Los fractales y el conjunto de Mandelbrot
En primer lugar y ya que hablaré de fractales, debes saber que el término 'fractal' lo acuñó Mandelbrot al hojear un diccionario de latín de su hijo al fusionar las palabras fractus (romper) + fracture (fractura), dando pues una función doble (sustantivo/adjetivo) a su creación. Fue el la IBM donde se fraguó la teoría de la Geometría Fractal, tan bellamente representada por el conjunto de Mandelbrot.
Un problema traía de cabeza a los técnicos de comunicaciones de la compañía era el ruido en las líneas telefónicas que usaban para transmitir información en su red de ordenadores. Ese ruido era insalvable, podían atenuarlo amplificando la señal pero siempre aparecían las interferencias y con ellas los errores continuos. Era como la radiación de fondo del Universo, siempre está presente, no desaparece.
Este hecho llegó a oídos de Mandelbrot, y ni corto ni perezoso ideó un método que describía la distribución errónea del flujo de información, el cual predecía las observaciones pero que era incapaz de pronosticar el promedio de errores por unidad de tiempo.
De hecho, en los periodos de aparición seguida de errores, por reducido que fuera, había siempre periodos de transmisión limpia de ruidos.
Su intuición geométrica le llevó a descubrir una relación entre los periodos de error y los periodos de transmisión limpia, una relación geométrica, por tanto visual y que era fácilmente representable en un gráfico:
Mandelbrot vio reflejarse en el conjunto de Cantor los errores aparentemente desordenados de las líneas de datos de IBM. Vio que era una muestra de tiempo fractal y que extendiendo esta teoría a otros campos, la importancia del término fractal ganaría la partida frente a los matemáticos ortodoxos que pensaban en la geometría euclídea como forma ideal de belleza y como piedra filosofal sobre la que giraba las matemáticas y físicas modernas.
Benoit Mandelbrot fue uno de tantos otros visionarios del caos y de los fractales, que tuvo la suerte de ver realizados sus sueños al materializar su engendro matemático y hacerle corresponder una realidad perteneciente a la naturaleza. Esto es lo único que lo distingue de otros matemáticos que ya en el siglo XIX se topaban con cualidades paradójicas e incomprensibles de ciertos objetos surgidos de sus pasatiempos y quehaceres matemáticos y todo ello gracias a una herramienta que le sirvió para tal fin a Mandelbrot: el ordenador. Y es que a Mandelbrot le sobraban ordenadores ya que trabajaba en la IBM y disponía a su alcance de una gran cantidad de recursos informáticos.
Quedará más y mejor explicado el concepto fractal con el artículo publicado por Mandelbrot bajo el título de
Quedará más y mejor explicado el concepto fractal con el artículo publicado por Mandelbrot bajo el título de
¿Qué longitud tiene la costa de Bretaña?
Así a bote pronto y sin pensar detenidamente en ello, diríamos que la respuesta es fácil. Tan simple como buscar el dato en la Espasa de ciento y pico volúmenes.
Nada más lejos de la realidad. La medida dependerá de la exactitud y precisión de la regla utilizada. Si usamos una regla de 1 metro tendremos una aproximación a la longitud de la costa, pero como hay recovecos inferiores al metro, contando que la regla no la podemos partir para precisar más en la medida, nos encontramos con que el resultado es una mera aproximación.
¿Y si la regla fuera de 1 cm? Pues la medida obtenida sería más exacta pero no dejaría de ser una aproximación ya que la escala usada para medir es arbitraria y podemos elegirla a nuestro gusto. Siempre podríamos optar por una regla de un mm., o de la milésima parte de un mm., o tal vez de una millonésima parte de mm., ..., es decir, siempre podemos escoger una escala más pequeña.
Los egipcios medían en codos, unidad poco exacta, pero que bastaba y sobraba para sus cálculos. Y aún así no deja de sorprendernos su cultura y el trasfondo matemático que se 'huele' al ver una pirámide.
Nosotros hemos realizado un gran avance con el sistema decimal de numeración y los sistemas de medidas, pero vamos a pensar que el espacio no sólo se mide en metros, cm. o mm., si no que existirá siempre una unidad tan pequeña como queramos y si la escala que escogemos es infinitesimal, la longitud de la costa de Bretaña será ¥.
Pensemos en un mapa mundi y en el contorno que vemos al fijarnos en la costa gallega. Distinguimos líneas curvas que definen el contorno pero no reflejan la realidad, pues su irregularidad no puede reflejarse en un trocito de papel. Esa irregularidad la apreciaremos mejor en una foto tomada desde un satélite geoestacionario y si vamos haciendo sucesivas ampliaciones manteniendo el nivel de detalle, distinguiremos bahías, penínsulas, sub-bahías, sub-penínsulas y así "hasta el ¥ y más allá" ;-)
No es lo mismo que la medida sea tomada por un barco a través de un recorrido físico, a que la realice una persona caminando por el litoral, ni a que nos la diese un paciente caracol y mucho menos una pulga saltarina. Cada vez obtendríamos una medida mayor que la anterior y su límite tendería al ¥, pero fíjate que el área que encierra dicha línea infinita seria finita y cuantificable (ya volveremos a este tema particular en otro apartado).
