El término de factorizacion es muy fácil de definir y entender, cuando en una ecuación hay varias x, ya sean al cuadrado o al cubo, o elevado a cualquier otro número, pues precisamente se factoriza para poder realizarse de forma sencilla, y que no lleva término independiente. El término independiente es aquel que no acompaña a una x, por ejemplo, 2x+6, el 6 no multiplica ninguna x. Para especificarlo mejor si se tiene la ecuación x ˆ 2 + 6 x = 0, se resuelve así, x (2x + 6) por lo que al despejar; hay dos resultados el de la ecuación que se encuentra dentro del paréntesis 2x + 6 = 0 que da x = -2/6 y otro que es el de la x fuera del paréntesis que siempre es = x = 0. En resumidas cuentas la factorización es expresar un objeto o número en el producto de otros objetos más pequeños (factores), por ejemplo, 4 + 4a + a2 + 1, aplicando la fórmula del trinomio cuadrado perfecto el polinomio queda así, [2 + a (2) + 1. REPORTE GRATUITO: Técnicas Rápidas Para Que Tu Hijo Obtenga Buenas Calificaciones En El Examen de Matematicas. Haz Clic AQUÍ y Descargalo AHORA. Fórmulas de la factorizacion Existen varias fórmulas aplicables cada una a ecuaciones específicas, entre los casos más comunes se destacan; la factorización de un monomio, aquí lo que se hace es buscar los factores en los que se puede descomponer el término. Otra de las fórmulas es la del factor común monomio, allí se busca algún factor que se repita en ambos términos, por ejemplo, en la ecuación a2 + 2ª = a (a+2) el factor común es a ya que está en los dos términos. Por otra parte, está el factor común polinomio, x [a + b] + m [ a + b ], para este caso específico, en ambos términos el factor que se repite es [a + b], entonces lo puedes escribir como el factor del otro binomio. factorizacion de un polinomio Primero que todo es clave destacar cómo está definido el polinomio, este se define como una expresión constituida por un conjunto finito de variables y constantes utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como exponentes enteros negativos. En ese orden de ideas, se debe recordar que un polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización para algunos casos especiales. Como por ejemplo binomios, en estos se destacan la diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos y la suma o diferencia de potencias impares iguales. En cuanto a los trinomios, trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la forma x2 + bx + c, trinomio de la forma a2 + bx + c y por último los polinomios que es un factor común. Para desarrollar cada cual se lleva un proceso que desemboca en la solución de la ecuación, es clave destacar nuevamente que dependiendo de la ecuación es que se ajusta el método. Es así como tanto las ecuaciones como la resolución de estas hacen parte de una gran cadena aritmética de contiene a la factorización.
(ejemplo de uso de los números primos)
La factorización de los números naturales consiste en descomponer un número entero cualquiera en producto de números primos. La descomposición de los números de su factores primos facilita la determinación de su m.c.d. y m.c.m. Ejemplo:
- Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Algoritmo de Euclides.
El máximo común divisor de dos números se define, como su propio nombre indica, como el divisor más grande que ambos números tienen en común. Si disponemos de la factorización de ambos números, entonces el máximo común divisor se obtiene quedándose solamente con aquellos factores comunes a ambas descomposiciones y elevados al menor de los exponentes con los que aparezcan.El mínimo común múltiplo, nuevamente como indica su nombre, es el múltiplo más pequeño que ambos números tienen en común. Atendiendo a las descomposiciones de ambos números, el mínimo común múltiplo se obtiene considerando todos los factores distintos que aparecen (comunes y no comunes), cada uno de ellos elevado al mayor exponente con el que aparezca.
Según se dijo antes, calcular la factprización deoun número es un proceso muy costoso. Sin embargo, puede calcularse el máximo común divisor de dos números de una manera eficiente, sin necesidad de factorizar previamente ambos números. Es lo que se conoce como algoritmo de Euclides y consiste en lo siguiente:
- Dados dos números
, comenzamos relizando la división entera de
entre
.
- Cada paso consiste en una nueva división, en la que el dividendo es el número que actuó de divisor en la división anterior y el divisor es el número que se obtuvo como resto en la división anterior.
- Cuando en una división se obtiene resto nulo, el máximo comun divisor de los números de los que partimos será el número que ha actuado como divisor en esa última división efectuada y que resultó ser una división exacta.
Una vez obtenido el máximo común divisor de esta manera, ¿se te ocurre cómo obtener el mínimo común múltiplo sin necesidad de factorizar los números?
- Dados dos números
- Representación de un número natural en una base cualquiera:
El método de divisiones enteras sucesivas permite escribir cualquier número natural en forma única en una base cualquiera p, en la forma siguiente:
en base p, donde.Para lograr dicha expresión basta con realizar sucesivas divisiones enteras de n por p y tomar los restos, es decir,
hasta que en la r-ésima divisón,se tenga
. Se toma
, y hemos terminado.
- Nótese que nuestra actual notación posicional para los números naturales se corresponde con la representación de los números naturales en base decimal (p=10). Se denomina notación posicional porque el valor de una cifra depende de la posicón que ésta tenga en el número: un 5 en el lugar de las unidades vale 5, mientras que en el lugar de las centenas vale 500.
- La notación binaria, tan común en el mundo de la informática es el resultado de tomar p=2 y representar los números naturales en dicha base.
- ¿Conoces otras representaciones en bases distintas? Hexadecimal, sexagesimal...
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