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ecuación de Dirac es la versión relativista de la ecuación de ondas de la mecánica cuántica y fue formulada por Paul Dirac en 1928. Da una descripción de las partículas elementales de espín ½, como el electrón, y es completamente consistente con los principios de la mecánica cuántica y de la teoría de la relatividad especial. Además de dar cuenta del espín, la ecuación predice la existencia de antimateria.

Forma de la ecuación

Ya que la ecuación de Dirac fue originalmente formulada para describir el electrón, las referencias se harán respecto a "electrones", aunque actualmente la ecuación se aplica a otros tipos de partículas elementales de espín ½, como los quarks. Una ecuación modificada de Dirac puede emplearse para describir de forma aproximada los protones y los neutrones, formados ambos por partículas más pequeñas llamadas quarks (por este hecho, a protones y neutrones no se les da la consideración de partículas elementales).

La ecuación de Dirac presenta la siguiente forma:

$\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)$ $\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)$

siendo m la masa en reposo del electrón, c la velocidad de la luz, p el operador de momento,

\hbar

la constante reducida de Planck, x y t las coordenadas del espacio y el tiempo, respectivamente; y ψ (x, t) una función de onda de cuatro componentes. La función de onda ha de ser formulada como un espinor (objeto matemático similar a un vector que cambia de signo con una rotación de 2π descubierto por Pauli y Dirac) de cuatro componentes, y no como un simple escalar, debido a los requerimientos de la relatividad especial. Los α son operadores lineales que gobiernan la función de onda, escritos como una matriz y son matrices de 4×4 conocidas como matrices de Dirac. Hay más de una forma de escoger un conjunto de matrices de Dirac; un criterio práctico es:

$\alpha _{0}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\quad \alpha _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}$ $\alpha _{0}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\quad \alpha _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}$

$\alpha _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&-i&0&0\\i&0&0&0\end{bmatrix}}\quad \alpha _{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}$ $\alpha _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&-i&0&0\\i&0&0&0\end{bmatrix}}\quad \alpha _{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}$

La ecuación de Dirac describe las amplitudes de probabilidad para un electrón solo. Esta teoría de una sola partícula da una predicción suficientemente buena del espín y del momento magnético del electrón, y explica la mayor parte de la estructura fina observada en las líneas espectrales atómicas. También realiza una peculiar predicción de que existe un conjunto infinito de estados cuánticos en que el electrón tiene energía negativa. Este extraño resultado permite a Dirac predecir, por medio de las hipótesis contenidas en la llamada teoría de los agujeros, la existencia de electrones cargados positivamente. Esta predicción fue verificada con el descubrimiento del positrón, el año 1932.

A pesar de este éxito, la teoría fue descartada porque implicaba la creación y destrucción de partículas, enfrentándose así a una de las consecuencias básicas de la relatividad. Esta dificultad fue resuelta mediante su reformulación como una teoría cuántica de campos. Añadir un campo electromagnético cuantificado en esta teoría conduce a la moderna teoría de la electrodinámica cuántica (Quantum Electrodynamics, QED).

Deducción de la ecuación de Dirac

La ecuación de Dirac es una extensión al caso relativista de la ecuación de Schrödinger, que describe la evolución en el tiempo de un sistema cuántico:

$\mathbf {\hat {H}} \left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle$ $\mathbf {\hat {H}} \left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle$

Por conveniencia, se trabajará en la base de posiciones, en que el estado del sistema es representado por la función de onda ψ(x,t). En esta base, la ecuación de Schrödinger se formula de la siguiente manera:

$\mathbf {\hat {H}} \psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)$ $\mathbf {\hat {H}} \psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)$

donde el hamiltoniano H denota un operador que actúa sobre una función de onda, y no sobre vectores de estado.

Debe especificarse el hamiltoniano de forma que describa adecuadamente la energía total del sistema en cuestión. Sea un electrón "libre" aislado de campos de fuerza externos. En un modelo no relativista, se adopta un hamiltoniano análogo a la energía cinética de la mecánica clásica (de momento ignorando el espín):

$\mathbf {\hat {H}} =\sum _{j=1}^{3}{\frac {\mathbf {\hat {p}} _{j}^{2}}{2m}}$ $\mathbf {\hat {H}} =\sum _{j=1}^{3}{\frac {\mathbf {\hat {p}} _{j}^{2}}{2m}}$

siendo p los operadores de momento en cada dirección del espacio j = 1, 2, 3. Cada operador de momento actúa sobre la función de onda como una derivada espacial:

$\mathbf {\hat {p}} _{j}\psi (\mathbf {x} ,t)\equiv -i\hbar \,{\frac {\partial \psi }{\partial x_{j}}}(\mathbf {x} ,t)$ $\mathbf {\hat {p}} _{j}\psi (\mathbf {x} ,t)\equiv -i\hbar \,{\frac {\partial \psi }{\partial x_{j}}}(\mathbf {x} ,t)$

Para describir un sistema relativista, debe encontrarse un hamiltoniano diferente. Se asume que los operadores de momento conservan la definición anterior. De acuerdo con la famosa relación masa-momento-energía de Albert Einstein, la energía total de un sistema viene dada por la expresión:

$E={\sqrt {(mc^{2})^{2}+\sum _{j=1}^{3}(p_{j}c)^{2}}}$ $E={\sqrt {(mc^{2})^{2}+\sum _{j=1}^{3}(p_{j}c)^{2}}}$

de la cual se deduce que

${\sqrt {(mc^{2})^{2}+\sum _{j=1}^{3}(p_{j}c)^{2}}}\;\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}$ ${\sqrt {(mc^{2})^{2}+\sum _{j=1}^{3}(p_{j}c)^{2}}}\;\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}$