El quid de la cuestión es la irregularidad o escabrosidad de los objetos que tenemos a nuestro alrededor y esa escabrosidad la que nos imposibilita medir las cosas tomando como referencia las 3 dimensiones del plano euclídeo, que se muestra insuficiente para según que menesteres.
A partir de este momento, tú mismo ya que te interesas por el ámbito científico, debes pensar que a las dimensiones enteras hay que añadirles las fraccionarias e imbuidos en ellas están los objetos fractales.
Dimensión euclídea. Ejemplo: 0 Punto 1 Recta 2 Cuadrado 3 Cubo
La dimensión fraccionaria fractal mide el grado de escabrosidad y/o discontinuidad de un objeto presentando un grado de irregularidad constante a diferentes escalas. Al final resulta una irregularidad regular.
El grado de irregularidad de un objeto no es otra cosa que su eficacia para ocupar espacio y resulta que hay líneas que son más eficaces que otras al ocupar espacio, como la curva de Koch que tiene dimensión 1'2618, ya que es un objeto a caballo entre la línea y la superficie. En cierta medida llega a doblegar la dimensión y obtener más de ella, como lo hace la curva espacio-tiempo en la Teoría de la Relatividad.
Un fractal es la forma idónea de ver lo infinito con el ojo de la mente, ya que ésta no puede visualizar la infinita autoinclusión de la complejidad que reina en él.
Hay multitud de ejemplos de fractales: el copo de nieve de Koch, el triángulo de Sierpinski, la curva de Cesàro, la curva del Dragón, la de Hilbert, ... y todos ellos se nos antojan criaturas extrañas y ... bellas, muestran una complejidad regular y una autosemejanza interminable.
Con el artículo sobre la longitud de la costa de Bretaña, Mandelbrot volvió a encontrarse con la cualidad de la autosemejanza, como en la curva de Koch y el ruido de las líneas de teléfono.
Diariamente observamos multitud de objetos con un contorno liso que visto con ojos fractales se tornará tan escabroso como queramos. Siempre han estado entre nosotros: en los helechos, en nuestros pulmones, en las coles (sino lo crees mira una con una lupa de aumento), en la red bronquial, en los copos de nieve, en las cuencas hidrográficas, en las montañas, en el crecimiento de ciertos vegetales, ...
Nada más lejos de la realidad. La medida dependerá de la exactitud y precisión de la regla utilizada. Si usamos una regla de 1 metro tendremos una aproximación a la longitud de la costa, pero como hay recovecos inferiores al metro, contando que la regla no la podemos partir para precisar más en la medida, nos encontramos con que el resultado es una mera aproximación.
¿Y si la regla fuera de 1 cm? Pues la medida obtenida sería más exacta pero no dejaría de ser una aproximación ya que la escala usada para medir es arbitraria y podemos elegirla a nuestro gusto. Siempre podríamos optar por una regla de un mm., o de la milésima parte de un mm., o tal vez de una millonésima parte de mm., ..., es decir, siempre podemos escoger una escala más pequeña.
Los egipcios medían en codos, unidad poco exacta, pero que bastaba y sobraba para sus cálculos. Y aún así no deja de sorprendernos su cultura y el trasfondo matemático que se 'huele' al ver una pirámide.
Nosotros hemos realizado un gran avance con el sistema decimal de numeración y los sistemas de medidas, pero vamos a pensar que el espacio no sólo se mide en metros, cm. o mm., si no que existirá siempre una unidad tan pequeña como queramos y si la escala que escogemos es infinitesimal, la longitud de la costa de Bretaña será ¥.
Pensemos en un mapa mundi y en el contorno que vemos al fijarnos en la costa gallega. Distinguimos líneas curvas que definen el contorno pero no reflejan la realidad, pues su irregularidad no puede reflejarse en un trocito de papel. Esa irregularidad la apreciaremos mejor en una foto tomada desde un satélite geoestacionario y si vamos haciendo sucesivas ampliaciones manteniendo el nivel de detalle, distinguiremos bahías, penínsulas, sub-bahías, sub-penínsulas y así "hasta el ¥ y más allá" ;-)
No es lo mismo que la medida sea tomada por un barco a través de un recorrido físico, a que la realice una persona caminando por el litoral, ni a que nos la diese un paciente caracol y mucho menos una pulga saltarina. Cada vez obtendríamos una medida mayor que la anterior y su límite tendería al ¥, pero fíjate que el área que encierra dicha línea infinita seria finita y cuantificable (ya volveremos a este tema particular en otro apartado).
El quid de la cuestión es la irregularidad o escabrosidad de los objetos que tenemos a nuestro alrededor y esa escabrosidad la que nos imposibilita medir las cosas tomando como referencia las 3 dimensiones del plano euclídeo, que se muestra insuficiente para según que menesteres.
