Epónimos relacionados con la física

ecuaciones epónimas de la física

ecuación de Hamilton-Jacobi es una ecuación diferencial en derivadas parciales usada en mecánica clásica y mecánica relativista que permite encontrar las ecuaciones de evolución temporal o de "movimiento".

La ecuación de Hamilton-Jacobi (EHJ) permite una formulación alternativa a la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana (y por tanto a la mecánica newtoniana, basada en el intento de integración directa de las ecuaciones de movimiento). El empleo de la ecuación de Hamilton-Jacobi resulta ventajoso cuando se conoce alguna integral de movimiento.

Además la formulación basada en EHJ es la única formulación de la mecánica en la que el movimiento de una partícula y el de una onda se describen en los mismos términos. Es por esto que la EHJ constituye una meta largamente perseguida de la física teórica desde Johann Bernoulli, en el siglo XVIII, que buscó una analogía entre la propagación de ondas y partículas. Esta razón fue la que llevó a Schrödinger a buscar una ecuación para la "mecánica ondulatoria" o mecánica cuántica generalizando la ecuación de Hamilton-Jacobi (en lugar de usar los otros enfoques alternativos de la mecánica clásica). Incluso la primera ecuación para mecánica cuántica relativista, la ecuación de Klein-Gordon, se basó en la EHJ relativista en lugar de otros enfoques alternativos.

Formulación de la mecánica clásica basada en la EHJ

La ecuación de Hamilton-Jacobi es una ecuación en derivadas parciales no lineal para la función principal de Hamilton ${\displaystyle S(q_{1},\dots ,q_{N};t)}$, llamada también integral de acción:

(1)${\displaystyle H\left(t,q_{1},\dots ,q_{N};{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}},\dots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{N}}}\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}$

Tal como se describe en este artículo, esta ecuación puede ser deducida de la mecánica hamiltoniana considerando a ${\displaystyle S\;}$ como la función generatriz de una transformación canónica. Los momentos conjugados de las coordenadas corresponden a las derivadas de la función ${\displaystyle S\;}$ con respecto a las propias coordenadas generalizadas:

(2)${\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}}$

Análogamente, las coordenadas generalizadas se pueden obtener como derivadas respecto a los nuevos momentos conjugados, tal como se describe más adelante. Invirtiendo estas ecuaciones algebraicamente, uno puede encontrar las ecuaciones de evolución del sistema mecánico, determinando la variación de las coordenadas con el tiempo. Las posiciones iniciales y las velocidades iniciales aparecen dentro de las constantes de integración para una solución completa de la ecuación (1). Las constantes de integración en este método usualmente coinciden con integrales del movimiento como la energía, el momento angular o el vector de Runge-Lenz.

Ejemplos

• partícula en un campo de fuerzas conservativo:

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left[\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}\right]+\left({\frac {\partial S}{\partial t}}+V(\mathbf {x} )\right)=0}$

Ecuaciones de movimiento a partir de la EHJ

La ecuación de Hamilton-Jacobi (EHJ) para n coordenadas generalizadas contiene además el tiempo, por lo cual una solución completa de dicha ecuación contendrá n+1 constantes de integración arbitrarias. Como la función ${\displaystyle S\;}$ sólo interviene en la EHJ a través de sus derivadas primeras una de estas constantes será aditiva y por tanto una integral completa de la ecuación tendrá la forma:¹

(3)${\displaystyle S(q_{1},\dots ,q_{n})=f(t,q_{1},\dots ,q_{n};\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})+A}$

Donde las n+1 constantes son precisamente α₁, ..., α_n y A. Para encontrar la solución de las ecuaciones de movimiento basta construir n ecuaciones algebraicas:

(4)${\displaystyle {\frac {\partial S(t,q_{i},\alpha _{i})}{\partial \alpha _{i}}}=\beta _{i}}$

Invirtiendo estas ecuaciones para despejar las coordenadas generalizadas q_i se obtienen dichas coordenadas como función del tiempo y de 2n coordenadas, tal como se habría obtenido por los métodos de la mecánica lagrangiana o la mecánica hamiltoniana.

