Epónimos relacionados con la física

ecuaciones epónimas de la física

ecuación de Helmholtz, nombrada así por Hermann von Helmholtz, viene dada por:

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\phi =0}$

donde ${\displaystyle \scriptstyle \nabla ^{2}}$ es el laplaciano, ${\displaystyle \scriptstyle k}$ es un número real positivo y ${\displaystyle \scriptstyle \phi }$ un campo escalar.

La ecuación aparece en varios contextos de la física donde ${\displaystyle \scriptstyle k}$ se interpreta como el número de onda. La ecuación aparece en el electromagnetismo, en la teoría del potencial de Yukawa y como caso particular de la ecuación de Klein-Gordon para un campo estacionario.

Vamos a mostrar como se deduce la ecuación de Helmholtz a partir de las ecuaciones de Maxwell. Para medios no conductores libres de fuentes caracterizados por ${\displaystyle \scriptstyle \epsilon }$ y ${\displaystyle \scriptstyle \mu (\sigma =0)}$, las ecuaciones de Maxwell se reducen a:

(1)${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-\mu {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}}$

(2)${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}=\epsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}$

(3)${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=0}$

(4)${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {H}}=0}$

Las ecuaciones anteriores (1), (2), (3) y (4) son ecuaciones diferenciales de primer grado para los campos ${\displaystyle {\vec {E}}}$ y ${\displaystyle {\vec {H}}}$. Podemos combinarlas para producir una ecuación de segundo grado conteniendo únicamente ${\displaystyle {\vec {E}}}$ o ${\displaystyle {\vec {H}}}$. Usamos las ecuaciones (1) y (2) y operando se obtiene:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-\mu {\frac {\partial ({\vec {\nabla }}\times {\vec {H}})}{\partial t}}=-\mu \cdot \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}}$

Sin embargo sabemos que:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}={\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}})-{\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}}$

y usando la ecuación (3) tenemos que:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}}$

Por lo tanto sustituyendo los términos tenemos finalmente que:

${\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}=\mu \cdot \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}}$

La velocidad de fase viene dada por:

${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}}$

lo que significa que: ${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {1}{\sqrt {\mu \epsilon }}}}$

y por lo tanto, sustituyendo, tenemos:

${\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}-{\frac {1}{v_{\mathrm {p} }^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=0}$

Análogamente podemos sacar la ecuación para ${\displaystyle {\vec {H}}}$:

${\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {H}}-{\frac {1}{v_{\mathrm {p} }^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}=0}$

Como podemos apreciar, las dos ecuaciones anteriores son las ecuaciones de onda vectoriales homogéneas. Descomponiendo estas dos ecuaciones obtenidas en coordenadas cartesianas podemos descomponerlo en tres ecuaciones de ondas escalares, homogéneas y unidimensionales. Cada componente del campo eléctrico y magnéticos debe satisfacer una ecuación cuya solución representa una onda. Si se supone que el campo tiene dependencia armónica con el tiempo de la forma ${\displaystyle {\vec {\psi }}={\mbox{Re}}({\vec {\psi _{0}}}e^{-i\omega t})}$, donde ${\displaystyle \psi }$puede ser tanto ${\displaystyle {\vec {E}}}$ como ${\displaystyle {\vec {H}}}$, se llega a la conclusión:

${\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E_{\mathrm {s} }}}+{\frac {\omega ^{2}}{v_{\mathrm {p} }^{2}}}{\vec {E_{\mathrm {s} }}}=0}$

o

${\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E_{\mathrm {s} }}}+k^{2}{\vec {E_{\mathrm {s} }}}=0}$

Análogamente encontramos la siguiente ecuación para el campo electromagnético:

${\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {H_{\mathrm {s} }}}+k^{2}{\vec {H_{\mathrm {s} }}}=0}$

ecuación de Henderson-Hasselbalch es una expresión utilizada en química para calcular el pH de una disolución reguladora, o tampón, a partir del pK_a o el pK_b(obtenidos de la constante de disociación del ácido o de la constante de disociación de la base) y de las concentraciones de equilibrio del ácido o base y de sus correspondientes base o ácido conjugado, respectivamente.

