Mecánica - La mecánica clásica

 espacio fásico, espacio de fases o diagrama de fases es una construcción matemática que permite representar el conjunto de posiciones y momentos conjugados de un sistema de partículas. Más técnicamente, el espacio de fases es una variedad diferenciable de dimensión par, tal que las coordenadas de cada punto representan tanto las posiciones generalizadas como sus momentos conjugados correspondientes. Es decir, cada punto del espacio fásico representa un estado del sistema físico. Ese estado físico vendrá caracterizado por la posición de cada una de las partículas y sus respectivos momentos.

El formalismo del espacio fásico se emplea en el contexto de la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana. Usualmente se designa el espacio fásico o una parte de él por Γ (gamma mayúscula). Físicamente cada punto del espacio fásico representa un posible estado del sistema mecánico.

En física estadística se usan distribuciones de probabilidad definidas sobre el espacio fásico. Partiendo de cierto subconjunto de las distribuciones de probabilidad de un espacio fásico puede construirse una estructura de espacio de Hilbert. Estos espacios de Hilbert de un sistema clásico son la base para los espacios de Hilbert que aparecen en mecánica cuántica.

Espacio fásico de un sistema dinámico con estabilidad focal.

Espacio fásico en mecánica clásica

Dos trayectorias diferentes en el espacio fásico de un sistema de tipo péndulo. A la izquierda un movimiento oscilatorio de pequeña amplitud se corresponde con una trayectoria cerrada. A la derecha un péndulo que da vueltas completas tiene una trayectoria diferente en el espacio fásico.

En mecánica clásica el espacio fásico es una construcción matemática a partir del espacio de configuración. Concretamente un espacio fásico adecuado para un sistema con un número finito de grados de libertad es el fibrado cotangente del espacio de configuración del sistema mecánico. Ese fibrado cotangente construido de esa manera puede además ser dotado de una topología simpléctica donde pueden formularse convenientemente los teoremas de la mecánica hamiltoniana.

Uno de los teoremas clásicos sobre espacios fásicos es el teorema de Liouville, según el cual una nube de puntos distribuidos de acuerdo con una densidad de probabilidad que represente un estado de equilibrio macroscópico ρ(p_i,q_i) debe ser invariable en el tiempo.

Además cada hamiltoniano H definido sobre un espacio fásico está asociado a un conjunto de trayectorias de evolución temporal. El conjunto de trayectorias constituye un foliación unidimensional del espacio fásico que recubre casi todo el espacio fásico (concretamente todo el espacio fásico, salvo un conjunto de medida nula), esto último equivale a que el espacio puede ser descompuesto en trayectorias que no se intersecan.

Espacio fásico en mecánica cuántica

Uno de los rasgos definitorios de la mecánica cuántica es que el estado físico de un sistema no determina el resultado de cualquier medida que pueda hacerse sobre él. En términos más crudos, el resultado de una medida sobre dos sistemas cuánticos que tienen el mismo estado físico no siempre arroja los mismos resultados. Así una teoría como la mecánica cuántica que trata de describir la evolución temporal de los sistemas físicos sólo puede predecir la probabilidad de que al medir una determinada magnitud física se obtenga determinado valor. Es decir, la mecánica cuántica realmente es una teoría que explica cómo varía la distribución de probabilidad de las posibles medidas de un sistema (entre dos mediciones consecutivas, ya que en el instante de la medida se produce un colapso de la función de onda aleatorio).

El estado cuántico de un sistema por las razones anteriormente expuestas no se parece en nada al estado clásico de una partícula o un sistema de partículas. De hecho el estado cuántico de un sistema es representable mediante una función de onda:

${\displaystyle \Phi \in L_{\mu }^{2}(\Gamma )}$

La relación más cercana entre espacio fásico y función de onda es que el cuadrado del módulo de la función de onda está relacionado con una distribución de probabilidad definida sobre el espacio fásico. Esto significa que, para construir el conjunto de estados cuánticos o espacio de Hilbert de ciertos sistemas cuánticos, puede considerarse inicialmente el espacio fásico que se usaría en su descripción clásica y considerar el conjunto de funciones de cuadrado integrable sobre el espacio fásico, a este tipo de procedimiento se le conoce como cuantización. En el tratamiento cuántico, las coordenadas del espacio fásico clásico p y q, se substituyen por operadores hermíticos sobre el espacio de Hilbert que contiene al conjunto de estados posibles.

La conexión entre los operadores hermíticos sobre el espacio de Hilbert y la interpretación clásica de los mismos como magnitudes fíiscas medibles, puede lograrse mediante el producto de Moyal que es consistente con el principio de incertidumbre de la mecánica cuántica. Cada observable cuántico corresponde a una única distribución sobre el espacio de fases, y al revés tal como demostró Hermann Weyl en 1927, trabajo que fue ampliado por John von Neumann (1931); Eugene Wigner(1932) y muy especialmente por H J Groenewold (1946). El trabajo de J E Moyal (1949), completó todas estas fundamentaciones de la cuantización de Weyl, mediante una reformulación lógicamente independiente de los postulados de la mecánica cuántica.

Cuantización a partir del espacio fásico clásico

En física estadística se emplean distribuciones de probabilidad sobre el espacio fásico, este conjunto distribuciones de probabilidad puede dotarse de estructura de espacio de Hilbert. Es precisamente sobre esta abstracción última que se construye la mecánica cuántica en donde no se emplean espacios de configuración sino directamente espacios de Hilbert. El estado de un sistema cuántico se define como una función de onda que no es otra cosa que un elemento o vector de este espacio de Hilbert (concretamente el estado del sistema es una clase de equivalencia de vectores del espacio de Hilbert).

Espacio fásico en mecánica estadística y termodinámica

Dado un sistema termodinámico en equilibrio con n grados de libertad, el estado del sistema puede se representado como un punto de dicho espacio. Dicho espacio puede parametrizado considerando n funciones de estado, que sean funcionalmente independientes. Por ejemplo para un gas que no puede sufrir cambios de estado el espacio fásico puede parametrizarse mediante dos coordenadas: presión (P) y densidad (ρ) (o alternativamente, presión y temperatura o densidad y temperatura).

esquema cinemático ilustra la conectividad entre los enlaces (barras) y las uniones (articulaciones) de un mecanismo o máquina más allá de las dimensiones o forma de las partes que lo constituyen. Normalmente las barras se representan como objetos geométricos, tales como líneas, triángulos o cuadrados, que sostienen las versiones esquemáticas de las articulaciones del mecanismo o máquina.¹

Por ejemplo, Las figuras de la izquierda muestran los esquemas cinemáticos (i) del conjunto que forman un pistón y una biela de un motor, y (ii) las primeras tres articulaciones de un manipulador PUMA.

Dibujo dimensionado de una biela-pistón (izquierda) y su esquema cinemático (derecha).

Gráfico de uniones

Un esquema cinemático puede expresarse como un gráfico representando las barras del mecanismo como vértices y las articulaciones como aristas del gráfico. Esta versión del esquema cinemático es muy efectiva en numerosas estructuras en los procesos de diseño de maquinaria.²

Elementos de máquinas

Los elementos de los esquemas cinemáticos incluyen la estructura, que es el marco de referencia para todos los componentes movibles, así como las barras, y las articulaciones. Las articulaciones primarias están formadas por pivotes, deslizadores y otros elementos que permitan una rotación pura o movimiento lineal puro. Las articulaciones de grado superior que, también existen, permiten una combinación de rotación o movimiento lineal. Además estos esquemas otros puntos de interés, y otros componentes importantes.

Robot PUMA

y su esquema cinemático

experimento del cubo del agua fue ideado por Isaac Newton para demostrar la necesidad de la existencia de una fuerza centrípetaen un movimiento de giro. Para que una masa gire, es necesario que una fuerza actúe siempre en dirección perpendicular a la velocidad con la que se desplaza la masa, es decir apuntando hacia el centro de giro. Esa fuerza puede ser de cualquier origen, y la fuerza necesaria es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad de la masa que gira, con lo cual si se realiza un giro a gran velocidad es preciso una fuerza de gran magnitud. Por eso si se llena una cubo con agua y se lo hace girar con rapidez, aunque lo hagamos girar en un plano perpendicular, el agua del cubo no se vierte al pasar por el punto más alto de la trayectoria, para sorpresa de mucha gente. Esto es debido a que se necesita una fuerza centrípeta tan grande que el peso del agua no basta para suministrarla y aún es preciso algo más de fuerza que procede de la tensión del brazo sujetando del asa del cubo, por lo que el peso del agua no actuará como fuerza de caída (permitiendo que se vierta el agua) sino como fuerza centrípeta que va a mantener el agua girando a la misma velocidad que el cubo que la contiene.

Eso mismo pasa en la Estación Espacial Internacional, que gira alrededor de nuestro planeta, de forma que tanto la estación espacial como las personas y los objetos que están dentro giran sincronizadamente (a la misma velocidad) que la estación espacial. Es probable que hayas visto en imágenes televisión como el agua en la estación espacial no caía sino que flotaba formando esferas de agua, porque el poco peso que tienen a esa altura se emplea como fuerza centrípeta dado el movimiento de giro del agua que gira sincronizada con la estación espacial.

Fuera de lo que es el experimento y su explicación, la forma en que flota el agua en la estación espacial internacional se debe que el agua como todos los líquidos cuando está en contacto con un gas (la atmósfera) desarrolla en su superficie una fuerza que provoca el conocido fenómeno de la Tensión superficial. Debido a este fenómeno, los líquidos en contacto con los gases desarrollan una superficie lo más pequeña posible y como en la estación espacial flota rodeada por aire, forma la figura de mínima superficie con máximo volumen que es la forma esférica.