Esta no es una ecuación satisfactoria, porque no trata por igual el espacio y el tiempo, uno de los principios básicos de la relatividad especial (el cuadrado de esta ecuación lleva a la ecuación de Klein-Gordon). Dirac razonó que, mientras la parte derecha de la ecuación contenía una derivada de primer orden respecto al tiempo, la parte de la izquierda debía contener igualmente una primera derivada respecto al espacio (i. e., los operadores de momento). Una posibilidad para obtener esta situación es que la cantidad de la raíz cuadrada sea un cuadrado perfecto. Considerando

$(mc^{2})^{2}+\sum _{j=1}^{3}(p_{j}c)^{2}=\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)^{2}$ $(mc^{2})^{2}+\sum _{j=1}^{3}(p_{j}c)^{2}=\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)^{2}$

donde las α son constantes que deben ser determinadas. Elevando al cuadrado, y comparando coeficientes de cada término, se obtienen las siguientes condiciones por α:

\alpha _{\mu }^{2}=I\,,\qquad \qquad \quad \;\;\mu =0,1,2,3

\alpha _{\mu }\alpha _{\nu }+\alpha _{\nu }\alpha _{\mu }=0\,,\quad \mu \neq \nu

Aquí, I es el elemento identidad. Estas condiciones pueden sintetizarse en:

\left\{\alpha _{\mu },\alpha _{\nu }\right\}=2\delta _{\mu \nu }\cdot I

donde {...} es el anticonmutador, definido como {A,B} ≡ AB+BA, y δ es la delta de Kronecker, que tiene valor 1 si los dos subíndices son iguales, y 0 en otro caso.

Estas condiciones pueden no ser satisfechas si los α son números ordinarios, pero sí se cumplen si las α son determinadas matrices. Las matrices deben ser hermíticas, ya que el hamiltoniano es un operador hermítico. Las matrices más pequeñas que funcionan son las 4×4, pero hay más de una elección posible, o representación, de las matrices. Si bien la elección de la representación no puede afectar a las propiedades de la ecuación de Dirac, afecta al significado físico de las componentes individuales de la función de onda.

Anteriormente se ha presentado la representación usada por Dirac. Una forma más compacta de describir esa representación es la siguiente:

$\alpha _{0}={\begin{bmatrix}I&0\\0&-I\end{bmatrix}}\quad \alpha _{j}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{j}\\\sigma _{j}&0\end{bmatrix}}$ $\alpha _{0}={\begin{bmatrix}I&0\\0&-I\end{bmatrix}}\quad \alpha _{j}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{j}\\\sigma _{j}&0\end{bmatrix}}$

donde 0 e I son las matrices 2×2 cero (nula) e identidad, respectivamente; y σ_j's (j=1, 2, 3) son las matrices de Pauli.

Ahora es sencillo operar la raíz cuadrada, de la que se obtiene la ecuación de Dirac. El hamiltoniano de esta ecuación

H=\,\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c

se denomina hamiltoniano de Dirac.

Naturaleza de la función de onda

Como la función de onda ψ se representa por la matriz de Dirac 4×1, ha de ser un objeto de 4 componentes. Se verá en la próxima sección que la función de onda contiene dos conjuntos de grados de libertad, uno asociado a la energía positiva y otro a la negativa. Cada conjunto contiene dos grados de libertad que describen las amplitudes de probabilidad de que el espín sea hacia arriba o hacia abajo, según una dirección especificada.

Se puede escribir explícitamente la función de onda como una matriz columna:

\psi (\mathbf {x} ,t)\equiv {\begin{bmatrix}\psi _{1}(\mathbf {x} ,t)\\\psi _{2}(\mathbf {x} ,t)\\\psi _{3}(\mathbf {x} ,t)\\\psi _{4}(\mathbf {x} ,t)\end{bmatrix}}

La ecuación de la onda dual puede ser escrita como una matriz simple:

\psi ^{\dagger }(\mathbf {x} ,t)\equiv {\begin{bmatrix}\psi _{1}^{*}(\mathbf {x} ,t)&\psi _{2}^{*}(\mathbf {x} ,t)&\psi _{3}^{*}(\mathbf {x} ,t)&\psi _{4}^{*}(\mathbf {x} ,t)\end{bmatrix}}

donde el superíndice denota una conjugación compleja. La dualidad de una función de onda escalar (un componente) es un conjugado complejo.

Como en la mecánica cuántica de una partícula única, el "cuadrado absoluto" de la función de onda da la densidad de probabilidad de la partícula en cada posición x, tiempo t. En este caso, el "cuadrado absoluto" es obtenido por multiplicación de matrices:

\psi ^{\dagger }\psi \,(\mathbf {x} ,t)=\sum _{j=1}^{4}\psi _{j}^{*}(\mathbf {x} ,t)\psi _{j}(\mathbf {x} ,t)

La conservación de la probabilidad da la condición de normalización

\int \psi ^{\dagger }\psi \,(\mathbf {x} ,t)\;d^{3}x=1

Aplicando la ecuación de Dirac, podemos examinar el flujo local de probabilidad:

{\frac {\partial }{\partial t}}\psi ^{\dagger }\psi \,(\mathbf {x} ,t)=-\nabla \cdot \mathbf {J}

El flujo de probabilidad J viene dado por

J_{j}=c\psi ^{\dagger }\alpha _{j}\psi

Multiplicando J por la carga del electrón e se obtiene la densidad de corriente eléctrica j llevada por el electrón.

Los valores de las componentes de la función de onda dependen del sistema de coordenadas. Dirac mostró cómo ψ se transforma bajo cambios generales del sistema coordenado, incluyendo rotaciones en el espacio tridimensional, así como en las transformaciones de Lorentz entre los esquemas relativistas de referencia. Esto lleva a que ψ no se transforma como un vector, debido a rotaciones; y de hecho es un tipo de objeto conocido como espinor.