A partir de este momento, tú mismo ya que te interesas por el ámbito científico, debes pensar que a las dimensiones enteras hay que añadirles las fraccionarias e imbuidos en ellas están los objetos fractales.
Dimensión euclídea. Ejemplo: 0 Punto 1 Recta 2 Cuadrado 3 Cubo
La dimensión fraccionaria fractal mide el grado de escabrosidad y/o discontinuidad de un objeto presentando un grado de irregularidad constante a diferentes escalas. Al final resulta una irregularidad regular.
El grado de irregularidad de un objeto no es otra cosa que su eficacia para ocupar espacio y resulta que hay líneas que son más eficaces que otras al ocupar espacio, como la curva de Koch que tiene dimensión 1'2618, ya que es un objeto a caballo entre la línea y la superficie. En cierta medida llega a doblegar la dimensión y obtener más de ella, como lo hace la curva espacio-tiempo en la Teoría de la Relatividad.
Un fractal es la forma idónea de ver lo infinito con el ojo de la mente, ya que ésta no puede visualizar la infinita autoinclusión de la complejidad que reina en él.
Hay multitud de ejemplos de fractales: el copo de nieve de Koch, el triángulo de Sierpinski, la curva de Cesàro, la curva del Dragón, la de Hilbert, ... y todos ellos se nos antojan criaturas extrañas y ... bellas, muestran una complejidad regular y una autosemejanza interminable.
Con el artículo sobre la longitud de la costa de Bretaña, Mandelbrot volvió a encontrarse con la cualidad de la autosemejanza, como en la curva de Koch y el ruido de las líneas de teléfono.
Diariamente observamos multitud de objetos con un contorno liso que visto con ojos fractales se tornará tan escabroso como queramos. Siempre han estado entre nosotros: en los helechos, en nuestros pulmones, en las coles (sino lo crees mira una con una lupa de aumento), en la red bronquial, en los copos de nieve, en las cuencas hidrográficas, en las montañas, en el crecimiento de ciertos vegetales, ...
 |  |  |
 |  |  |
Autosimilitud
La medición depende de la escala escogida para realizar la observación y en los fractales esa escala significa autosimilitud. Autosimilitud tan perfecta que sería imposible distinguir una instantánea de un fractal a escala 1 que otra hecha a escala 200, simplemente por la autorrecurrencia que muestran los objetos fractales, por su simetría dentro de una escala, por su pauta en el interior de una pauta. Los objetos fractales están formados por copias más o menos exactas de partes de sí mismos.
A pesar de que en el conjunto de Mandelbrot la autosimilitud no es exacta, podemos observar que sí lo es en el conjunto de Cantor o el triángulo de Sierpinski.
Teoría del Caos: Una Breve Introducción
¿Qué es exactamente el caos?. El nombre de “Teoría del Caos” viene del hecho de que los sistemas que describe la teoría están aparentemente desordenados, pero la Teoría del Caos en verdad busca el orden subyacente en los datos aparentemente aleatorios.
¿Cuándo se hizo el primer descubrimiento del Caos?. El primer verdadero científico del Caos fue un meteorólogo, llamado Edward Lorenz. En 1960, estaba trabajando en el problema de la predicción del tiempo. Tenía su ordenador configurado con un conjunto de doce ecuaciones para modelar el clima. No predecía el clima él mismo, sin embargo este programa de ordenador teóricamente predecía qué tiempo podría hacer.
Un día en 1961, quería ver una secuencia en particular de nuevo. Para ganar tiempo, comenzó a mitad de la secuencia, en lugar de en el principio. Introdujo los números de su copia impresa y lo dejó ejecutando. Cuando volvió una hora más tarde, la secuencia había evolucionado de forma distinta. En lugar de obtener el mismo patrón de antes, divergía del patrón original finalizando de una forma muy distinta. (Ver figura 1.). Finalmente comprendió lo que había sucedido. El ordenador almacenó seis decimales en su memoria. Al guardarlo en papel, sólo imprimió tres decimales. En la secuencia original, el número era 0,506127, y sólo había escrito los tres primero dígitos, 0,506.
Figura 1: El Experimento de Lorenz: La diferencia en el inicio de las dos curvas es de solo 0,000127
(Ian Stewart, ¿Juega Dios a los dados?. Las Matemáticas del Caos, página 141
Según todas las ideas convencionales de aquella época, debería haber funcionado. Debería haber obtenido una secuencia muy cercana a la secuencia original. Un científico podía considerarse afortunado si era capaz de conseguir medidas con una precisión de 3 decimales. Seguramente el cuarto y el quinto, imposibles de medir usando métodos razonables, no podían tener un gran efecto en el resultado del experimento. Lorenz probó que esta idea era errónea.
