [ editar ]

1. Seleccionar expertos en la materia

Los expertos elegidos deben tener un buen conocimiento práctico de las tareas que deben evaluarse. El número correcto de expertos depende de lo que parezca más práctico, al tiempo que se considera cualquier restricción, como la disponibilidad espacial y financiera. Sin embargo, cuanto más grande sea el grupo, más probablemente surjan los problemas.

2. Preparar declaración de tarea

Las declaraciones de tareas son un componente necesario del método; Las tareas se especifican en detalle. Cuanto más completa sea la explicación de la tarea dentro de la declaración, menor será la probabilidad de que los expertos recurran a realizar conjeturas individuales sobre las tareas. La declaración también debe garantizar que todas las suposiciones estén claramente establecidas en un formato interpretable para que todos los expertos lo entiendan. El nivel óptimo de detalle se regirá por la naturaleza de la tarea en cuestión y el uso requerido de la estimación final de HEP.

3. Prepare el folleto de respuesta. Estos folletos detallan la declaración de la tarea y el diseño de la escala que se utilizará para evaluar la probabilidad de error y mediante la cual los expertos pueden indicar sus juicios. ^[1] La escala debe ser una que permita que las diferencias se hagan evidentes. El folleto también incluye instrucciones, suposiciones y elementos de muestra.

4. Desarrollar instrucciones para los sujetos.

Se requieren instrucciones para especificar a los expertos las razones de la sesión, de lo contrario, pueden adivinar las razones que pueden causar sesgos en las estimaciones resultantes de la confiabilidad humana .

5. Obtener juicios.

Los expertos deben revelar sus juicios sobre cada una de las tareas; Esto se puede hacer en grupo o individualmente. Si se realiza por los primeros medios, a menudo se utiliza un facilitador para evitar cualquier sesgo y ayudar a superar cualquier problema.

6. Calcular la consistencia entre jueces

Este es un método por el cual se pueden comparar las diferencias en las estimaciones HEP de expertos individuales; Se utiliza una formulación estadística para tales fines.

7. Estimaciones individuales agregadas.

Cuando no se usan métodos de consenso grupal, es necesario calcular un agregado para cada una de las estimaciones individuales para cada HEP.

8. Estimación del límite de incertidumbre Calculado utilizando enfoques estadísticos que involucran rangos de confianza.

Ejemplo trabajado [ editar ]

Contexto [ editar ]

En este ejemplo, Eurocontrol utilizó el juicio de probabilidad absoluta en el centro experimental de Brétigny-sur-Orge París , utilizando una metodología de consenso grupal.

Entradas requeridas [ editar ]

Cada uno de los grados del personal incluido en la sesión se turnó para proporcionar estimaciones de las probabilidades de error, incluido el personal de tierra, pilotos y controladores. Antes del comienzo de la sesión, se realizó un ejercicio de introducción para que los participantes se sientan más cómodos con el uso de la técnica; esto implicó una explicación de los antecedentes del método y proporcionó una visión general de lo que implicaría la sesión. Para aumentar la familiaridad con el método, se utilizaron plantillas ejemplares para mostrar cómo se estiman los errores.

Método [ editar ]

• Las declaraciones de tareas iniciales del proyecto se crearon dejando espacio para la opinión individual de estimaciones de tareas y suposiciones adicionales que el grupo puede haber abandonado colectivamente.
• Se llevó a cabo una sesión en la que los escenarios y tareas individuales se detallaron con precisión a los expertos.
• Los expertos, con este conocimiento, pudieron ingresar estimaciones individuales para todas las tareas bajo consideración
• Después de la discusión, todos los participantes tuvieron la oportunidad de expresar su opinión al resto del grupo.
• Luego se utilizó la facilitación para alcanzar un consenso grupal sobre los valores estimados. Más discusión y enmienda tuvo lugar cuando fue necesario.

Durante la duración de la sesión, se reveló que la facilidad con la que los expertos pudieron llegar a un consenso fue baja con respecto a las diferentes estimaciones de los diversos valores de HEP. Las discusiones a menudo cambiaron el pensamiento de los individuos, por ejemplo, a la luz de nueva información o interpretaciones, pero esto no facilitó el logro de un acuerdo. Debido a esta dificultad, fue necesario, por lo tanto, agregar las estimaciones individuales para calcular una media geométrica de estas. La siguiente tabla muestra una muestra de los resultados obtenidos.

Tabla: Piloto de probabilidad absoluta Sesión - Extracto de resultados

Error potencial (código en el modelo de riesgo)	Máximo	Mínimo	Distancia	Significado geometrico
C1a	1.1E-03	2.0E-05	55	2.1E-04
C1b	2.5E-04	1.0E-05	25	3.5E-05
D1	1.0E-03	1.0E-04	10	4.3E-04
F1a	4.0E-04	1.0E-05	40	6.9E-05
F1b	1.0E-03	1.0E-04	10	4.0E-04
F1c	1.0E-03	1.0E-04	10	4.6E-04

En varios casos, el rango de cifras que separa los valores máximo y mínimo demostró ser demasiado grande para permitir que el valor agregado se acepte con confianza. Estos valores son los eventos en el modelo de riesgo que se deben cuantificar. Hay 3 errores principales en el modelo que pueden ocurrir:

• C1: captura de información falsa sobre la ruta de aproximación final
• D1: No mantener a / c en la ruta de aproximación final
• F1: seleccionando pista equivocada

Hubo varias razones que pueden explicar las razones por las cuales hubo una diferencia tan grande en las estimaciones proporcionadas por el grupo: el grupo de expertos fue muy diverso y la experiencia de los individuos fue diferente. La experiencia con el sistema de aumento basado en tierra (GBAS) también mostró diferencias. Este proceso fue una nueva experiencia para todos los expertos que participan en el proceso y solo hubo un día, en el que se llevó a cabo la sesión, para familiarizarse con su uso y usarlo correctamente. Lo más importante fue el hecho de que el detalle de las evaluaciones fue muy bueno, al que el personal no estaba acostumbrado. Los expertos también se confundieron acerca de la forma en que se llevó a cabo la evaluación; Los errores no se consideraron por sí mismos y se analizaron como un grupo.

Resultados / resultados [ editar ]

• Los controladores y los pilotos proporcionaron buenas estimaciones de los errores y estos se han utilizado en algunos casos de seguridad
• Los participantes destacaron su comprensión de la importancia de su participación en el proceso para proporcionar experiencia, en lugar de utilizar analistas de seguridad externos, es decir, entendieron su papel en la realización de una Evaluación de Confiabilidad Humana del sistema
• Los expertos recibieron una representación realista del desempeño humano dentro del sistema y, por lo tanto, requerían requisitos adicionales de seguridad para mejorar la seguridad y reducir la probabilidad de errores identificados. Esto es particularmente beneficioso; para el futuro GBAS.

Enseñanzas del estudio [ editar ]

• Se requiere tiempo para familiarizarse con la metodología y para comprender qué se necesita hacer en el contexto dado.
• Se requiere que los expertos entiendan las circunstancias en las cuales los HEP son condicionales
• Existe la necesidad de incluir verdaderos expertos en el proceso y en un número significativo para permitir que se recopile la información necesaria.
• El uso de la información existente en el proceso siempre es útil para los propósitos de la estandarización.

Ventajas [ editar ]

• El método es relativamente rápido y sencillo de emplear. Con un mayor grado de discusión grupal en el uso de la técnica, se producen más datos cualitativos; Esto puede considerarse como un subproducto útil de la evaluación. ^[1]
• El juicio de probabilidad absoluta no está restringido o especializado para su uso en un campo particular; es fácilmente aplicable a una HRA en cualquier sector industrial, por lo que es una técnica genérica para su uso en una amplia gama de aplicaciones potenciales. [5]
• Se pueden obtener sugerencias útiles de la discusión sobre las formas en que se puede lograr una reducción en los errores ^[4]

Desventajas [ editar ]

• El juicio de probabilidad absoluta es propenso a ciertos sesgos y conflictos o problemas de grupo. La selección de la metodología de grupo correcta o la facilitación de grupo de alta calidad puede disminuir el efecto de estos sesgos y aumentar la validez de los resultados. ^[1]
• La localización de expertos adecuados para el ejercicio de juicio de probabilidad absoluta es una etapa difícil del proceso, más aún debido a la ambigüedad con la que se puede definir el término "experto" ^[5]
• Debido a que puede haber poco o ningún razonamiento empírico y / o cuantitativo que sustente las estimaciones de los expertos, es difícil estar seguro de la validez de los HEP finales, es decir, no hay ningún medio por el cual se puedan validar las conjeturas.