Espectro de energía

Es instructivo hallar los estados propios de energía del Hamiltoniano de Dirac. Para ello, se resuelve la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

$H\psi _{0}(\mathbf {x} )=E\psi _{0}(\mathbf {x} )$ $H\psi _{0}(\mathbf {x} )=E\psi _{0}(\mathbf {x} )$

donde ψ es el fragmento independiente del tiempo de la autofunción (eigenfunction) de la energía:

$\psi (\mathbf {x} ,t)=\psi _{0}(\mathbf {x} )e^{-iEt/\hbar }$ $\psi (\mathbf {x} ,t)=\psi _{0}(\mathbf {x} )e^{-iEt/\hbar }$

Buscamos una solución de onda plana. Por conveniencia, se toma la z del eje como la dirección en que la partícula se está moviendo, como

$\psi _{0}=we^{\frac {ipz}{\hbar }}$ $\psi _{0}=we^{\frac {ipz}{\hbar }}$

donde w es un espinor constante de cuatro componentes, y p es el momento de la partícula, tal y como podemos verificar aplicando el operador de momento a la función de onda. En la representación de Dirac, la ecuación por ψ₀ disminuye en la ecuación de valores propios.

${\begin{bmatrix}mc^{2}&0&pc&0\\0&mc^{2}&0&-pc\\pc&0&-mc^{2}&0\\0&-pc&0&-mc^{2}\end{bmatrix}}w=Ew$ ${\begin{bmatrix}mc^{2}&0&pc&0\\0&mc^{2}&0&-pc\\pc&0&-mc^{2}&0\\0&-pc&0&-mc^{2}\end{bmatrix}}w=Ew$

Para cada valor de p, hay dos espacios propios, ambos de dos dimensiones. Un espacio propio contiene valores propios positivos, y el otro valores propios negativos, de la forma:

$E_{\pm }(p)=\pm {\sqrt {(mc^{2})^{2}+(pc)^{2}}}$ $E_{\pm }(p)=\pm {\sqrt {(mc^{2})^{2}+(pc)^{2}}}$

El espacio propio positivo está estructurado por los estados propios:

${\frac {1}{\sqrt {\epsilon ^{2}+(pc)^{2}}}}\left\{{\begin{bmatrix}pc\\0\\\epsilon \\0\end{bmatrix}}\,,\,{\begin{bmatrix}0\\pc\\0\\-\epsilon \end{bmatrix}}\right\}$ ${\frac {1}{\sqrt {\epsilon ^{2}+(pc)^{2}}}}\left\{{\begin{bmatrix}pc\\0\\\epsilon \\0\end{bmatrix}}\,,\,{\begin{bmatrix}0\\pc\\0\\-\epsilon \end{bmatrix}}\right\}$

y el espacio propio negativo por los estados propios:

${\frac {1}{\sqrt {\epsilon ^{2}+(pc)^{2}}}}\left\{{\begin{bmatrix}-\epsilon \\0\\pc\\0\end{bmatrix}}\,,\,{\begin{bmatrix}0\\\epsilon \\0\\pc\end{bmatrix}}\right\}$ ${\frac {1}{\sqrt {\epsilon ^{2}+(pc)^{2}}}}\left\{{\begin{bmatrix}-\epsilon \\0\\pc\\0\end{bmatrix}}\,,\,{\begin{bmatrix}0\\\epsilon \\0\\pc\end{bmatrix}}\right\}$

Donde

\epsilon \equiv |E|-mc^{2}

El primer estado propio de la estructura de cada espacio propio tiene espín apuntando en la dirección +z ("espín hacia arriba") y el segundo espín propio tiene espín apuntando en la dirección -z ("espín hacia abajo").

En el límite no relativista, la componente del espinor ε reduce la energía cinética de la partícula, que es insignificante comparada con pc:

$\epsilon \sim {\frac {p^{2}}{2m}}\ll pc$ $\epsilon \sim {\frac {p^{2}}{2m}}\ll pc$

En este límite, por tanto, podemos interpretar los cuatro componentes de la función de onda como sus amplitudes respectivas del (I) espín hacia arriba con energía positiva, y el (II) espín hacia abajo con energía positiva, (III) espín hacia arriba con energía negativa, y (IV) espín abajo con energía negativa. Esta descripción no es muy exacta en el régimen de la relatividad, donde los componentes no nulos del espinor son de medidas similares.

Teoría de huecos

Las soluciones negativas de E en la sección precedente son problemáticas: desde el punto de vista de la mecánica relativista, la energía de una partícula en reposo (p = 0) sería E = mc² tanto como E = - mc². Matemáticamente parece no haber motivo alguno para rechazar las soluciones correspondientes a energía negativa.

Para afrontar este problema, Dirac introdujo una hipótesis (conocida como teoría de huecos) según la cual el vacío es el estado más importante de los cuantos, en el que todos los estados propios de energía negativa del electrón están ocupados. Esta descripción del vacío, como un «mar» de electrones es llamada el mar de Dirac. El principio de exclusión de Pauli prohíbe a los electrones ocupar el mismo estado, cualquier electrón adicional sería forzado a ocupar un estado propio de energía positiva, y los electrones de energía positiva no podrían decaer a estados propios de energía negativa.

Posteriormente Dirac razonó que si los estados propios de energía negativa están llenos de forma incompleta, cada estado propio no ocupado —llamado hueco— podría comportarse como una partícula cargada positivamente. El hueco tiene energía positiva, ya que se necesita energía para crear un par partícula-hueco a partir del vacío. Dirac en un principio pensaba que el hueco era un protón, pero Hermann Weyl advirtió de que el hueco se comportaría como si tuviera la misma masa del electrón, mientras que el protón es, aproximadamente, dos mil veces más masivo. El hueco fue finalmente identificado como positrón, partícula descubierta experimentalmente por Carl David Anderson en 1932.