${\displaystyle {\mbox{pH}}={\mbox{p}}K_{a}+\log \left({\frac {[base]}{[acido]}}\right)}$ ${\displaystyle {\mbox{pOH}}={\mbox{p}}K_{b}+\log \left({\frac {[sal]}{[base]}}\right)}$ ${\displaystyle {\mbox{pH}}={\mbox{p}}K_{x}+\log \left({\frac {[S]}{[A]}}\right)}$

donde:

• S es la sal o especie básica, y
• A es el ácido o especie ácida

Observaciones

La ecuación implica el uso de las concentraciones de equilibrio del ácido y su base conjugada. Para el cálculo del pH en soluciones buffer, generalmente se hace una simplificación y se utilizan las concentraciones iniciales del ácido y la sal, por lo tanto se debe tener en cuenta que el valor obtenido es una aproximación y que el error será mayor cuanto mayor sea la diferencia de las concentraciones de equilibrio con las de partida (constante de equilibrio alta). En la misma aproximación, tampoco se considera el aporte del agua, lo cual no es válido para soluciones muy diluidas.

Desarrollo

Supóngase un ácido AH con disociación parcial. El equilibrio es:

${\displaystyle A{\mbox{H}}+\mathrm {H_{2}O} \leftrightharpoons A^{-}+\mathrm {H_{3}O^{+}} }$

y la constante de disociación asociada será:

${\displaystyle K_{a}={\frac {[A^{-}][\mathrm {H_{3}O^{+}} ]}{[A\mathrm {H} ]}}}$

Despejando ${\displaystyle [\mathrm {H_{3}O^{+}} ]}$ de la constante de disociación:

${\displaystyle [\mathrm {H_{3}O^{+}} ]={\frac {K_{a}[A{\mbox{H}}]}{[A^{-}]}}}$

Aplicamos el operador matemático (${\displaystyle -\log _{10}}$) (Véase pH)

${\displaystyle -\log _{10}\left([\mathrm {H_{3}O^{+}} ]\right)=-\log _{10}\left(K_{a}\right)-\log _{10}\left({\frac {[A{\mbox{H}}]}{[A^{-}]}}\right)}$

E invirtiendo el cociente:

${\displaystyle {\mbox{pH}}=pK_{a}+\log _{10}\left({\frac {[A^{-}]}{[A{\mbox{H}}]}}\right)}$

Aplicación Farmacológica

La fórmula de Henderson-Hasselbalch es empleada para medir el mecanismo de absorción de los fármacos en la economía corpórea. Dicho de otra manera, la absorbción es la transferencia de un fármaco desde un sitio de administración hacia la sangre. Los rangos de rapidez y eficacia de la absorción farmacológica dependen de una ruta específica de administración, sea esta en su disposición farmacológica traslocarse al interior de la membrana celular para estimular el efecto organísmico deseado, por lo que la administración farmacéutica por diferentes rutas mucosas dependen de su biodisponibilidad farmacológica. Para ello se requiere que para la translocación del fármaco se necesite que este, desde su formulación farmacéutica no se disocie al llegar a la membrana celular, sea de carácter liposoluble, y de bajo peso molecular por lo que debe de ser de características de ácidos y bases débiles.

• El efecto del pH en la absorción farmacológica se media estudiando el pH de las presentaciones farmacéuticas:
  • Fármacos Ácidos Débiles [HA]: Liberan un [H+] causando una carga aniónica [A-], para formar: [HA] <-> [H+] + [A-].
  • Fármacos Alcalinos Débiles [BH+]: Liberan también un [H+]. La forma ionizada de los fármacos base son usualmente cargados, y pierden un protón que produce una base sin carga [B], para formar: [BH+] <-> [B] + [H+].

• Tomando el pH de ciertas mucosas, por ejem:
  • Cavidad Oral: 5 a 6 pH.
  • Mucosa Gástrica: 1 a 3 pH.
  • Mucosa Intestinal: 4 a 5 pH.

• Y Tomando el pK de ciertos fármacos, por ejem:
• Morfina: (Base) 9 pK.
• Acetaminofeno: (Ácido) 8 pK.
• Diazepam: (Ácido) 4 pK.
• Aspirina: (Ácido) 3.5 pK.

ECUACIÓN DE HENDERSON-HASSELBALCH

El pH de una mezcla amortiguadora se puede conocer mediante la ecuación de Henderson-Hasselbalch. En la disociación del ácido acético: la constante de equilbrio es: Si tomamos logaritmos: Y cambiando de signos: o lo que es lo mismo: y reordenando, que es la fórmula conocida como la ecuación de Henderson-Hasselbalch. Teniendo en cuenta que el ácido acético es muy débil y, por tanto, el equilibrio de disociación está casi totalmente desplazado hacia la izquierda (desplazamiento favorecido por la presencia de cantidades notables de acetato) podremos sustituir en la ecuación de Henderson-Hasselbalch, sin introducir errores, la concentración de acético libre por la de acético total ([AcH]=[ácido]). Análogamente, como el acetato sódico está completamente disociado podemos considerar que la concentración del ión acetato coincide con la concentración de sal ([Ac-]=[sal]). Con estas modificaciones podemos expresar la ecuación de Henderson-Hasselbalch de una forma válida para todos los amortiguadores (no sólo para el acético/acetato): A partir de esta fórmula se pueden deducir fácilmente las propiedades de los amortiguadores: 1.- El pH de una disolución amortiguadora depende de la naturaleza del ácido débil que lo integra (de su pK), de modo que para cantidades equimoleculares de sal y de ácido, el pH es justamente el pK de este ácido. Dicho de otra forma, se puede definir el pK de un ácido débil como el pH del sistema amortiguador que se obtiene cuando [sal] = [ácido] (Figura de la derecha). 2.- El pH del sistema amortiguador depende de la proporción relativa entre la sal y el ácido, pero no de las concentraciones absolutas de estos componentes. De aquí se deduce que añadiendo agua al sistema, las concentraciones de sal y ácido disminuyen paralelamente, pero su cociente permanece constante, y el pH no cambia. Sin embargo, si la dilución llega a ser muy grande, el equilibrio de disociación del ácido se desplazaría hacia la derecha, aumentando la [sal] y disminuyendo [ácido], con lo cual el cociente aumenta y el pH también, de forma que se iría acercando gradualmente a la neutralidad (pH 7). 3.- Cuando se añaden ácidos o bases fuertes a la disolución amortiguadora, el equilibrio se desplaza en el sentido de eliminar el ácido añadido (hacia la izquierda) o de neutralizar la base añadida (hacia la derecha). Este desplazamiento afecta a las proporciones relativas de sal y ácido en el equilibrio. Como el pH varía con el logaritmo de este cociente, la modificación del pH resulta exigua hasta que uno de los componentes está próximo a agotarse. Ecuación de Henderson-Hasselbalch Considera la ionización de un ácido débil HA que tiene algún valor de pKa. Es conveniente poder relacionar el pH de una disolución de un ácido débil con su pKa y con el grado de ionización. La reacción sería: HA  H+ + A- La constante de disociación del ácido (Ka) para esta reacción, vendría dada por la ecuación Esta ecuación se puede reorganizar para despejar la concentración de iones hidrógeno porque, recuerda, queremos una ecuación que relacione el pH de la disolución con el pKa y con el grado de ionización del ácido débil. La forma en la que queda la ecuación es Por definición, log ( 1/ [H+] ) = pH y log ( 1/Ka ) = pKa , así que, aplicando logaritmos a la ecuación anterior, obtenemos Esta es la conocida ecuación de Henderson-Hasselbalch que se utiliza a menudo para realizar los cálculos que requiere la preparación de disoluciones tampón en el laboratorio, o para otras aplicaciones. Fíjate en varios aspectos interesantes relacionados con esta ecuación. Primero, si pH = pKa, el logaritmo de la relación de concentraciones de las formas disociada y sin disociar será cero, de manera que estas concentraciones serán iguales. En otras palabras, cuando el pH es igual al pKa, el ácido estará disociado al 50%. Segundo, date cuenta de que cuando el pH aumenta o disminuye una unidad en relación con el pKa, la relación entre las formas del ácido disociada y sin disociar cambia en un factor de 10. Es decir, si el pH de una disolución es 6 y el pKa es 7, la relación [ A-]/[ HA] será 0,1; si el pH fuera 5, la relación sería 0,01 y si el pH fuera7, la relación sería 1. También, date cuenta de que si el pH está por debajo del pKa, la relación es < 1, mientras que si el pH está por encima del pKa, la relación será >1. Resumiendo, la ecuación de Henderson-Hasselbalch aporta mucha información. Debes estudiarla para comprender todo lo que deriva de ella.