Este efecto comenzó a conocerse como efecto mariposa. La diferencia entre los puntos iniciales de las dos curvas era tan pequeña que podía compararse a una mariposa batiendo sus alas. El batir de las alas de una simple mariposa hoy produce un minúsculo cambio en el estado de la atmósfera. Durante un periodo de tiempo, la atmósfera en efecto divergiría de lo que habría hecho. Por tanto, en el tiempo de un mes, un tornado que habría devastado la costa de Indonesia no tuvo lugar. O puede que si no fuese a suceder, lo hiciera. (Ian Stewart, ¿Juega Dios a los dados? Las Matemáticas del Caos, página 141)
Este fenómeno, común en la Teoría del Caos, es también conocido como dependencia sensible de las condiciones iniciales. Solo un pequeño cambio en las condiciones iniciales puede cambiar drásticamente el comportamiento a largo plazo de un sistema. Esta pequeña diferencia en la medida podría ser considerada como ruido experimental, ruido de fondo o una inexactitud del equipo. Tal tipo de cosas son imposibles de eliminar incluso en los laboratorios más aislados. Empezando con un valor de 2, el resultado final puede ser completamente distinto para el mismo sistema con un valor inicial de 2,000001. Es simplemente imposible alcanzar este nivel de precisión – ¡sólo intenta medir algo que es cerca de una millonésima de centímetro!.
A partir de esta idea, Lorenz indicó que era imposible predecir el clima de forma precisa. Sin embargo, este descubrimiento llevó a Lorenz a otros aspectos que más tarde serían conocidos como Teoría del Caos. Lorenz comenzó a buscar un sistema más simple que tuviese dependencia sensible de las condiciones iniciales. Su primer descubrimiento tenía doce ecuaciones, y él quería una versión mucho más simple que aún conservara este atributo. Tomó las ecuaciones de la convección, las desarmó y las hizo increíblemente simples. El sistema no tenía nada que ver con la convección, pero tenía las mismas dependencias sensibles de las condiciones iniciales, y solo tenía tres ecuaciones esta vez. Más tarde, se descubrió que sus ecuaciones describían de forma precisa un remolino de agua.
A partir de esta idea, Lorenz indicó que era imposible predecir el clima de forma precisa. Sin embargo, este descubrimiento llevó a Lorenz a otros aspectos que más tarde serían conocidos como Teoría del Caos. Lorenz comenzó a buscar un sistema más simple que tuviese dependencia sensible de las condiciones iniciales. Su primer descubrimiento tenía doce ecuaciones, y él quería una versión mucho más simple que aún conservara este atributo. Tomó las ecuaciones de la convección, las desarmó y las hizo increíblemente simples. El sistema no tenía nada que ver con la convección, pero tenía las mismas dependencias sensibles de las condiciones iniciales, y solo tenía tres ecuaciones esta vez. Más tarde, se descubrió que sus ecuaciones describían de forma precisa un remolino de agua.
Desde arriba, el agua cae sin cesar en contenedores que cuelgan sobre el borde del remolino. Cada contenedor gotea constantemente a través de un pequeño agujero. Si la corriente de agua es lenta, el contenedor de arriba nunca llenará lo bastante rápido para superar la fricción, pero si la corriente es más rápida, el peso comenzará a girar el remolino. La rotación puede volverse continua. O si la corriente es tan rápida que los contenedores pesados se balancean en el otro sentido, el remolino entonces se hará más lento, para, e invierte su rotación, girando primero en un sentido y luego en otro. (James Gleick, Caos – Creando una Nueva Ciencia, página. 29)
Las ecuaciones para este sistema también parecían dar un comportamiento completamente aleatorio. Sin embargo, cuando realizó los gráficos, sucedió algo sorprendente. La salida siempre permanecía en una curva, una espiral doble. Había solo dos clases de órdenes previamente conocidos: el estado fijo, en el que las variables nunca cambian, y el comportamiento periódico, en el que el sistema entra en un bucle, repitiéndose de forma indefinida. Las ecuaciones de Lorenz definitivamente tenían un orden – siempre seguían una espiral. No se podía situar un punto simple, pero dado que no se repetía lo mismo, tampoco eran periódicas. A la imagen que obtuvieron al trazar el gráfico de las ecuaciones la llamaron atractor de Lorenz. (Ver figura 2)
Figura 2: El atractor de Lorenz (James Gleick, Caos – Creando una Nueva Ciencia, página 29)
En 1963, Lorenz publicó un artículo describiendo lo que había descubierto. Incluyó la impredicibilidad del clima, y discutió los tipos de ecuaciones que causaban este tipo de comportamiento. Por desgracia, la única revista en la que estaba capacitado para publicar era una revista de meteorología, ya que era un meteorólogo, no un matemático ni un físico. Como resultado, los descubrimientos de Lorenz no obtuvieron su reconocimiento hasta años más tarde, cuando se redescubrieron por otros. Lorenz había descubierto algo revolucionario; ahora tenía que esperar a que alguien lo descubriese a él.
Otro sistema en el que la dependencia sensible de las condiciones iniciales es evidente es en el lanzamiento de una moneda. Hay dos variables en el lanzamiento de una moneda: el tiempo que tarda en golpear el suelo, y la velocidad a la que es lanzada. Teóricamente, debería ser posible controlar estas variables completamente y controlar cómo terminará la moneda. En la práctica, es imposible controlar exactamente la velocidad a la que se lanza la moneda y la altura que alcanza. Es posible poner las variables dentro de un cierto rango, para es imposible controlarlo lo suficiente como para conocer el resultado final del lanzamiento de la moneda.
Un problema similar tiene lugar en la ecología, y la predicción de las poblaciones biológicas. La ecuación sería simple si la población sólo creciera de forma indefinida, pero los efectos de los predadores y un suministro de alimento limitado hacen esta ecuación incorrecta. La ecuación más simple que tiene esto en cuenta es la siguiente:
Población del año siguiente = r * población de este año * (1 – población de este año)
En esta ecuación, la población es un número entre 0 y 1, donde 1 representa el máximo de población posible y el 0 la extinción. R es la tasa de crecimiento. La pregunta era, ¿Cómo afectan estos parámetros a la ecuación?. La respuesta obvia es que una mayor tasa de crecimiento implica que un aumento en la población, mientras que una menor tasa de crecimiento decrementará el número. Esta tendencia es cierta para algunas tasas de crecimiento, pero no para todas ellas.
Un problema similar tiene lugar en la ecología, y la predicción de las poblaciones biológicas. La ecuación sería simple si la población sólo creciera de forma indefinida, pero los efectos de los predadores y un suministro de alimento limitado hacen esta ecuación incorrecta. La ecuación más simple que tiene esto en cuenta es la siguiente:
Población del año siguiente = r * población de este año * (1 – población de este año)
En esta ecuación, la población es un número entre 0 y 1, donde 1 representa el máximo de población posible y el 0 la extinción. R es la tasa de crecimiento. La pregunta era, ¿Cómo afectan estos parámetros a la ecuación?. La respuesta obvia es que una mayor tasa de crecimiento implica que un aumento en la población, mientras que una menor tasa de crecimiento decrementará el número. Esta tendencia es cierta para algunas tasas de crecimiento, pero no para todas ellas.
Un biólogo, Robert May, decidió ver qué sucedía con las ecuaciones cuando cambiaba el valor de la tasa de crecimiento. A valores bajos de tasa de crecimiento, la población se establecería en un único número. Por ejemplo, si la tasa de crecimiento es 2,7, la población se establecerá en 0,6292. Cuando se incrementa la tasa de crecimiento, la población final se incrementaría también. Entonces, sucedió algo extraño. Tan pronto como la tasa de crecimiento pasaba de 3, la línea se rompía en dos. En lugar de establecerse en una única población, saltaría entre dos poblaciones distintas. Tendría un valor para un año, otro para el siguiente, repitiendo el ciclo para siempre. Incrementar la tasa de crecimiento un poco más provocó que saltara entre cuatro valores distintos. Cuando el parámetro crecía aún más, la línea se bifurcaba de nuevo. Las bifurcaciones llegaban más y más rápidamente hasta que de pronto, aparecía el caos. Pasada una cierta tasa de crecimiento, se hacía imposible predecir el comportamiento de la ecuación. Sin embargo, bajo una inspección más detallada, es posible ver líneas claras. Mirando más de cerca, estas líneas revelan pequeñas ventanas de orden, donde la ecuación va a través de las bifurcaciones de nuevo antes de volver al caos. Esta auto-similitud, el hecho de que el gráfico tenga una copia exacta de sí mismo oculta en su interior, viene a ser un aspecto importante del caos.
Figura 3: El diagrama de bifurcación para la ecuación de poblaciones. (James Gleick, Caos – Creando una Nueva Ciencia, página 71)
Un empleado de IBM, Benoit Mandelbrot era un matemático que estudiaba esta auto-similitud. Una de las áreas que estaba estudiando era la fluctuación en el precio del algodón. No importa como se analizaran los datos de los precios del algodón, los resultados no se ajustaban a la distribución normal. Mandelbrot finalmente obtuvo todos los datos disponibles de los precios del algodón, desde el año 1900. Cuando analizó los datos en los ordenadores de IBM, observó un hecho asombroso:
Los números que producen aberraciones desde el punto de vista de la distribución normal producen simetría desde el punto de vista de la escala. Cada cambio de precio particular era aleatorio e impredecible. Pero la secuencia de los cambios era independiente de la escala: las curvas para los cambios del precio diario y mensual encajaban perfectamente. Increíblemente, analizados de la forma de Mandelbrot, el grado de variación había permanecido constante a través del tumultuoso periodo de sesenta años que pasaba por dos Guerras Mundiales y una depresión. (James Gleick, Caos – Creando una Nueva Ciencia, página. 86)
Mandelbrot no sólo analizó los precios del algodón, sino muchos otros fenómenos también. En uno de ellos, se preguntaba por la longitud de una línea costera. Un mapa de una línea de costa muestra muchos entrantes. Sin embargo, al medir la longitud de una línea costera en un mapa perderemos los entrantes que son demasiado pequeños para mostrarse en el mapa. De igual modo, caminando a lo largo de la costa perdemos los microscópicos entrantes que hay entre los granos de arena. No importa lo mucho que se amplíe una línea costera, siempre habrá más entrantes visibles si la ampliamos más.