Por necesidad, la teoría de huecos asume que los electrones de energía negativa en el mar de Dirac no interaccionan unos con otros, ni con los electrones de energía positiva. Con esta asunción, el mar de Dirac produciría una inmensa (de hecho, infinita) carga eléctrica negativa, la mayor parte de la cual de una forma u otra sería anulada por un mar de carga positiva debido a que el vacío permanece eléctricamente neutro. Sin embargo, es completamente insatisfactorio postular que los electrones de energía positiva pueden ser afectados por el campo electromagnético, mientras los electrones de energía negativa no lo son. Por este motivo, los físicos abandonaron la teoría de huecos en favor de la teoría de campos de Dirac, que deja de lado el problema de los estados de energía negativa tratando los positrones como verdaderas partículas. (Caveat: en algunas aplicaciones de la física de la materia condensada, los conceptos basados en la «teoría de huecos» son válidos). El mar de electrones de conducción, en un conductor eléctrico, llamado mar de Fermi, contiene electrones con energías más altas que el potencial químico del sistema. Un estado vacío en el mar de Fermi se comporta como un electrón cargado positivamente, si bien se remite tanto a un «hueco» como a un positrón. La carga negativa del mar de Fermi es equilibrada por la carga positiva de la reja iónica del material.

En el enfoque moderno la interpretación del mar de electrones se refiere al problema de la elección del estado del vacío. De hecho en algunas teorías, diferentes elecciones del estado del vacío pueden tener consecuencias físicas diferentes.

Interacción electromagnética

Hasta aquí se ha considerado un electrón que no está en contacto con campos externos. Continuando por analogía con el hamiltoniano de una partícula cargada en la electrodinámica cuántica, se puede modificar el hamiltoniano de Dirac para incluir los efectos de un campo electromagnético. El hamiltoniano revisado es (en unidades del Sistema Internacional):

$H=\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}\left[p_{j}-{\frac {e}{c}}A_{j}(\mathbf {x} ,t)\right]c+e\phi (\mathbf {x} ,t)$ $H=\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}\left[p_{j}-{\frac {e}{c}}A_{j}(\mathbf {x} ,t)\right]c+e\phi (\mathbf {x} ,t)$

donde e es la carga eléctrica del electrón y A y Φ son los potenciales electromagnéticos vectorial y escalar, respectivamente. Aquí, los potenciales se escriben como funciones del tiempo t y del operador de posición x. Esta es una aproximación semiclásica que es válida cuando las fluctuaciones cuánticas del campo (por ejemplo, la emisión y absorción de fotones) no son importantes.

Dando a Φ el valor 0 y trabajando en el límite no relativista, Dirac solucionó para las dos primeras componentes en las funciones de onda de energía positiva (que son las componentes dominantes en el límite no relativista), obteniendo

$\left({\frac {1}{2m}}\sum _{j}|p_{j}-eA_{j}(\mathbf {x} ,t)|^{2}-{\frac {\hbar e}{2mc}}\sum _{j}\sigma _{j}B_{j}(\mathbf {x} )\right){\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{bmatrix}}$ $\left({\frac {1}{2m}}\sum _{j}|p_{j}-eA_{j}(\mathbf {x} ,t)|^{2}-{\frac {\hbar e}{2mc}}\sum _{j}\sigma _{j}B_{j}(\mathbf {x} )\right){\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{bmatrix}}$
$=(E-mc^{2}){\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{bmatrix}}$ $=(E-mc^{2}){\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{bmatrix}}$

donde B =

\nabla

×A es el campo magnético que actúa sobre la partícula. Esta es precisamente la ecuación de Pauli para una partícula de espín ½ no relativista, con un momento magnético

\hbar e/2mc

(por ejemplo: un factor g de espín igual a 2). El momento magnético real del electrón es mayor que eso, pero únicamente un 0,12% mayor. La diferencia se debe a las fluctuaciones cuánticas en el campo electromagnético, que pueden ser menospreciadas.

Años después del descubrimiento de la ecuación de Dirac, la mayoría de físicos creían que también describía el protón y el neutrón, que también son partículas de espín -1/2. Sin embargo, desde los experimentos de Stern y Frisch en 1933, se descubrió que el momento magnético de estas partículas era notablemente diferente de las predicciones de la ecuación de Dirac. El protón tiene un momento magnético 2,79 veces mayor que la predicción (con la masa del protón puesta como m en las fórmulas mencionadas), i.e., un factor g de 5,58. El neutrón, que es elécticamente neutro, tiene un factor g de -3,83. Estos momentos magnéticos anormales fueron el primer indicio experimental de que el protón y el neutrón no eran partículas elementales. De hecho están compuestos de partículas más pequeñas llamadas quarks.

Interacción hamiltoniana

Es digno de tenerse en cuenta que el hamiltoniano puede ser escrito como suma de dos términos:

$H=H_{el}+H_{int}\,$ $H=H_{el}+H_{int}\,$

Donde H_el es el hamiltoniano de Dirac para un electrón libre y H_int es el hamiltoniano de la interacción electromagnética. Este último se puede escribir como:

$H_{int}=e\phi (\mathbf {x} ,t)-ec\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}A_{j}(\mathbf {x} ,t)$ $H_{int}=e\phi (\mathbf {x} ,t)-ec\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}A_{j}(\mathbf {x} ,t)$

Esto tiene el valor esperado

$\langle H\rangle =\int _{\mathbb {R} ^{3}}\psi ^{\dagger }H_{int}\psi \ d^{3}x=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\left(\rho \phi -\sum _{i=1}^{3}j_{i}A_{i}\right)\ d^{3}x$ $\langle H\rangle =\int _{\mathbb {R} ^{3}}\psi ^{\dagger }H_{int}\psi \ d^{3}x=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\left(\rho \phi -\sum _{i=1}^{3}j_{i}A_{i}\right)\ d^{3}x$

donde ρ es la densidad de carga eléctrica y j es la densidad de corriente eléctrica. La integral en el último término es la densidad de energía de interacción. Eso es una cantidad escalar covariante relativista, como puede observarse escribiéndolo en términos del cuadrivector carga-corriente j = (ρc, j) y el cuatrivector del potencial A = (φ/c, A):