Esta solución puede ser justificada si pensamos en la función ${\displaystyle f(t,q_{1},\dots ,q_{n};\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$ como la función generatriz de una transformación canónica, donde las constantes α₁, ..., α_n representan los nuevos momentos conjugados asociados a dicha transformación, del hecho que f sea una función generatriz de segundo tipo implicará que:

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}\quad \beta _{i}={\frac {\partial f}{\partial \alpha _{i}}}\quad {\bar {H}}=H+{\frac {\partial f}{\partial t}}}$

Pero como la función f satisface la ecuación de Hamilton-Jacobi la nueva hamiltoniana ${\displaystyle {\bar {H}}}$ será nula y por tanto:

${\displaystyle {\dot {\alpha }}_{i}=-{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial \beta _{i}}}=0\qquad {\dot {\beta }}_{i}=+{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial \alpha _{i}}}=0}$

Y por tanto la solución trivial del anterior sistema es α_i = cte. y β_i = cte. , puesto que las α_i son conocidas, porque conocemos una integral completa, las β_i pueden obtenerse de la condición:

${\displaystyle \beta _{i}={\frac {\partial f}{\partial \alpha _{i}}}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{i}}}}$

Que es precisamente la solución que se había señalado anteriormente.

Separación de variables

En muchos sistemas físicos importantes para encontrar las solución de las ecuaciones de movimiento en el enfoque de Hamilton-Jacobi se busca una solución completa de dicha ecuación por el método de separación de variables.

Un caso interesante se presenta cuando alguna de las coordenadas, por ejemplo q₁, sólo aparece formando una combinación con la derivada de la acción respecto de la propia q₁, es decir, cuando la ecuación de Hamilton-Jacobi puede escribirse en la forma:

(5a)${\displaystyle H\left(t,q_{i};{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}},\phi \left(q_{1},{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}}\right)\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$

En ese caso puede buscarse una solución de la forma:

(5b)${\displaystyle S={\hat {S}}(t,q_{j})+S_{1}(q_{1})\qquad j\neq 1}$

La substitución de una ecuación de este tipo en la (5a) permite reducir el número de variables involucrada en una unidad ya que se cumplirían simultáneamente las relaciones:

${\displaystyle H\left(t,q_{i};{\frac {\partial {\hat {S}}}{\partial q_{i}}},\alpha _{1}\right)+{\frac {\partial {\hat {S}}}{\partial t}}=0\qquad \land \qquad \phi \left(q_{1},{\frac {\partial S_{1}}{\partial q_{1}}}\right)=\alpha _{1}}$

En algunos casos de sistemas totalmente integrables de hecho este procedimiento se puede repetir para cada una de las variables obteniéndose una integral completa mediante cuadraturas simples de la forma:

(5c)${\displaystyle S=-E(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})t+\sum _{k}S_{k}(q_{k};\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$

Coordenadas cíclicas

En mecánica hamiltoniana se llama coordenadas cíclica a una coordenadas ${\displaystyle q_{i}\;}$ que no aparece explícitamente en el hamiltoniano. Una coordenada cíclica es siempre un caso particular en el que la ecuación de Hamilton-Jacobi puede escribirse en forma (5a) puediéndose lograr la reducción de la ecuación en una variable mediante el cambio:

(6)${\displaystyle S={\hat {S}}(t,q_{j})+\alpha _{1}q_{1}\qquad j\neq 1}$

Para un sistema conservativo el tiempo t se comporta de manera análogo a una coordenada cícilica,² como se puede ver a partir de la forma de la solución (5c).

Ejemplos de separabilidad

Fijado un sistema de coordenadas, la ecuación de Hamilton-Jacobi admitirá separación de variables en dicho sistema de coordenadas dependiendo de la forma funcional de la energía potencial. A continuación van algunos ejemplos:

• Coordenadas esféricas. Este tipo de coordenadas son frecuentes en la teoría del potencial para analizar el movimiento planetario por ejemplo. Típicamente el hamiltoniano para este tipo de sistemas tiene la forma:

${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)+U(r,\theta ,\phi )}$

Y el problema de encontrar las trayectorias bajo dicho hamiltoniano admitirá separación de variables si la función de energía potencial tiene la siguiente forma:

${\displaystyle U(r,\theta ,\phi )=U_{r}(r)+{\frac {U_{\theta }(\theta )}{r^{2}}}+{\frac {U_{\phi }(\phi )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

Muchos problemas físicamente importantes frecuentemente tienen simetría axial por lo que ${\displaystyle U_{\phi }(\theta )=0\,}$, y en esas circunstancias la acción admite una solución dependiente de tres constantes ${\displaystyle (E,p_{\phi },\beta )\,}$ de la forma:

${\displaystyle S(r,\theta ,\phi ;t)=-Et\ +\ p_{\phi }\phi \ +\ \int \left[\beta -2mU_{\theta }(\theta )-{\frac {p_{\phi }^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]^{1/2}d\theta \ +\ \int \left[2m(E-U_{r}(r))-{\frac {\beta }{r^{2}}}\right]^{1/2}dr}$

• Coordenadas elípticas.

