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Ecuación de Kepler

Kepler descubrió las leyes que rigen el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Los planetas giran en una órbita elíptica, uno de cuyos focos F lo ocupa el Sol, pero no lo hacen con un movimiento uniforme, sino que el radio vector Sol-planeta barre áreas iguales en tiempos iguales (ley de las áreas). La expresión matemática de esta ley es la ecuación de Kepler:

${\displaystyle M=E-e\,\mathrm {sen} \,E,}$

donde:

• M es la anomalía media o ángulo que recorrería un planeta ficticio que se moviese con movimiento uniforme por la circunferencia principal,
• ${\displaystyle e\ (0\leq e<1 annotation="">$ es la excentricidad de la elipse y
• E es la anomalía excéntrica.

Fue derivada por primera vez por Johannes Kepler en 1609 en el capítulo 60 de su Astronomia nova,^1 2 y en el libro V de su Epitome of Copernican Astronomy (1621) Kepler propuso una solución iterativa a la ecuación.^3 4 La ecuación ha jugado un papel importante en la historia de la física y las matemáticas, en particular en la mecánica celeste clásica.

Movimiento medio

Supóngase que el planeta da una vuelta al Sol en un tiempo denominado periodo T. El movimiento medio n es el ángulo girado en la unidad de tiempo suponiendo movimiento uniforme n=360/T en grados/día si el periodo se expresa en días. Usando la 3^a ley de Kepler:

${\displaystyle {\frac {G\ \mathrm {Masa} \ T^{2}}{a^{3}}}=4\pi ^{2}}$

resulta:

${\displaystyle n={\frac {2\pi }{T}}={\sqrt {\frac {G\ \mathrm {Masa} }{a^{3}}}}}$

en radianes/día siendo a el semieje mayor de la órbita. Se obtiene n en radianes/día o en º/día si a se expresa en UA mediante:

${\displaystyle n={\frac {k}{a^{\frac {3}{2}}}}}$

donde ${\displaystyle k}$ es la constante de Gauss, o el movimiento medio diario de la Tierra cuyo valor es 0,01720209895 radianes/día ó 0,9856076686 grados/día.

Si t₀ es el instante de paso por el perihelio P, la anomalía media en un instante t es:

${\displaystyle M=n\times (t-t_{0})}$

Demostración de la ecuación de Kepler

El semieje mayor de la órbita es ${\displaystyle a}$, y el semieje menor es ${\displaystyle b}$. La excentricidad de la órbita es ${\displaystyle e}$, y la estrella ocupa uno de los focos ${\displaystyle F}$, a una distancia ${\displaystyle c=ae}$ del centro ${\displaystyle C}$ de la elipse. El planeta está en el perihelio en ${\displaystyle P}$ en momento ${\displaystyle t=0}$ o más en general en el momento ${\displaystyle t_{0}}$. Pretendemos encontrar el tiempo ${\displaystyle T=t-t_{0}}$ que tarda el planeta en alcanzar ${\displaystyle S}$.

La circunferencia principal tiene una relación de afinidad entre sus ordenadas y las ordenadas de la elipse pues son más grandes por un factor ${\displaystyle a/b}$ . A cualquier punto ${\displaystyle S}$de la elipse corresponde un punto ${\displaystyle R}$ de la circunferencia principal. El ángulo ${\displaystyle PCR}$ es la anomalía excéntrica (el ángulo ${\displaystyle E}$), mientras que el ángulo ${\displaystyle PFS}$ es la anomalía verdadera.

Se sabe que por la segunda ley de Kepler las áreas barridas por el radio vector del planeta en tiempos iguales son iguales. El área ${\displaystyle PFR}$ es la homóloga del área ${\displaystyle PFS}$barrida por el planeta:

${\displaystyle PFR={\frac {a}{b}}PFS}$

Diagrama que permite demostrar la ecuación de Kepler y por tanto calcular la posición de un planeta en su órbita en un instante t cualquiera.La elipse es la órbita del planeta, con la estrella ocupando el foco F. El objetivo es calcular el tiempo que necesita el planeta para moverse desde el perihelio (para el Sol en general periapsis) P a un punto dado S . La circunferencia principal es la circunferencia auxiliar de radio a que usaremos para demostrar la ecuación de Kepler.

Sabemos que, en el tiempo del periodo orbital ${\displaystyle \tau }$, el planeta barre el área entera de la elipse ${\displaystyle \pi ab}$. Por ello en un tiempo ${\displaystyle T/\tau }$el área barrida será:

${\displaystyle PFS={\frac {T}{\tau }}\pi ab}$

y sustituyendo esta expresión en la anterior:

${\displaystyle PFR={\frac {T}{\tau }}\pi a^{2}}$

Pero el área ${\displaystyle PFR}$ es la resta de las áreas ${\displaystyle PCR}$ y ${\displaystyle FCR}$:

${\displaystyle PFR=PCR-FCR\;}$

El área ${\displaystyle PCR}$ es el sector circular cuyo ángulo central es E . Como el círculo tiene un área total ${\displaystyle \pi a^{2}}$ y la fracción es ${\displaystyle E/2\pi }$, tenemos:

${\displaystyle PCR={\frac {a^{2}}{2}}E}$

Mientras que el área ${\displaystyle FCR}$ es un triángulo cuya base es la semi-distancia focal ${\displaystyle FC}$ de longitud ${\displaystyle c=ae}$, y cuya altura es ${\displaystyle a\,\mathrm {sen} \,E}$:

${\displaystyle FCR={\frac {a^{2}}{2}}e\,\mathrm {sen} \,E}$

Por lo que:

${\displaystyle PFR={\frac {T}{\tau }}\pi a^{2}={\frac {a^{2}}{2}}E-{\frac {a^{2}}{2}}e\,\mathrm {sen} \,E}$

Dividiendo por ${\displaystyle a^{2}/2}$:

${\displaystyle {\frac {2\pi }{\tau }}T=E-e\,\mathrm {sen} \,E}$

Pero ${\displaystyle n=2\pi /\ {\tau }}$ es el movimiento medio y si multiplicamos por T obtenemos la anomalía media ${\displaystyle M=n\,T=n\,(t-t_{0})}$ lo que nos da la ecuación de Kepler:

${\displaystyle M=E-e\,\mathrm {sen} \,E\;}$

Nota: Para entender la importancia de esta fórmula, considere que es una fórmula análoga que da el ángulo ${\displaystyle \theta }$ girado en un movimiento circular y uniforme (velocidad angular constante) ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle n\,T=\theta \;}$

Métodos de resolución de la ecuación de Kepler

Para un tiempo t dado, M es conocido, con la que queda una ecuación trascendente en E cuya resolución vamos a abordar.

Método gráfico

• Ejemplo:

Método gráfico aproximado de resolver la ecuación de Kepler.

Supongamos el planeta Marte cuyo año sidéreo=686,98 días y queremos calcular la anomalía excéntrica 80 días después de que el planeta pase por el perihelio

El movimiento medio n=0,524033º/día y la anomalía media:${\displaystyle M=n\times (t-t_{0})}$=41º,9226

Para resolver la ecuación de Kepler, en el gráfico se dibuja una sinusoide. Sobre el eje x se mide M=OP y se dibuja una recta con inclinación sobre el eje x tal que:

cotg ( ${\displaystyle \alpha }$) = e .

Entonces ${\displaystyle PQ=e\times \sin E}$ con lo que ${\displaystyle OQ=OP+PQ=M+e\times \sin E}$

Aplicada para Marte T=686,98 días, e=0,09341 y 80 días tras el paso por el perihelio. La anomalía media vale M=41,9226 y la a. excéntrica sale E=49,8 cuando debería salir 45,75.

Método de las aproximaciones sucesivas

Se escribe la ecuación de Kepler en la forma:

${\displaystyle E=M+e\times \sin E}$

Como normalmente la excentricidad e es pequeña puede despreciarse y la aproximación inicial E₀=M. Ahora se aplica la ecuación de Kepler para obtener un nuevo valor:

${\displaystyle E_{1}=M+e\times \sin E_{0}}$ y en general

${\displaystyle E_{i}=M+e\times \sin E_{i-1}}$

se itera el cálculo las veces necesarias hasta que la diferencia entre E_i-1 y E_i es menor que una cantidad prefijada o error.

Un script de Java[1] que hace esto es:

with (Math) {

n=2*PI/P;

M=n*T;

E0=M;

E1=M+ex*sin(E0);

while (abs(E1-E0)>0.0001) {

E0=E1;

E1=M+ex*sin(E0);

}

Se ha usado la estructura de while (condición) y así mientras se cumpla la condición seguirá iterando.

Nota importante:

La ecuación se puede resolver en radianes o en grados en este último caso hay que hacer homogéneos ambos sumandos convirtiendo radianes a grados:

${\displaystyle E_{i}=M+{\frac {180}{\pi }}\times e\times \sin E_{i-1}}$

En el applet se resuelve en radianes.

• Ejemplo:

Supongamos que queremos calcular la anomalía excéntrica del planeta Marte, 80 días después de que el planeta pase por el perihelio y con un error menor que 0,00001. La siguiente tabla resume los resultados de las diferentes iteraciones:

Iteración	Ei	Diferencia
0	41,92260
1	45,49841	3,57581
2	45,73981	0,24140
3	45,75558	0,01577
4	45,75661	0,00103
5	45,75668	0,00007
6	45,75668	0,000004

Con sólo 6 iteraciones se puede ver que E=45,75668 con todas sus cifras exactas.

Nota: Cuando la excentricidad se acerca a 1 se necesitan muchas más iteraciones para conseguir el mismo error.

Método de Newton

El método de Newton consiste en calcular una raíz de una ecuación f(x)=0 mediante la expresión:

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}.}$

Para ello basta con escribir la ecuación de Kepler como

${\displaystyle E-e\times \sin E-M=0}$

y aplicar este método.

Movimiento elíptico

• Ver artículo principal Movimiento elíptico

Cuando ya se han calculado la anomalía media M, y mediante la resolución de la ecuación de Kepler la anomalía excéntrica E y luego la anomalía verdadera V, todavía quedan muchas relaciones que tratar. A modo de ejemplo:

• Posición cartesiana (x, y) del planeta respecto a la estrella:
  • En función anomalía excéntrica:

${\displaystyle x=a\times (\cos E-e)}$

${\displaystyle y=a\times {\sqrt {1-e^{2}}}\times \sin E}$

• • En función anomalía verdadera:

${\displaystyle x=r\times \cos V}$

${\displaystyle y=r\times \sin V}$

• Radio vector
  • En función anomalía excéntrica

${\displaystyle r=a\times (1-e\times \cos E)}$

• • En función anomalía verdadera:

${\displaystyle r={\frac {a\times (1-e^{2})}{1+e\times \cos V}}}$

• Desarrollos en serie de potencias de e de E, V y r:

${\displaystyle E=M+e\times \sin M+{\frac {e^{2}}{2}}\times \sin(2\times M)+...}$

${\displaystyle V=M+2\times e\times \sin M+{\frac {5e^{2}}{4}}\times \sin(2\times M)+...}$

${\displaystyle r=a\times (1-e\times \cos M+{\frac {e^{2}}{2}}\times (1-\cos(2\times M)))+...}$

donde se han desarrollado hasta 2º orden.

Nota final

Mientras que la ley de las áreas es general no sólo para cuerpos atraídos por la Ley de Newton o ley de la inversa del cuadrado de la distancia, sino para todas las fuerzas centrales, cuya dirección está en la línea que une las partículas. La ecuación de Kepler es válida solamente para cuerpos que se mueven en una órbita cerrada o elíptica con 0<=e<1 b=""> .

Para órbitas abiertas con e>1 (hipérbola) la misma ley de las áreas lleva a una formulación ligeramente diferente.

El estudio del movimiento elíptico de un astro se simplifica notablemente introduciendo los ángulos o anomalías que definimos a continuación:

Anomalía verdadera : Es el ángulo  formado por el radio vector del astro Q y la dirección del periastro P (la teníamos ya definida).

Anomalía excéntrica: Es el ángulo  formado por la dirección del periastro y el radio CQ', siendo C el centro de la elipse y Q' la intersección con el circulo principal de la elipse, de la normal por el astro Q al eje mayor de la elipse.

Anomalía media: Es el ángulo M descrito con vértice en el foco O, en sentido antihorario y a partir de la dirección del periastro, por un astro ficticio que gira con velocidad angular igual al movimiento medio n=2p/P (P=periodo del movimiento). Si empezamos a contar el tiempo en el instante de paso del astro por el periastro, la anomalía media valdrá nt. En general será:

FIG 6.3

                                                                                                       (35.3)

                                                             

donde T es la época de paso por el periastro.

Es cómodo expresar las coordenadas polares de un astro en función de la anomalía excéntrica; para ello, tomemos un sistema de ejes cartesianos x ,h con origen en el foco O, y sean (x, h) las coordenadas del secundario Q en dicho sistema. Se verifica:

(Obteniendo esta segunda ecuación teniendo en cuenta la razón de afinidad de la elipse y la circunferencia).

                                                                                       

En resumen, pues:

                                                                            (36.3)

                                   

y tomando como unidad a, en el mismo sistema de ejes

                                                                       (37.3)

que son las llamadas coordenadas reducidas del secundario.

De las relaciones (36.3) elevando al cuadrado y sumando ordenadamente, tenemos:

y siendo a>0, e

, extrayendo la raíz cuadrada:

                                                                                                (38.3)

fórmula que suministra el radio vector en función de la anomalía excéntrica. Si queremos relacionar las anomalías verdadera y excéntrica consideremos la primera de las fórmulas (36.3) y la (38.3):

restando miembro a miembro:

o sea:

                                              (39.3)

y sumando miembro a miembro:

o sea:

                                              (40.3)

Dividiendo ordenadamente (39.3) y (40.3) y extrayendo la raíz cuadrada:

                                                                                          (41.3)

fórmula que suministra la anomalía verdadera en función de la anomalía excéntrica.

3.6.1 Ecuación de Kepler

Relacionemos, finalmente, las anomalías media y excéntrica. Partiendo de la ley de las áreas en su forma polar

                                                                                                           (42.3)

y recordando que  , se tiene:

e integrando entre O y V, valores que corresponden respectivamente a la época T de paso por el periastro ya una época t cualquiera, tenemos:

o sea:

                                                                                        (43.3)

Para efectuar la integración indicada, calculemos dV diferenciando en (41.3):

de donde:

y teniendo en cuenta (40.3), sustituyendo y simplificando:

Sustituyendo en la integral (43.3), recordando que r=a(1-ecosE), resulta:

o sea:

                                                                                                  (44.3)

relación buscada que recibe el nombre de ecuación de Kepler.

3.6.2 Métodos de resolución de la ecuación de Kepler

Observemos en primer lugar que si en (44.3) damos a M un valor comprendido entre kp y (k+1)p, con k entero, dicha ecuación admite una única raíz entre tales límites. En efecto, si ponemos 

se tiene:

y

Además,

        siempre;

luego, la función F(E) es creciente en el intervalo (kp, (k + 1)p) y toma en sus extremos valores de signos contrarios. Luego tiene una única raíz en dicho intervalo.

Entre el gran número de métodos para resolver la ecuación de Kepler citaremos:

a)Método gráfico (o de Dubois). Dibujada una sinusoide, expresando el argumento en radianes, por P tal que OP=M se traza una recta que forme con el eje de abscisas un ángulo a, tal que

FIG 7.3

La abscisa OQ del punto A de intersección de dicha recta con la sinusoide es OQ=E. En efecto, 

                     

Si la escala es grande, en la mayoría de los casos, este método permite obtener E con una aproximación de 1°, sirviendo este valor aproximado como argumento inicial para aplicar otros métodos.

b) Método numérico (o de Newton). Sirve para corregir el valor de la anomalía excéntrica dada por el procedimiento anterior.

Supongamos que por el método gráfico hemos encontrado una anomalía E_O. Sustituyendo en la ecuación de Kepler tenemos:

                                                                                              (45.3)

Si M es el valor exacto de la anomalía media y E el valor exacto de la anomalía excéntrica, tenemos:

DM_o = M -M_o

o lo que es lo mismo:

M = M_o +  DM_o

y

                                                                                                      (46.3)

Sustituyendo estos valores en la ecuación de Kepler:

y siendo DE_o muy pequeño y teniendo en cuenta (45.3)

O sea:

donde e está expresado en radianes. Conocido DE_o con (46.3) tendremos el valor de E. Llamémosle E₁. Podemos hallar el correspondiente valor de M₁. Si en el orden de aproximación requerida M₁=Mdaremos por terminado el proceso; si no, seguiremos.

Existen tablas que suministran directamente E en función de e y de M. Este valor de E es aproximado y se corrige con el proceso que acabamos de exponer.

c) Método de Kepler. De la ecuación de Kepler, tenemos: 

                                                 

con e y M dados. Tomando en el segundo miembro como E aproximada el valor de M, resulta:

Tomando ahora, como E aproximada el valor E₁ obtenido:

Repitiendo el proceso iterativamente, podemos obtener la anomalía excéntrica con la precisión deseada.

En general:

d) Método del desarrollo en serie. Consiste en expresar E por desarrollo en serie de Mac-Laurin de potencias de e, considerando M como parámetro. Lo estudiaremos en el apartado siguiente formando parte de un contexto más general.