$\langle H\rangle =\int \,\left(\sum _{\nu =0}^{3}j^{\nu }A_{\nu }\right)\;d^{3}r$ $\langle H\rangle =\int \,\left(\sum _{\nu =0}^{3}j^{\nu }A_{\nu }\right)\;d^{3}r$

Átomo hidrogenoide relativista

La ecuación de Schrödinger aplicada a electrones es sólo una aproximación no relativista a la ecuación de Dirac que da cuenta tanto del efecto del espín del electrón. En el tratamiento de Dirac de los electrones de hecho la función de onda debe substituirse por un espinor de cuatro componentes.

$\psi _{n,jm}^{(\pm )}(r,\theta ,\phi )={\begin{Bmatrix}{\cfrac {iG_{n,lj}(r)}{r}}{\boldsymbol {\varphi }}_{jm}^{(\pm )}\\{\cfrac {F_{n,lj}(r)}{r}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\boldsymbol {\varphi }}_{jm}^{(\pm )}\end{Bmatrix}}$ $\psi _{n,jm}^{(\pm )}(r,\theta ,\phi )={\begin{Bmatrix}{\cfrac {iG_{n,lj}(r)}{r}}{\boldsymbol {\varphi }}_{jm}^{(\pm )}\\{\cfrac {F_{n,lj}(r)}{r}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\boldsymbol {\varphi }}_{jm}^{(\pm )}\end{Bmatrix}}$

Donde las funciones F y G se expresan en términos de funciones hipergeométricas:

$F_{n,lj}(r)=\left(1+{\frac {E}{mc^{2}}}\right)e^{-{\frac {\rho }{2}}}(F_{1}(\rho )+F_{2}(\rho )),\qquad G_{n,lj}(r)=\left(1-{\frac {E}{mc^{2}}}\right)e^{-{\frac {\rho }{2}}}(F_{1}(\rho )-F_{2}(\rho )),$ $F_{n,lj}(r)=\left(1+{\frac {E}{mc^{2}}}\right)e^{-{\frac {\rho }{2}}}(F_{1}(\rho )+F_{2}(\rho )),\qquad G_{n,lj}(r)=\left(1-{\frac {E}{mc^{2}}}\right)e^{-{\frac {\rho }{2}}}(F_{1}(\rho )-F_{2}(\rho )),$

A modo de comparación con el caso no relativista se dan a continuación la forma explícita del espinor de funciones de onda del estado fundamental:

$\psi _{n=1,j={\frac {1}{2}},m=+{\frac {1}{2}}}(r,\theta ,\phi )={\frac {(2mZ\alpha )^{3/2}}{(4\pi )^{1/2}}}\left({\frac {1+\gamma }{2\Gamma (1+2\gamma )}}\right)^{1/2}(2mZ\alpha r)^{\gamma -1}e^{-mZ\alpha r}{\begin{Bmatrix}1\\0\\{\cfrac {i(1-\gamma )}{Z\alpha }}\cos \theta \\{\cfrac {i(1-\gamma )}{Z\alpha }}\sin \theta e^{i\varphi }\end{Bmatrix}}$ $\psi _{n=1,j={\frac {1}{2}},m=+{\frac {1}{2}}}(r,\theta ,\phi )={\frac {(2mZ\alpha )^{3/2}}{(4\pi )^{1/2}}}\left({\frac {1+\gamma }{2\Gamma (1+2\gamma )}}\right)^{1/2}(2mZ\alpha r)^{\gamma -1}e^{-mZ\alpha r}{\begin{Bmatrix}1\\0\\{\cfrac {i(1-\gamma )}{Z\alpha }}\cos \theta \\{\cfrac {i(1-\gamma )}{Z\alpha }}\sin \theta e^{i\varphi }\end{Bmatrix}}$

$\psi _{n=1,j={\frac {1}{2}},m=-{\frac {1}{2}}}(r,\theta ,\phi )={\frac {(2mZ\alpha )^{3/2}}{(4\pi )^{1/2}}}\left({\frac {1+\gamma }{2\Gamma (1+2\gamma )}}\right)^{1/2}(2mZ\alpha r)^{\gamma -1}e^{-mZ\alpha r}{\begin{Bmatrix}1\\0\\{\cfrac {i(1-\gamma )}{Z\alpha }}\sin \theta e^{-i\varphi }\\{\cfrac {i(1-\gamma )}{Z\alpha }}\cos \theta \end{Bmatrix}}$ $\psi _{n=1,j={\frac {1}{2}},m=-{\frac {1}{2}}}(r,\theta ,\phi )={\frac {(2mZ\alpha )^{3/2}}{(4\pi )^{1/2}}}\left({\frac {1+\gamma }{2\Gamma (1+2\gamma )}}\right)^{1/2}(2mZ\alpha r)^{\gamma -1}e^{-mZ\alpha r}{\begin{Bmatrix}1\\0\\{\cfrac {i(1-\gamma )}{Z\alpha }}\sin \theta e^{-i\varphi }\\{\cfrac {i(1-\gamma )}{Z\alpha }}\cos \theta \end{Bmatrix}}$

El límite no relativista se obtiene haciendo tender

\gamma :={\sqrt {1-Z^{2}\alpha ^{2}}}\to 1

, es decir, haciendo tender la constante de estructura fina a cero.