Derivación de la EHJ

De la propia definición del funcional de acción se sigue trivialmente la siguiente relación entre la acción y el lagrangiano:

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=L}$

Por otra parte , considerando la acción como una función de las coordenadas, los momentos conjugados y el tiempo se tiene que:

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}=L}$

De esta última ecuación se deduce simplemente que:

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}=L-\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}=-H(p_{i},q_{i})}$

Ya que el segundo término coincide precisamente con la definición del Hamiltoniano. Esta última ecuación coincide con la ecuación de Hamilton-Jacobi si en ella se substituyen de nuevo los momentos conjutados por las derivadas de la acción respecto a las coordenadas.

Ecuación de Hamilton-Jacobi relativista

La ecuación de Hamilton-Jacobi relativista para una partícula libre en un espacio-tiempo de Minkowski tiene usualmente la siguiente forma:

(6)${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\partial S}{\partial t}}\right)^{2}=-m_{0}^{2}c^{2}}$

Introduciendo en la anterior ecuación ${\displaystyle S=S'-mc^{2}t\;}$ puede obtenerse el límite clásico de dicha ecuación:

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left[\left({\frac {\partial S'}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S'}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S'}{\partial z}}\right)^{2}\right]-{\frac {1}{2mc^{2}}}\left({\frac {\partial S'}{\partial t}}\right)^{2}+{\frac {\partial S'}{\partial t}}=0}$

En la teoría de la relatividad general usando un sistema de coordenadas arbitrario y usando el convenio de sumación de Einstein la forma covariante usual de la ecuación para una partícula libre es:

(7)${\displaystyle g^{ik}\left({\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}\right)\left({\frac {\partial S}{\partial x^{k}}}\right)=-m_{0}^{2}c^{2}}$

Ecuación de Hamilton-Jacobi y mecánica cuántica

La formulación basada en la ecuación de Hamilton-Jacobi es la primera formulación completa de la mecánica clásica que es aplicable tanto a partículas como a ondas. Es por eso que cuando De Broglie propuso el comportamiento dual onda-corpúsculo en 1923 para dar cuenta de ciertos hechos experimentales, se tratara de buscar una ecuación para la "onda de materia" basada en esta ecuación, ya que a grandes escalas dicha onda debía manifestarse como partícula, así que parecía que una generalización de la formulación de Hamilton-Jacobi, era la forma más sencilla de encontrar esa ecuación de ondas.

De hecho dicha "ecuación de ondas" continuando con el planteamiento de De Broglie fue obtenida por Schrödinger en 1925 cuando formuló la hoy conocida como ecuación de Schrödinger:

${\displaystyle i\hbar {\partial \Psi (t,{\vec {r}}) \over \partial t}=-{\hbar ^{2} \over 2m}{\overrightarrow {\nabla }}^{2}\Psi (t,{\vec {r}})+V({\vec {r}},t)\Psi (t,{\vec {r}})}$

Donde la función de onda se relacionaría con la función de acción que aparece en la ecuación de Hamilton-Jacobi sería: ${\displaystyle \psi =e^{iS/\hbar }}$ relación que una vez introducida en la ecuación de Schrödinger lleva al siguiente límite clásico:

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}+{\frac {1}{2m}}\left[\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}\right]+V(x)={\frac {i\hbar }{2m}}\Delta S}$

Ecuación que coincide con la ecuación de Hamilton-Jacobi para una partícula en un potencial V(x), excepto por un término adicional, que resultaría despreciable en el nivel macroscópico dada la pequeñez de la constante de Planck ${\displaystyle \hbar }$.

Ecuaciones de Hamilton

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son n ecuaciones de 2º orden cuyas soluciones, las n funciones q_i(t), vienen determinadas por 2n valores iniciales correspondientes a las coordenadas y velocidades iniciales. El enfoque de Hamilton será ahora ahora conseguir 2n ecuaciones diferenciales de primer orden con esas mismas 2n condiciones iniciales. Ahora las soluciones, además de las q_i(t), serán otras n variables independientes, las cantidades de movimiento generalizadas definidas por:

Esto por tanto definirá un nuevo marco de descripción en el llamado espacio de fases  frente a la anterior descripción . El paso de una descripción a otra viene definido por la llamada transformación de Legendre que explicamos a continuación.