Un matemático, Helge von Koch, captó esta idea en una construcción matemática llamada curva de Koch. Para crear una curva de Koch, imagina un triángulo equilátero. En el tercio central de cada lado, añade otro triángulo equilátero. Sigue añadiendo nuevos triángulos en la parte central de cada lado, y el resultado es una curva de Koch. (Ver figura 4). Una ampliación de la curva de Koch tendría el mismo aspecto que el original. Es otra figura auto-similar.
Figura 4: La curva de Koch. (James Gleick, Caos – Creando una Nueva Ciencia, página 99)
La curva de Koch nos brinda una interesante paradoja. Cada vez que añadimos nuevos triángulos a la figura, la longitud de la línea se hace mayor. Sin embargo, el área interior a la curva de Koch permanece menor que el área de un círculo dibujado alrededor del triángulo original. Esencialmente, es una línea de longitud infinita que rodea un área finita.
Para evitar esta dificultad, los matemáticos inventaron las dimensiones fractales. Fractal viene de la palabra fraccional. La dimensión fractal de la curva de Koch está sobre el 1,26. Una dimensión fraccional es imposible de concebir, pero tiene sentido. La curva de Koch tiene más desigualdades que una curva lisa o una línea, que tienen una dimensión. Dado que tiene más desigualdades y es más arrugada, es mejor para contener espacio. Sin embargo, no es tan buena para llenarla de espacio como puede ser un cuadrado de dos dimensiones, debido a que en verdad no tiene área. Por tanto tiene sentido que la dimensión de una curva de Koch esté en algún lugar entre uno y dos.
Fractal ha llegado a significar cualquier imagen que muestre el atributo de la auto-similitud. El diagrama de bifurcación de la ecuación de poblaciones es fractal. El Atractor de Lorenz es fractal. La curva de Koch es fractal.
Durante este tiempo, los científicos encontraron muchas dificultades para obtener publicaciones de sus trabajos sobre el caos. Dado que no habían mostrado aún relevancia en situaciones del mundo real, la mayoría de los científicos no pensaban que los resultados de los experimentos en el caos fuesen importantes. Como resultado, incluso aunque el caos es un fenómeno matemático, la mayoría de las investigaciones en el caos se hicieron por personas de otras áreas como la meteorología y la ecología. El campo del caos creció rápidamente como un pasatiempo para los científicos que trabajaban en problemas que tal vez tenían algo que ver con él.
Más tarde, un científico llamado Feigenbaum estaba mirando de nuevo el diagrama de bifurcación. Miraba la velocidad a la que llegaban las bifurcaciones. Descubrió que aparecían a una tasa constante. La calculó como 4,669. En otras palabras, descubrió la escala exacta a la que eran auto-similares. Haz el diagrama 4,669 veces menor, y aparece igual a la siguiente región de bifurcaciones. Decidió mirar otras ecuaciones para ver si era posible determinar factores de escala también para ellas. Para su total sorpresa, el factor de escala era exactamente el mismo. No solo esta compleja ecuación mostraba regularidad, la regularidad era exactamente la misma con una ecuación mucho más simple. Hizo el intento con muchas otras funciones, y todas ellas produjeron el mismo factor de escala, 4,669.
Este fue un descubrimiento revolucionario. Había encontrado que una clase entera de funciones matemáticas se comportaban del mismo modo predecible. Esta generalización ayudaría a otros científicos a analizar fácilmente ecuaciones caóticas. La generalización dio a los científicos las primeras herramientas para analizar un sistema caótico. Ahora simplemente podían usar una ecuación simple para predecir el resultado de una ecuación más compleja.
Muchos científicos exploraban ecuaciones que creaban ecuaciones fractales. La imagen fractal más famosa es también una de las más simples. Es también conocida como el conjunto de Mandelbrot (imágenes del conjunto de Mandelbrot). La ecuación es simple: z = z2+c. Para ver si un punto es parte del conjunto de Mandelbrot, simplemente toma un número complejo z. Elévalo al cuadrado, y súmalo al número original. Eleve al cuadrado el resultado, y súmalo al número original. Repite esto hasta el infinito, y si los números que obtienes tienden a infinito, no es parte del conjunto de Mandelbrot. Si se mantienen por debajo de un cierto nivel, es parte del conjunto de Mandelbrot. El conjunto de Mandelbrot es la sección más interna del dibujo, y cada distinta sombra gris representa lo alejado que está ese punto en particular. Una característica interesante del conjunto de Mandelbrot es que los montículos circulares encajan con el gráfico de bifurcación. El fractal de Mandelbrot tiene la misma auto-similitud vista en las otras ecuaciones. De hecho, ampliando en profundidad lo suficiente un fractal de Mandelbrot finalmente aparecerá una réplica exacta del conjunto de Mandelbrot, perfecto en cada detalle.
Las estructuras fractales se han revelado en muchas áreas del mundo real, además de en la mente de los matemáticos. Las ramificaciones de los vasos sanguíneos, las ramas de un árbol, la estructura interna de los pulmones, los gráficos de datos del mercado de valores, y muchos otros sistemas del mundo real tienen todos algo en común: son todos auto-similares.
Científicos de la UC Santa Cruz encontraron caos en el goteo del agua de un grifo. Tomando datos de un grifo que gotea y tomando datos de los periodos de tiempo, descubrieron que a cierta velocidad de flujo, el goteo no tenía lugar en tiempos iguales. Cuando realizaron los gráficos de los datos, descubrieron que el goteo en efecto seguía un patrón.
El corazón humano también sigue un patrón caótico. El tiempo entre latidos no se mantiene constante; depende de la actividad que la persona está realizando, entre otras cosas. Bajo ciertas condiciones, el latido puede acelerarse. Bajo condiciones distintas, el corazón late de forma errática. Podría incluso llamarse latido caótico. El análisis del latido puede ayudar a los investigadores médicos a encontrar formas de colocar un latido anormal de nuevo en un estado seguro, en lugar del caos incontrolado.
Los investigadores descubrieron un conjunto simple de tres ecuaciones que dibujaba un helecho. Esto inició una nueva idea – tal vez el ADN no codificaba exactamente el crecimiento de las hojas, sino una fórmula que controlaba su distribución. El ADN, incluso aunque mantiene una sorprendente cantidad de datos, no puede mantener todos los datos necesarios para determinar dónde va cada célula del ser humano. Sin embargo, usando fórmulas fractales para controlar como crear nuevas fibras nerviosas y vasos sanguíneos, el ADN tiene información más que suficiente. Se ha especulado que el cerebro mismo podría estar organizado de alguna forma de acuerdo con las leyes del caos.
El caos tiene aplicaciones incluso fuera de la ciencia. El arte digital se ha transformado en algo más realista a través del uso del caos y los fractales. Ahora, con una simple fórmula, un ordenador puede crear un hermoso, y realista árbol. En lugar de seguir un patrón regular, la corteza del árbol puede crearse de acuerdo con una fórmula que casi, pero no del todo, se repite.
La música también puede crearse usando fractales. Usando el Atractor de Lorenz, Diana S. Dabby, una estudiante graduada en ingeniería eléctrica en el Instituto Tecnológico de Massachusetts, ha creado variaciones de temas musicales. ("Bach to Chaos: Chaotic Variations on a Classical Theme", Science News, 24 de Diciembre de 1994). Asociando las notas musicales de una pieza de música como el Preludio de Bach en C con las coordenadas x del atractor de Lorenz, y ejecutándolo en un programa de ordenador, creó variaciones del tema de la canción. La mayoría de los músicos que escucharon los nuevos sonidos creyeron que las variaciones eran muy musicales y creativas.
El Caos ha tenido ya un efecto duradero en la ciencia, y aún queda mucho por descubrir. Muchos científicos creen que la ciencia del Siglo XX será conocida solo por tres teorías: la relatividad, la mecánica cuántica y el caos. Los aspectos del caos se nos muestran en todos los lugares del mundo, desde las corrientes de los océanos al flujo de la sangre a través de los vasos sanguíneos, las ramas de los árboles y los efectos de turbulencias. El caos se ha convertido de forma ineludible en parte de la ciencia moderna. Como el caos cambió de una teoría poco conocida a una ciencia completa en sí misma, ha recibido una generalizada publicidad. La teoría del caos ha cambiado la dirección de la ciencia: a los ojos del público general, la física no es tan solo simplemente el estudio de partículas subatómicas en un acelerador de partículas de mil millones de dólares, sino el estudio de sistemas caóticos y cómo trabajan.
Más tarde, un científico llamado Feigenbaum estaba mirando de nuevo el diagrama de bifurcación. Miraba la velocidad a la que llegaban las bifurcaciones. Descubrió que aparecían a una tasa constante. La calculó como 4,669. En otras palabras, descubrió la escala exacta a la que eran auto-similares. Haz el diagrama 4,669 veces menor, y aparece igual a la siguiente región de bifurcaciones. Decidió mirar otras ecuaciones para ver si era posible determinar factores de escala también para ellas. Para su total sorpresa, el factor de escala era exactamente el mismo. No solo esta compleja ecuación mostraba regularidad, la regularidad era exactamente la misma con una ecuación mucho más simple. Hizo el intento con muchas otras funciones, y todas ellas produjeron el mismo factor de escala, 4,669.
Este fue un descubrimiento revolucionario. Había encontrado que una clase entera de funciones matemáticas se comportaban del mismo modo predecible. Esta generalización ayudaría a otros científicos a analizar fácilmente ecuaciones caóticas. La generalización dio a los científicos las primeras herramientas para analizar un sistema caótico. Ahora simplemente podían usar una ecuación simple para predecir el resultado de una ecuación más compleja.
Muchos científicos exploraban ecuaciones que creaban ecuaciones fractales. La imagen fractal más famosa es también una de las más simples. Es también conocida como el conjunto de Mandelbrot (imágenes del conjunto de Mandelbrot). La ecuación es simple: z = z2+c. Para ver si un punto es parte del conjunto de Mandelbrot, simplemente toma un número complejo z. Elévalo al cuadrado, y súmalo al número original. Eleve al cuadrado el resultado, y súmalo al número original. Repite esto hasta el infinito, y si los números que obtienes tienden a infinito, no es parte del conjunto de Mandelbrot. Si se mantienen por debajo de un cierto nivel, es parte del conjunto de Mandelbrot. El conjunto de Mandelbrot es la sección más interna del dibujo, y cada distinta sombra gris representa lo alejado que está ese punto en particular. Una característica interesante del conjunto de Mandelbrot es que los montículos circulares encajan con el gráfico de bifurcación. El fractal de Mandelbrot tiene la misma auto-similitud vista en las otras ecuaciones. De hecho, ampliando en profundidad lo suficiente un fractal de Mandelbrot finalmente aparecerá una réplica exacta del conjunto de Mandelbrot, perfecto en cada detalle.
Las estructuras fractales se han revelado en muchas áreas del mundo real, además de en la mente de los matemáticos. Las ramificaciones de los vasos sanguíneos, las ramas de un árbol, la estructura interna de los pulmones, los gráficos de datos del mercado de valores, y muchos otros sistemas del mundo real tienen todos algo en común: son todos auto-similares.
Científicos de la UC Santa Cruz encontraron caos en el goteo del agua de un grifo. Tomando datos de un grifo que gotea y tomando datos de los periodos de tiempo, descubrieron que a cierta velocidad de flujo, el goteo no tenía lugar en tiempos iguales. Cuando realizaron los gráficos de los datos, descubrieron que el goteo en efecto seguía un patrón.
El corazón humano también sigue un patrón caótico. El tiempo entre latidos no se mantiene constante; depende de la actividad que la persona está realizando, entre otras cosas. Bajo ciertas condiciones, el latido puede acelerarse. Bajo condiciones distintas, el corazón late de forma errática. Podría incluso llamarse latido caótico. El análisis del latido puede ayudar a los investigadores médicos a encontrar formas de colocar un latido anormal de nuevo en un estado seguro, en lugar del caos incontrolado.
Los investigadores descubrieron un conjunto simple de tres ecuaciones que dibujaba un helecho. Esto inició una nueva idea – tal vez el ADN no codificaba exactamente el crecimiento de las hojas, sino una fórmula que controlaba su distribución. El ADN, incluso aunque mantiene una sorprendente cantidad de datos, no puede mantener todos los datos necesarios para determinar dónde va cada célula del ser humano. Sin embargo, usando fórmulas fractales para controlar como crear nuevas fibras nerviosas y vasos sanguíneos, el ADN tiene información más que suficiente. Se ha especulado que el cerebro mismo podría estar organizado de alguna forma de acuerdo con las leyes del caos.
El caos tiene aplicaciones incluso fuera de la ciencia. El arte digital se ha transformado en algo más realista a través del uso del caos y los fractales. Ahora, con una simple fórmula, un ordenador puede crear un hermoso, y realista árbol. En lugar de seguir un patrón regular, la corteza del árbol puede crearse de acuerdo con una fórmula que casi, pero no del todo, se repite.
La música también puede crearse usando fractales. Usando el Atractor de Lorenz, Diana S. Dabby, una estudiante graduada en ingeniería eléctrica en el Instituto Tecnológico de Massachusetts, ha creado variaciones de temas musicales. ("Bach to Chaos: Chaotic Variations on a Classical Theme", Science News, 24 de Diciembre de 1994). Asociando las notas musicales de una pieza de música como el Preludio de Bach en C con las coordenadas x del atractor de Lorenz, y ejecutándolo en un programa de ordenador, creó variaciones del tema de la canción. La mayoría de los músicos que escucharon los nuevos sonidos creyeron que las variaciones eran muy musicales y creativas.
El Caos ha tenido ya un efecto duradero en la ciencia, y aún queda mucho por descubrir. Muchos científicos creen que la ciencia del Siglo XX será conocida solo por tres teorías: la relatividad, la mecánica cuántica y el caos. Los aspectos del caos se nos muestran en todos los lugares del mundo, desde las corrientes de los océanos al flujo de la sangre a través de los vasos sanguíneos, las ramas de los árboles y los efectos de turbulencias. El caos se ha convertido de forma ineludible en parte de la ciencia moderna. Como el caos cambió de una teoría poco conocida a una ciencia completa en sí misma, ha recibido una generalizada publicidad. La teoría del caos ha cambiado la dirección de la ciencia: a los ojos del público general, la física no es tan solo simplemente el estudio de partículas subatómicas en un acelerador de partículas de mil millones de dólares, sino el estudio de sistemas caóticos y cómo trabajan.
No hay comentarios:
Publicar un comentario