El tratamiento de los electrones mediante la ecuación de Dirac sólo supone pequeñas correcciones a los niveles dados por la ecuación de Schrödinger. Tal vez el efecto más interesante es la desaparición de la degeneración de los niveles, por el efecto de la interacción espín-órbita consistente en que los electrones con valores diferentes del tercer número cuántico m (número cuántico magnético) tienen diferentes energía debido al efecto sobre ellos del momento magnético del núcleo atómico. De hecho los niveles energéticos vienen dados por:¹

$E_{n}=m_{e}c^{2}{\sqrt {1+\left({\frac {Z\alpha }{n-|m|+{\sqrt {m^{2}+(Z\alpha )^{2}}}}}\right)^{2}}}$ $E_{n}=m_{e}c^{2}{\sqrt {1+\left({\frac {Z\alpha }{n-|m|+{\sqrt {m^{2}+(Z\alpha )^{2}}}}}\right)^{2}}}$

Donde:

m_{e}\;

, es la masa del electrón.

c\;\alpha

, son la velocidad de la luz y la constante de estructura fina.

Z,n,m\;

, son el número de protones del núcleo, el número cuántico principal y el número cuántico magnético.

Si se prescinde de la energía asociada a la masa en reposo del electrón estos niveles pueden resultan cercanos a los predichos por la ecuación de Schrödinger, especialmente en el caso m = 0:

$E_{n}-m_{e}c^{2}\approx {\frac {m_{e}}{2}}\left({\frac {Z\alpha }{n-|m|+{\sqrt {m^{2}+(Z\alpha )^{2}}}}}\right)^{2}$ $E_{n}-m_{e}c^{2}\approx {\frac {m_{e}}{2}}\left({\frac {Z\alpha }{n-|m|+{\sqrt {m^{2}+(Z\alpha )^{2}}}}}\right)^{2}$

Notación covariante relativista

Volvemos a la ecuación de Dirac para el electrón libre. A veces es conveniente escribir la ecuación en una forma covariante relativista, en la que las derivadas en el tiempo y el espacio se tratan al mismo nivel. Para hacer esto, debe tenerse en cuenta que el operador del momento p funciona como una derivada espacial:

$\mathbf {p} \psi (\mathbf {x} ,t)=-i\hbar \nabla \psi (\mathbf {x} ,t)$ $\mathbf {p} \psi (\mathbf {x} ,t)=-i\hbar \nabla \psi (\mathbf {x} ,t)$

Multiplicando cada miembro de la ecuación de Dirac por

\alpha _{0}

(recordando que

\alpha _{0}^{2}=I

) y sustituyendo en la mencionada definición de p, se obtiene

$\left[i\hbar c\left(\alpha _{0}{\frac {\partial }{c\partial t}}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{0}\alpha _{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)-mc^{2}\right]\psi =0$ $\left[i\hbar c\left(\alpha _{0}{\frac {\partial }{c\partial t}}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{0}\alpha _{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)-mc^{2}\right]\psi =0$

Ahora, se definen cuatro matrices gamma:

$\gamma _{0}=\alpha _{0}\,,\quad \gamma ^{j}=\alpha _{0}\alpha _{j}$ $\gamma _{0}=\alpha _{0}\,,\quad \gamma ^{j}=\alpha _{0}\alpha _{j}$

Estas matrices tienen la propiedad de que

$\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\eta _{\mu \nu }\cdot I\,,\quad \mu ,\nu =0,1,2,3$ $\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\eta _{\mu \nu }\cdot I\,,\quad \mu ,\nu =0,1,2,3$

donde η, una vez más, es la métrica del espacio-tiempo plano. Estas relaciones definen un álgebra de Clifford denominada «álgebra de Dirac». La ecuación de Diracpuede ser ahora reformulada, usando el cuatrivector de posición-tiempo x = (ct, x), como

$\left(i\hbar c\,\sum _{\mu =0}^{3}\;\gamma ^{\mu }\,{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}-mc^{2}\right)\psi =0$ $\left(i\hbar c\,\sum _{\mu =0}^{3}\;\gamma ^{\mu }\,{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}-mc^{2}\right)\psi =0$

O como

{\frac {h}{2\pi }}\sum _{\mu =0}^{3}\;\gamma ^{\mu }\,\partial _{\mu }\psi +imc\psi =0

La forma usual de la ecuación en teoría cuántica de campos y física de partículas, empleando el convenio de suma de Einstein y un sistema de unidades en el que

\hbar =1

c=1

$(i\not \!\partial -m)\psi \equiv (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0$ $(i\not \!\partial -m)\psi \equiv (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0$

ecuaciones de Euler-Lagrange son las condiciones bajo las cuales cierto tipo de problema variacional alcanza un extremo. Aparecen sobre todo en el contexto de la mecánica clásica en relación con el principio de mínima acción aunque también aparecen en teoría clásica de campos (electromagnetismo, Teoría general de la relatividad).

Definición

La ecuación de Euler–Lagrange es una ecuación la cual se satisface con una función,

{\boldsymbol {q}}

, con argumento real

t

, el cual es un punto estacionario del funcional

\displaystyle S({\boldsymbol {q}})=\int _{a}^{b}L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\boldsymbol {q}}'(t))\,\mathrm {d} t

donde:

${\boldsymbol {q}}$ ${\boldsymbol {q}}$ es la función para hallar:

{\begin{aligned}{\boldsymbol {q}}\colon [a,b]\subset \mathbb {R} &\to X\\t&\mapsto x={\boldsymbol {q}}(t)\end{aligned}}

tal que

{\boldsymbol {q}}

es diferenciable,

{\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}

, and

{\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}

;

${\boldsymbol {q}}'$ ${\boldsymbol {q}}'$ ; es la derivada de ${\boldsymbol {q}}$ ${\boldsymbol {q}}$ :
${\begin{aligned}q'\colon [a,b]&\to T_{q(t)}X\\t&\mapsto v=q'(t)\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}q'\colon [a,b]&\to T_{q(t)}X\\t&\mapsto v=q'(t)\end{aligned}}$