Vamos a trabajar por claridad con solo un par de variables en las funciones. Se trata de, dada una función en unas variables, pasar a otra transformada de forma que las primeras derivadas sean la inversa una de la otra, es decir:

Esto se consigue por ejemplo si ensayamos para la función g la forma:

de este modo

Así, en el caso de que las funciones dependan de otras variables que no formen parte de la transformación:

se tendrá

Trasladando esto a nuestro problema de Mecánica tenemos que buscar una nueva función:

para ello se define la hamiltoniana con la forma:

y así

lo cual nos lleva a

en donde se han aplicado las ecuaciones de Euler-Lagrange en la segunda identidad.

Hemos llegado pues a las ecuaciones que buscábamos. A partir de una nueva función definida en el espacio de fases, la hamiltoniana del sistema:

llegamos a un sistema de 2n ecuaciones del movimiento de primer orden equivalentes a las de Euler-Lagrange, las ecuaciones canónicas de Hamilton:

Transformaciones canónicas

Para resolver problemas en Mecánica es crucial elegir las coordenadas generalizadas más simétricas según el problema de que se trate de modo que todas o la mayor parte de ellas sean cíclicas. De este modo, de cada coordenada cíclica saldrá una ecuación de integración inmediata:

que como vemos será de inmediata integración si la hamiltoniana no depende del tiempo. Cada coordenada cíclica dependerá de dos constantes de integración (α_i,β_i). Si todas son cíclicas el problema por supuesto depende de las 2n condiciones.

Es por ello crucial encontrar una transformación de coordenadas que nos lleve a una descripción máximamente simétrica, y en el formalismo de Hamilton habrá que incluir también los momentos, por medio de las siguientes transformaciones:

Pero además, en este formalismo tan solo nos interesarán las nuevas coordenadas que están relacionadas por las ecuaciones de Hamilton, llamadas coordenadas canónicas, y por tanto las transformaciones canónicas exigirán que exista una nueva función:

que actúe como hamiltoniana del nuevo marco, es decir, que se cumpla:

Por supuesto para que se cumplan las ecuaciones del movimiento es necesario que se siga cumpliendo el principio de Hamilton tanto en las nuevas coordenadas como en las antiguas, es decir:

o, dicho de otro modo, la diferencia entre los dos integrandos debe ser una diferencial exacta:

A la función F se la conoce como función generatriz de la transformación porque nos hará de puente entre las antiguas variables y las nuevas.

Función generatriz. Transformación identidad.

Como las ecuaciones de transformación son $2n$ relaciones entre las $4n$ variables, en realidad sólo $2n$ variables son independientes, por lo que se puede elegir la forma funcional de la función generatriz de cuatro maneras distintas según las circunstancias del problema:

En el primer caso se tiene:

y sustituyéndolo en la diferencia de hamiltonianas y teniendo en cuenta que todas las 2n variables elegidas q_i y Q_i son independientes se llega a:

Para los siguientes casos hay que seguir utilizando F₁ y por medio de transformaciones de Legendre se llega a los siguientes conjuntos de ecuaciones:

Por ejemplo, si ensayamos una función de la forma

las ecuaciones de transformación serán:

en este caso F₂ genera la transformación identidad.

Corchetes de Poisson

Vamos a estudiar uno de los más importantes de los llamados invariantes canónicos, es decir, aquellas expresiones que conservan la forma bajo transformaciones canónicas. Si consideramos las dos funciones:

se puede definir el llamado corchete de Poisson de las funciones u y v con respecto a las variables q y p como:

expresión bilineal antisimétrica de estructura simpléctica.

Lógicamente si u y v se eligen como las propias variables canónicas se tiene:

a estos últimos corchetes se los denomina fundamentales y no se pone subíndice porque valen para todo sistema de variables canónicas. Son por tanto invariantes canónicos.

Manipulando ligeramente los corchetes de partida haciendo la variación sobre otras variables canónicas se tiene:

o, de forma más compacta:

Pero por otra parte se tiene, aplicando la misma identidad anterior, que

en donde se omiten los subíndices por ser expresiones canónicamente invariantes. Pero usándolas vemos que el mismo corchete de Poisson es un invariante canónico, ya que

y por tanto a partir de ahora se pueden omitir los índices en todos los corchetes de Poisson.

Veremos más adelante que existe una formulación de la Mecánica Clásica, paralela a la de Hamilton, formulada con corchetes de Poisson. Con esta formulación es particularmente sencillo el paso a la Mecánica Cuántica, mediante el llamado principio de correspondencia y una adecuada definición del conmutador de operadores cuánticos.

Aplicaciones de los corchetes de Poisson

Ecuaciones del movimiento

Si hacemos u=H en las fórmulas obtenidas en el apartado anterior se pueden poner las ecuaciones de Hamilton como

que constituyen un caso particular de la ecuación de movimiento generalizada para una función arbitraria f(q,p,t) ya que, con las ecuaciones de Hamilton se tiene

De hecho se puede deducir que si f es constante del movimiento df/dt=0 se tiene:

con lo que se tiene que las funciones constantes del movimiento que no dependan explícitamente del tiempo deben tener un valor de corchete de Poisson nulo con la hamiltoniana:

Este hecho nos proporciona un método para buscar constantes del movimiento.

Teorema de Poisson

Una de las propiedades más conocidas del corchete de Poisson es que cumple la identidad de Jacobi:

Con esta identidad se pueden demostrar el llamado teorema de Poisson, que afirma que el corchete de dos constantes es también una constante del movimiento:

Transformaciones canónicas infinitesimales

Se trata de considerar las transformaciones del tipo

La función generatriz por tanto deberá diferir muy poco de la estudiada en el caso de la transformación identidad, es decir

en donde ε es un factor infinitesimal y llamaremos a G función generatriz de la transformación infinitesimal.

Aplicando las ecuaciones de transformación

lo que implica

Pero además, si nos quedamos sólo con infinitésimos de primer orden podemos poner que:

Particularmente, si consideramos la hamiltoniana como función generatriz de la transformación infinitesimal y el parámetro un cambio infinitesimal del tiempo se tiene:

y se puede describir el movimiento del sistema como una transformación infinitesimal generada por la hamiltoniana. De hecho, dado que el movimiento de un sistema mecánico es una evolución continua de transformaciones infinitesimales, la hamiltoniana es la generatriz del movimiento del sistema con el tiempo.

Por otra parte, para cualquier función de las coordenadas y los momentos, u(q_i,p_i), se tiene:

que, aplicando las ecuaciones canónicas de transformación infinitesimal vistas, se tiene:

y en particular para el cambio en la hamiltoniana se tendría

lo que indica que las constantes del movimiento (cuyo corchete con la hamiltoniana se anula) serán también las generatrices de las transformaciones canónicas infinitesimales(que dejarán invariante la hamiltoniana).

En particular las coordenadas cíclicas, cuyas transformaciones podemos poner, por ejemplo en el caso de una q_j como:

definirán como se sabe una constante del movimiento, su momento canónico conjugado, que representará la función generatriz de la transformación infinitesimal:

Ecuación de Hamilton-Jacobi

La teoría de Hamilton-Jacobi se basa en encontrar una transformación canónica de forma que las nuevas variables nos den precisamente las 2n constantes del movimiento, es decir, que sean los 2n valores iniciales (q₀,p₀) en t=0. Esto lo conseguimos exigiendo que la hamiltoniana transformada K se anule:

que en todos los posibles casos de dependencia estudiados para la función generatriz F conduce a la expresión:

Se acostumbra a designar por S a la solución de esta ecuación, llegando a la forma más conocida de la ecuación de Hamilton-Jacobi:

Nótese que S, la llamada función principal de Hamilton, es una primitiva de la lagrangiana:

pero este hecho carece de validez práctica, ya que para calcular esa integral debemos conocer la dependencia de las coordenadas con el tiempo, es decir, haber resuelto primero el problema mecánico que es precisamente el que intentamos resolver.

La ecuación de Hamilton-Jacobi es una ecuación diferencial de primer orden con n+1 variables, las coordenadas y el tiempo, y por lo tanto dependerá de n+1 constantes de integración. Sin embargo, como la propia S no aparece en la ecuación, existe la posibilidad de sumar cualquier constante a la función S y seguirá siendo solución:

y por tanto una de las constantes, que aparezca en forma aditiva, será irrelevante, y la función principal de Hamilton será de la forma:

en donde podemos suponer que se trata de una función generatriz de tipo F₂ y tomar las constantes de integración como las nuevas cantidades de movimiento:

y las ecuaciones de transformación nos darán la solución del problema mecánico:

Nótese que la primera de las ecuaciones en el instante inicial nos relaciona las constantes de integración α con los valores iniciales q_0i y p_0i.