Epónimos relacionados con la física

ecuaciones epónimas de la física

ecuación de Kapustinskii calcula la energía de red cristalina U_L para un cristal iónico, que es experimentalmente difícil de determinar. Su nombre se debe a Anatoli Kapustinskii, quien publicó la fórmula en 1956.

${\displaystyle U_{L}=-{K}\cdot {\frac {\nu \cdot |z^{+}|\cdot |z^{-}|}{r^{+}+r^{-}}}\cdot {\biggl (}1-{\frac {d}{r^{+}+r^{-}}}{\biggr )}}$

donde:

• K = 1.2025×10⁻⁴ J·m·mol⁻¹
• d = 3.45×10⁻¹¹ m
• ν es el número de iones en la fórmula empírica,
• z⁺ y z⁻ son los números de carga elemental en el catión y el anión, respectivamente, y
• r⁺ y r⁻ son el radio del catión y el anión, respectivamente.

La energía de red cristalina calculada da una buena estimación; el valor real difiere en la mayoría de casos por menos del 5%.

Más aún, uno es capaz de determinar los radios atómicos usando la ecuación de Kapustinskii, cuando se conoce la energía de red cristalina. Esto es muy útil para iones complejos como sulfato (SO₄²⁻) o fosfato (PO₄^3-).

ECUACIÓN DE KAPUSTINSKII

El químico ruso A. F. Kapustinskii observó que si la constante de Madelung para distintas estructuras se dividía por el número de iones por fórmula se obtenía aproximadamente el mismo valor numérico. También observó que el valor, así obtenido, aumentaba al hacerlo el número de coordinación en el cristal. Estas observaciones condujeron a Kapunstinskii a proponer una expresión para el cálculo de la entalpía reticular sin necesidad de conocer la estructura del cristal iónico, esto es, sin conocer A. Esta expresión es:

ΔHU = (120,2 x 103 nZ+Z-/r0)(1-(34,5/r0)) kJ mol-1

donde n es el número de iones por molécula (NaCl, n = 2) y r0 es igual a la suma del radio del catión y del radio del anión expresado en pm (10-12 m). Aplicando esta ecuación para calcular ΔHU del NaCl (n = 2, r0 = 281 pm) se obtiene un valor de -750 kJ/mol, comparable al que proporciona la ecuación de Born-Lande.

ecuación KPZ (por las inicales de sus creadores, Mehran Kardar, Giorgio Parisi y Vi-Cheng Zhang) es una ecuación diferencial estocástica en derivadas parciales y no lineal. Describe la variación temporal del grosor ${\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)}$ de una lámina. Es un buen modelo de crecimiento de superficies. Viene dada por la expresión:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi ({\vec {x}},t)}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}\phi +{\frac {\lambda }{2}}\left[\nabla \phi \right]^{2}+\eta ({\vec {x}},t)\;}$

donde ${\displaystyle \eta ({\vec {x}},t)}$ es un ruido gaussiano blanco con primer segundo momentos:

${\displaystyle \langle \eta ({\vec {x}},t)\rangle =0\qquad {\mathtt {y}}\qquad \langle \eta ({\vec {x}},t)\eta ({\vec {x}}',t')\rangle =2D\delta ^{d}({\vec {x}}-{\vec {x}}')\delta (t-t')}$

donde ${\displaystyle \nu }$, ${\displaystyle \lambda }$ y ${\displaystyle D}$ son parámetros del modelo; ${\displaystyle d}$ es la dimensión de la lámina y es un concepto bastante importante en la resolución de la ecuación y afecta al tipo de solución. En concreto:

1. si ${\displaystyle d<2 annotation="">$ la ecuación tiene una sola fase "áspera" en la que las fluctuaciones de ${\displaystyle \phi }$ divergen algebráicamente con el tamaño del sistema, desestabilizando cualquier comportamiento estudiado;
2. si ${\displaystyle d>2}$ la ecuación presenta una "fase fluida" —un acoplamiento débil— para ${\displaystyle \lambda }$ lo suficientemente pequeña. En esta fase, las fluctuaciones son pequeñas y el comportamiento es coherente globalmente. El estudio de las correlaciones espaciales y temporales arroja que:

${\displaystyle \langle \phi (x_{1},t)\phi (x_{2},t)\rangle \sim {\frac {1}{r^{d-2}}}\qquad {\mathtt {y}}\qquad \langle \phi (x,t_{1})\phi (x,t_{2})\rangle \sim {\frac {1}{t^{\frac {d-2}{2}}}}}$

ecuación de Klein-Gordon o ecuación K-G debe su nombre a Oskar Klein y Walter Gordon, y es la ecuación que describe un campo escalar libre en teoría cuántica de campos.

Historia

La ecuación fue llamada así en honor a los físicos Oskar Klein y Walter Gordon, quienes en 1926 propusieron que ella describe a los electrones relativistas. Otros autores haciendo similares afirmaciones en ese mismo año fueron Vladimir Fock, Johann Kudar, Théophile de Donder y Frans-H. van den Dungen, y Louis de Broglie. A pesar de que la ecuación de Dirac describe al electrón en rotación (spinning), la ecuación de Klein-Gordon describe correctamente a los piones sin espín. Los piones son partículas compuestas; una de ellas es el bosón de Higgs, un bosón de espín cero, de acuerdo con el Modelo Estándar.

La ecuación de Klein-Gordon fue propuesta originalmente por Erwin Schrödinger como ecuación para la función de onda de una partícula cuántica. Sin embargo, puesto que la ecuación de Klein-Gordon no admitía una interpretación probabilista adecuada entre otros problemas, Schrödinger consideró más adecuado pasar a una versión no relativista de la ecuación que es la que actualmente se conoce como ecuación de Schrödinger.

Más tarde la función de onda que aparece en la ecuación de Klein-Gordon sería apropiadamente interpretada como la densidad de un campo bosónico cargado de espín cero. Así el hecho de que la "densidad de probabilidad" fuera negativa era interpretada como una densidad de carga negativa y los problemas de interpretación como probabilidades de presencia desaparecían, aunque persistían otros de los problemas mencionados más adelante. Sin embargo, dentro de la teoría cuántica de campos la ecuación de Klein-Gordon sí resultó útil.

Forma de la ecuación

La ecuación de Klein-Gordon para partículas en un espacio-tiempo plano tiene la siguiente forma:

(1)${\displaystyle \left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right]\phi =0}$

Usando el operador D'Alambertiano ${\displaystyle \Box ^{2}}$ y el parámetro de masa ${\displaystyle \mu \,}$ definidos como:

${\displaystyle \Box ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}=\sum _{\nu }\partial _{\nu }\partial ^{\nu },\qquad \mu ={\frac {mc}{\hbar }}}$

La ecuación se escribe de manera más compacta y manifiestamente covariante:

(2)${\displaystyle \left[\Box ^{2}+\mu ^{2}\right]\phi =0}$

Nótese que si se escoge la métrica con signatura opuesta, aparece un signo menos delante de ${\displaystyle \ \mu }$ en esta última ecuación.

En un espacio-tiempo general la ecuación de Klein-Gordon puede escribirse como:

(3)${\displaystyle \left[{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}\left({\sqrt {-g}}\ g^{\alpha \beta }{\frac {\partial \phi }{\partial x^{\beta }}}\right)\right]+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi =0}$

Donde:

${\displaystyle g^{\alpha \beta }\,}$, son las componentes contravariantes del tensor métrico.

${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$, es la raíz cuadrada del determinante cambiado de signo.

La ecuación K-G en mecánica cuántica

Inicialmente la ecuación KG se introdujo en mecánica cuántica con la pretensión de modelizar la ecuación de movimiento para una partícula cuántica y relativista. De este modo, se deduce la ecuación escribiendo la energía que tiene una partícula relativista y utilizando la forma de los operadores Hamiltoniano y momento en mecánica cuántica:

${\displaystyle E^{2}=\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=\left[i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right]^{2}\quad \quad ,\quad \mathbf {p} =-i\hbar \nabla }$

Existen varios problemas si se trata de interpretar la variable dinámica ${\displaystyle \phi \,}$ como una función de onda, ya que aparecen varias incongruencias como:

• El que la energía no esté acotada inferiormente, lo que daría lugar a partículas inestables. Este problema de interpretación que también lo presentaba la ecuación de Dirac, hasta que se presentó la interpretación de las energías negativas como antipartículas.
• La densidad de probabilidad asociada a esta función de onda no es definida positiva, por lo que el cuadrado del módulo del campo de Klein-Gordon, a diferencia de lo que sucede con una función de onda ordinaria no puede ser interpretado como una probabilidad. La "densidad" conservada en la evolución temporal es:

${\displaystyle \rho ={\frac {i\hbar e}{2mc^{2}}}\left(\phi ^{*}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}-\phi {\frac {\partial \phi ^{*}}{\partial t}}\right)}$

Que puede ser negativa, por lo que no admitía una interpretación en términos de probabilidades positivas. Esa última fue la razón del abandono de la ecuación de Klein-Gordon como ecuación viable dentro de la mecánica cuántica para describir partículas cuánticas relativistas.

• Aunque la ecuación de Klein-Gordon predice correctamente el desdoblamiento observado de los niveles energéticos de los átomos hidrogenoides 2s y 2p, lográndose un mejor acuerdo cualitativo, el acuerdo cuantitativo no es bueno. El cálculo mediante la ecuación de Klein-Gordon predice que los niveles energéticos ${\displaystyle E_{nl}\,}$ del átomo hidrogenoide son:

${\displaystyle E_{nl}=-{\frac {R\hbar Z^{2}}{n^{2}}}\left[1+{\frac {\alpha ^{2}Z^{2}}{n^{2}}}\left({\frac {n}{l+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4}}\right)+\dots \right]}$

El primer término de la expresión anterior coincide con el predicho por la ecuación de Schrödinger, pero el segundo es unas tres veces más grandes que el valor observado, y correctamente predicho por la ecuación de Dirac.

• Finalmente, la ecuación de Klein-Gordon tampoco tiene en cuenta adecuadamente el spin de ciertas partículas, por lo que no podía representar adecuadamente partículas como los electrones que tienen espín 1/2.

La ecuación K-G en teoría cuántica de campos

En teoría cuántica de campos el objeto fundamental no es la función de onda sino el propio estado físico del vacío o espacio-tiempo. Los campos físicos y las partículas materiales se conciben en este enfoque como operadores autoadjuntos definidos sobre el conjunto de estados del espacio-tiempo. La presencia de campo en una determinada región del espacio-tiempo comporta que en él existe un operador autoadjunto asociado campo de esa región. En ese nuevo enfoque la variable el operador cuántico asociado a la variable ${\displaystyle \phi \,}$ es un campo, que no necesita dar lugar a una densidad de probabilidad positiva. De hecho en el formalismo de la mecánica cuántica de campos el campo de Klein-Gordon describe un tipo de campo que tratado mediante la cuantización canónica describe un campo escalar con carga eléctrica de spin 0 (bosón), por ejemplo, los mesones π pueden ser descritos mediante la ecuación K-G. Para describir campos de spin 1/2 se utiliza la ecuación de Dirac.

La descripción de un campo en teoría cuántica de campos parte de una cierta densidad lagrangiana que a partir del principio de mínima acción proporciona la ecuación de movimiento que define su evolución temporal. La densidad de Lagrangiano de la que se deriva la ecuación de Klein-Gordon variando la acción o mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange es

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{2}}$

Donde el campo es real. En este caso la partícula que surge como excitación de este campo no tiene carga y su antipartícula es ella misma. Para describir una partícula escalar con carga, y a su antipartícula, la densidad lagrangiana se toma como:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi ^{*}-{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{*}\phi }$

Se obtiene entonces una ecuación de Klein-Gordon para ${\displaystyle \ \phi }$ y otra para su complejo conjugado ${\displaystyle \phi ^{*}\,}$.

Solución general

Para un campo de Klein-Gordon libre sin autointeracción, se puede hacer un desarrollo en ondas planas y la solución general para un campo real de Klein-Gordon es entonces

${\displaystyle {\hat {\phi }}\left(\mathbf {x} ,t\right)=\int {\frac {d^{3}\mathbf {p} }{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{\mathbf {p} }}}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{-{\frac {i}{\hbar }}E_{\mathbf {p} }t}e^{{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \mathbf {x} }+{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }e^{{\frac {i}{\hbar }}E_{\mathbf {p} }t}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \mathbf {x} }\right)}$

Estando relacionada la energía con la masa y el trimomento mediante la relación de dispersión

${\displaystyle E_{\mathbf {p} }^{2}=\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}$

Donde  y  son los coeficientes del desarrollo, y una vez efectuada la segunda cuantización se convierten en operadores de creación y destrucción de las partículas bosónicas del campo, que de hecho son formalmente similares a los operadores creación y destrucción que intervienen en el oscilador armónico cuántico. Es entonces cuando se pone de manifiesto el carácter bosónico de la ecuación de Klein-Gordon, y se puede hacer la interpretación del campo  como un conjunto de infinitos osciladores armónicos cuánticos desacoplados.

 ecuación de Klein-Gordon.  La derivación de la misma la haremos de la forma más simple posible dejando para más adelante una derivación basada en un principio de acción.

Ecuación de Schrödinger y operadores cuánticos

Ya hemos hablado de la ecuación de Schrödinger en varias entradas, para una derivación de la misma ver la entrada: Mecánica Cuántica, una introducción absurda II: Postulados.

La ecuación de Schrödinger es:

Esta ecuación se puede derivar del siguiente modo:

1.-  Partimos de la relación clásica de la energía:

2.-  Utilizamos la correspondencia entre cantidades clásica y operadores cuánticos:

Recordemos que  

La ecuación de Schrödinger es de primer orden en el tiempo y de segundo orden en las derivadas espaciales.  Esto supone un problema para afrontar un estudio relativista donde las coordenadas espaciales y temporales están en pie de igualdad.

Ecuación de Klein-Gordon

Tenemos que buscar una ecuación que trate igual las coordenadas temporales y espaciales, es decir, que aparezcan derivadas del mismo orden para tiempo y espacio. Esto nos asegura que la ecuación pueda ser consistente con los requerimientos de la relatividad especial.  Para ello partimos de la relación relativista entre la masa, la energía y el momento:

Empleando las relaciones anteriores:

Esta ecuación ha de aplicarse sobre un campo que dependerá de las coordenadas espaciales y el tiempo:

Tomando 

Recordemos que:   

Así que en este caso tenemos la agrupación:

A esta agrupación la denotaremos:  

Esta agrupación es evidentemente invariante Lorentz, así que estamos seguros de que todos los observadores inerciales coinciden en la forma de la misma:

Esta ecuación es la ecuación de Klein-Gordon.

En las proximas entradas la analizaremos entrando en sus características y cómo nos aboca a una interpretación de $\phi(\vec{x},t)$ como un campo y no como la interpretación de una función de onda de una partícula.