T_{q(t)}X

es el espacio tangente a

X

en el punto

q(t)

$L$ $L$ es una función real con derivadas parciales con continuidad primera:
${\begin{aligned}L\colon [a,b]\times TX&\to \mathbb {R} \\(t,x,v)&\mapsto L(t,x,v).\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}L\colon [a,b]\times TX&\to \mathbb {R} \\(t,x,v)&\mapsto L(t,x,v).\end{aligned}}$

TX

tiene fibrado tangente de

X

definido por

TX=\bigcup _{x\in X}\{x\}\times T_{x}X

;

Entonces, la ecuación de Euler–Lagrange está dada por:

$L_{x}(t,q(t),q'(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}L_{v}(t,q(t),q'(t))=0.$ $L_{x}(t,q(t),q'(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}L_{v}(t,q(t),q'(t))=0.$

donde

L_{x}

L_{v}

son las derivadas parciales de

L

correspondientes a los argumentos segundo y tercero, respectivamente.

Si la dimensión de

X

es mayor a 1, es un sistema de ecuaciones diferenciales, donde cada componente es:

{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\boldsymbol {q}}'(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\boldsymbol {q}}'(t))=0\quad {\text{for }}i=1,\dots ,n.

Ecuaciones de Euler-Lagrange en física

Caso discreto

En mecánica clásica, estas ecuaciones establecen que la integral de acción para un sistema físico es un mínimo. Los sistemas de partículas o sistemas discretos tienen un número finito de grados de libertad, y en esos casos la integral de acción es del tipo:

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;L(x,{\dot {x}}(t))dt$ $S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;L(x,{\dot {x}}(t))dt$

Y su correspondiente variación viene dada por:

$\delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\partial L \over \partial x^{a}}-{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {x}}^{a}}\right)dt$ $\delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\partial L \over \partial x^{a}}-{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {x}}^{a}}\right)dt$

Si se impone ahora que

\delta S=0\,

para variaciones "cercanas", esto implica que:

${\partial L \over \partial x^{a}}-{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {x}}^{a}}=0$ ${\partial L \over \partial x^{a}}-{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {x}}^{a}}=0$

donde L es el lagrangiano para el sistema, y

x^{a}

son las coordenadas generalizadas del sistema.

Caso continuo

La formalización de ciertos problemas físicos requiere construir una integral de acción sobre un continuum o sistema que no puede ser tratado mediante un número finito de variables o grados de libertad. Así en teoría de campos y mecánica de medios continuos la acción física puede expresarse como una integral sobre un volumen:

$S=\int _{\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}\;{\mathcal {L}}(\psi ^{A},\partial _{\mu }\psi ^{A})\ d^{n}x$ $S=\int _{\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}\;{\mathcal {L}}(\psi ^{A},\partial _{\mu }\psi ^{A})\ d^{n}x$

Donde

\scriptstyle d^{n}x

es el elemento de volumen que usualmente viene dado por una n-forma y

\scriptstyle \psi ^{A},\partial _{\mu }\psi ^{A}

representan las variables del campo y sus derivadas respecto a las coordenadas espaciales (o espacio-temporales). Cuando la acción toma esa forma las ecuaciones de Euler-Lagrange para el campo que minimiza la anterior integral, usando el convenio de sumación de Einstein, vienen dadas por:

${\partial {\mathcal {L}} \over \partial \psi ^{A}}-{d \over dx^{\mu }}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial (\partial _{\mu }\psi ^{A})}=0$ ${\partial {\mathcal {L}} \over \partial \psi ^{A}}-{d \over dx^{\mu }}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial (\partial _{\mu }\psi ^{A})}=0$

Mecánica lagrangiana de la partícula

Un ejemplo de problema mecánica simple es el de una partícula sometida a un campo de fuerzas conservativo, en ese caso su trayectoria puede ser encontrada mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas al lagrangiano:

$L(x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z})={\frac {m}{2}}(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})-V(x,y,z)$ $L(x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z})={\frac {m}{2}}(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})-V(x,y,z)$

La función lagrangiana anterior usa coordenadas cartesianas, aunque según el tipo de problema también puede escribirse un lagrangiano en términos de cualquier tipo de coordenadas generalizadas:

$(q_{1},...q_{n};{\dot {q}}_{1},...,{\dot {q}}_{n};t)\mapsto L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\in \mathbb {R}$ $(q_{1},...q_{n};{\dot {q}}_{1},...,{\dot {q}}_{n};t)\mapsto L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\in \mathbb {R}$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange para el caso de las coordenadas cartesianas se reducen a la segunda ley de Newton para la partícula:

${\partial L \over \partial x_{i}}-{d \over dt}{\partial L \over \partial v_{i}}=0\Rightarrow \quad -{\partial V \over \partial x_{i}}-{d(mv_{i}) \over dt}=0\Rightarrow \quad \mathbf {F} =m{d\mathbf {v} \over dt}=-{\boldsymbol {\nabla }}V(x,y,z)$ ${\partial L \over \partial x_{i}}-{d \over dt}{\partial L \over \partial v_{i}}=0\Rightarrow \quad -{\partial V \over \partial x_{i}}-{d(mv_{i}) \over dt}=0\Rightarrow \quad \mathbf {F} =m{d\mathbf {v} \over dt}=-{\boldsymbol {\nabla }}V(x,y,z)$

Teoría de campos

La teoría clásica de campos es un buen ejemplo del caso multidimensional anteriormente descrito. Así por ejemplo las ecuaciones de Maxwell no son otra cosa que las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas al "lagrangiano" de Maxwell. La densidad lagrangiana de Maxwell viene dada por:

(*) ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{int}+{\mathcal {L}}_{em}=\left({\frac {1}{c}}\mathbf {A} \cdot \mathbf {j} -\rho _{e}\phi \right)+\left(-{\frac {\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}}{8\pi }}\right)$ ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{int}+{\mathcal {L}}_{em}=\left({\frac {1}{c}}\mathbf {A} \cdot \mathbf {j} -\rho _{e}\phi \right)+\left(-{\frac {\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}}{8\pi }}\right)$

Donde el primer término es el lagrangiano de interacción y el segundo el lagrangiano del campo electromagnético libre y además:

\mathbf {E} ,\mathbf {B}

, son los campos eléctrico y magnético.

