ÁLGEBRA ABSTRACTA

ARITMÉTICA MODULAR :
En teoría de números, una congruencia de Mirimanoff es una serie de expresiones en aritmética modular tales que, si se cumplen, conllevan la veracidad del último teorema de Fermat. Ya que el teorema ha sido demostrado, estas expresiones son de significancia histórica, ya que los polinomios de Mirimanoff son interesantes por derecho propio.

El n-ésimo polinomio de Mirimanoff para el primo p es

En términos de estos polinomios, si t es uno de estos seis valores: {-X/Y, -Y/X, -X/Z, -Z/X, -Y/Z, -Z/Y} donde X^p+Y^p+Z^p=0 es una solución al Último teorema de Fermat, entonces

• φ_p-1(t) ≡ 0 (mod p)
• φ_p-2(t)φ₂(t) ≡ 0 (mod p)
• φ_p-3(t)φ₃(t) ≡ 0 (mod p)

...

• φ_(p+1)/2(t)φ_(p-1)/2(t) ≡ 0 (mod p)

Mirimanoff también demostró lo siguiente:

• Si un número primo p no divide a uno de los siguientes numeradores de los números de Bernoulli B_p-3, B_p-5, B_p-7 o B_p-9, entonces el primer caso del Último teorema de Fermat, donde p no divide a X, Y or Z en la ecuación X^p+Y^p+Z^p=0, es cierto.
• Si el primer caso del Último teorema de Fermat no se cumple para el primo p, entonces 3^p-1 ≡ 1 (mod p²). Un número primo con esta propiedad es a veces llamado primo de Mirimanoff, en analogía con los números de Wieferich, que son números primos tales que 2^p-1 ≡ 1 (mod p²).

Congruencia de Mirimanoff

En teoria de nombres, una congruencia de Mirimanoff és una sèrie d'expressions en aritmética modular tals que, si es compleixen, comporten la veracitat de l'últim teorema de Fermat. Ja que el teorema ha estat demostrat, aquestes expressions són de significancia històrica, ja que els polinomios de Mirimanoff són interessants per dret propi.

Definició

El n -ésimo polinomio de Mirimanoff per al primer p és

φ_n(t) = 1^{n − 1}t + 2^{n − 1}t² + ... + (p − 1)^{n − 1}t^{p − 1}.

En termes d'aquests polinomios, si t és un d'aquests sis valors: {-X/I, -I/X, -X/Z, -Z/X, -I/Z, -Z/I} on X^p+I^p+Z^p=0 és una solució a l'Últim teorema de Fermat, llavors

• φ_p-1(t) ≡ 0 (mod p)
• φ_p-2(t)φ₂(t) ≡ 0 (mod p)
• φ_p-3(t)φ₃(t) ≡ 0 (mod p)

...

• φ_(p+1)/2(t)φ_(p-1)/2(t) ≡ 0 (mod p)

Altres congruencias

Mirimanoff també va demostrar el següent:

• Si un nombre primer p no divideix a un dels següents numeradores dels nombres de Bernoulli B_p-3, B_p-5, B_p-7 o B_p-9, llavors el primer cas de l'Últim teorema de Fermat, on p no divideix a X , I or Z en l'ecuación X^p+I^p+Z^p=0, és cert.
• Si el primer cas de l'Últim teorema de Fermat no es compleix per al primer p, llavors 3^p-1 ≡ 1 (mod p²). Un nombre primer amb aquesta propietat és de vegades anomenat primer de Mirimanoff, en analogía amb els nombres de Wieferich, que són nombres primers tals que 2^p-1 ≡ 1 (mod p²).

El teorema chino del resto es un resultado sobre congruencias en teoría de números y sus generalizaciones en álgebra abstracta. El enunciado dice:

Sean  tales que  (primos relativos). Entonces dados cualesquiera , existe un  tal que: Y además, si existen otros  que satisfagan las dos congruencias anteriores entonces: .- --------------------------------------------_:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=18c1c280205c1f333500600f8d433429cc6ced50&writer=rdf2latex&return_to=Teorema+chino+del+resto   En este artículo se recogen unas cuantas demostraciones del pequeño teorema de Fermat, que establece: Si a es un número natural y p un número primo, entonces . .- ......................................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=2b78f00f54a1cee3cd2848f391ca4202c93525a9&writer=rdf2latex&return_to=Demostraciones+del+peque%C3%B1o+teorema+de+Fermat Sir Andrew Wiles y la demostración del último teorema de Fermat (Esta entrada participa en la edicion 3.141 del carnaval de matemáticas cuyo anfitrion para este mes de abril es DesEquiLIBROS) Hace algún tiempo habiamos hablado de el último teorema de Fermat mediante un singular desafio, el desafio del último teorema de Fermat que ni el diablo pudo resolver del libro de cuentos de Arhtur Poges vimos como un inteligente y astuto Simon Flag pacta con el diablo entregarle su alma en un plazo de 24 horas si éste (el diablo) era capáz de decirle con total certeza si es o no es verdad el último teorema de Fermat. Pasadas las 24 horas regresa el diablo y le dice a Flag "tu ganas Simon, ni siquiera yo soy capaz en tan poco tiempo de aprender las matemáticas necesarias para tan complicado problema, pues mientras más lo analizo mas dificil se torna" Bueno, el diablo no pudo resolverlo en 24 horas (y perdio su apuesta) pero en 1995 Sir Andrew Wiles, un matemático inglés si pudo hacerlo, en muchisimo más que 24 horas, claro está (7 años para ser exacto fue lo que le llevó a Wiles demostrar la veracidad del teorema) no sin antes utilizar complejos procedimientos matemáticos y sofisticadas herramientas de análisis numérico con las cuales poco a poco construyó una demostración completa de 98 paginas. (Wiles literalmente se encerró en su casa y trabajo arduamente en un problema que frustró a matemáticos por mas de 300 años desde la muerte de Fermat en 1665) En esta oportunidad hecharemos un vistazo al trabajo de Sir Andrew Wiles, la demostración del último teorema de Fermat que le valio un lugar en la historia de la ciencia en un documental subtitulado que relata resumidamente el trabajo metódico de Wiles y otros matemáticos que contribuyeron con este objetivo. Luego los invito a leer una sencilla pero objetiva biografía de Pierre de Fermat, un jurista de profesión y matemático de afición que entre otros trabajos que realizó le valieron un lugar en la historia de ésta diciplina. El último teorema de Fermat (llamado así por ser el último de los resultados que a Fermat se atribuía pero no había sido demostrado) afirma que si n > 2, entonces la ecuación xn + yn = zn no tiene soluciones enteras positivas. Cuando n = 2, se tiene el teorema de Pitágoras y a los enteros que lo cumplen se les conoce como 'ternas pitagoricas'. Por ejemplo, 32 + 42 = 52.