\rho _{e},\mathbf {j}

, son la densidad de carga eléctrica y la densidad de corriente asociada a las cargas que interactúan con el campo.

\phi ,\mathbf {A}

, son el potencial eléctrico y el potencial vectorial del campo.

Considerando aquí el campo descrito por los potenciales

(\psi _{0},\psi _{1},\psi _{2},\psi _{3})=(\phi ,A_{x},A_{y},A_{z})\,

, los campos eléctrico y magnético son expresables en términos de sus derivadas:

$\mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},\qquad \mathbf {B} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A}$ $\mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},\qquad \mathbf {B} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A}$

Todos estos términos substituidos en la ecuación de Euler-Lagrange (*) nos lleva a las ecuaciones de Maxwell. Si a la densidad lagrangiana anterior le agregamos, la densidad lagrangiana de la materia en interacción con el campo electromagnético viene dado por:

${\mathcal {L}}_{m}=-\mu c^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ ${\mathcal {L}}_{m}=-\mu c^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$

Cuando esta parte se tiene en cuenta también se recupera la expresión para la fuerza de Lorentz.

Aplicaciones en mecánica cuántica

Un artículo influyente, para la introducción del formalismo lagrangiano en la mecánica cuántica, fue el de Paul Dirac de 1932. El artículo titulado “El lagrangiano en Mecánica Cuántica” comienza de la siguiente manera:

“La mecánica cuántica fue construida sobre la base de la analogía con el hamiltoniano de la mecánica clásica. Esto se debe a que se encontró que la clásica noción de coordenadas canónicas y momentos es similar a la análoga cuántica, como resultado del cual la totalidad de la teoría clásica hamiltoniana, la cual es justamente una estructura construida sobre esta noción, debería ser tomada sobre todos sus detalles en mecánica cuántica.

Ahora tenemos una formulación alternativa para la dinámica clásica, provista por el lagrangiano. Esto requiere trabajar en términos de coordenadas y velocidades en lugar de coordenadas y momentos. Las dos formulaciones son, sin embargo, cercanamente relacionadas, pero hay razones para creer que el lagrangiano es el más fundamental.

En primer lugar, el método lagrangiano nos permite conectar juntas todas las ecuaciones del movimiento y expresarlas como una propiedad estacionaria de una cierta función de acción. (Esta función de acción es justamente la integral en el tiempo del lagrangiano). No existe un principio de acción correspondiente en términos de las coordenadas y momentos en la teoría hamiltoniana. En segundo lugar el método lagrangiano puede fácilmente ser expresado en forma relativista, teniendo en cuenta que la función de acción es invariante relativista; mientras que el método hamiltoniano es esencialmente de forma no relativista, dado que delimita una variable de tiempo particular como la conjugada canónica de la función hamiltoniana.

Por estas razones sería deseable tomar la cuestión de lo que corresponde en la teoría cuántica al método lagrangiano de la teoría clásica. Una pequeña consideración muestra, sin embargo, que uno no puede esperar ser capaz de tomar las ecuaciones clásicas de Lagrange en una forma directa. Estas ecuaciones involucran derivadas parciales del lagrangiano respecto a las coordenadas y velocidades y no significa poder tener tales derivadas en mecánica cuántica.

El sólo proceso de diferenciación que puede realizarse respecto a las variables dinámicas de la mecánica cuántica es el que forma los corchetes de Poisson y este proceso conduce a la teoría hamiltoniana.

Debemos por lo tanto mirar nuestra teoría cuántica lagrangiana de una manera indirecta. Debemos intentar tomar las ideas de la teoría lagrangiana clásica, no las ecuaciones de la teoría clásica lagrangiana”.¹

Síntesis de aplicaciones en física

Como se vio antes, es posible derivar las ecuaciones de la mecánica clásica como las del electromagnetismo a partir del lagrangiano respectivo introducido en las ecuaciones de Euler-Lagrange. Por ese camino, es posible ampliar el lagrangiano de Maxwell para obtener el lagrangiano de Dirac y así obtener, luego, la ecuación relativista de Dirac. También las ecuaciones de Schrödinger, de Klein-Gordon y de Proca pueden obtenerse por ese método.

Incluso es posible derivar las ecuaciones de Einstein, de la relatividad generalizada, a partir del lagrangiano de Hilbert-Einstein²

Ecuaciones de Euler-Lagrange en geometría

Las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden ser usadas para encontrar fácilmente la ecuación de las curvas geodésicas en una variedad de Riemann o "espacio curvo". Para ello consideremos un conjunto de coordenadas (x¹, ...xⁿ) sobre una región abierta U de la variedad de Riemann V_R donde el tensor métrico viene dado por la expresión:

g=\sum _{{i,j=1}}^{n}g_{{ij}}\ dx^{i}\otimes dx^{j}\,

Puesto que dados dos puntos cualquiera de V_R las geodésicas son las líneas de mínima longitud entre ellos podemos plantear el siguiente problema variacional, para el cuadrado de la longitud de una curva:

s=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}{\frac {dx^{i}}{dt}}{\frac {dx^{j}}{dt}}}}\quad dt\,

La minimización de la expresión anterior al ser la raíz una función monótona, es equivalente a la minimización de una integral de acción donde el lagrangiano sea: