Mecánica - La mecánica clásica

El análisis dinámico comprende el análisis de las fuerzas, desplazamientos, velocidades y aceleraciones que aparecen en una estructura o mecanismo como resultado de los desplazamientos y deformaciones que aparecen en la estructura o mecanismo.

Gran parte de estos análisis pueden ser simplificados al reducir el mecanismo o estructura a un sistema lineal, con lo que es posible aplicar el principio de superposición para trabajar con casos simplificados del mecanismo.

Análisis dinámico de mecanismos

El análisis dinámico de mecanismos tiene por objeto determinar el movimiento de un mecanismo, las fuerzas y los esfuerzos internos que aparecen sobre cada uno de sus elementos en cada posición de funcionamiento.

Método directo o de Newton

Este método analiza un mecanismo considerando cada una de sus partes rígidas como un sólido rígido perfecto, y plantea un sistema de ecuaciones diferenciales de movimiento directamente basadas en las leyes de Newton, que en general resulta complejo y difícil de integrar ya que raramente la elección de coordenadas y referencias respetará las simetrías útiles del problema. Una variación trivial de este método es escribir introducir coordenadas angulares, para poder escribir algunas de las ecuaciones del movimientos en términos de momentos de fuerzas, así las ecuaciones básicas usadas en el método directo son:

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {F} _{i}=m_{i}\mathbf {a} _{i}\\\mathbf {r} _{Oi}\times \mathbf {F} _{i}=[\mathbf {I} ]{\boldsymbol {\alpha }}\end{cases}}}$

Método de d'Alembert

Este método usa el Principio de d'Alembert que es una extensión de la segunda ley de Newton que tiene en cuenta las ligaduras existentes entre diversos elementos. El uso de este método en lugar del método directo simplifica notablemente las ecuaciones.

Análisis dinámico de estructuras

El análisis dinámico de estructuras se refiere al análisis de las pequeñas oscilaciones o vibraciones que puede sufrir una estructura alrededor de su posición de equilibrio. El análisis dinámico es importante porque ese movimiento oscilatorio produce una modificación de las tensiones y deformaciones existentes, que deben tenerse en cuenta por ejemplo para lograr un diseño sísmico adecuado.

Como resultado de una perturbación exterior un edificio o estructura resistente que bajo la acción de unas cargas estaba en reposo, experimenta oscilaciones que en primera aproximación pueden representarse como un movimiento armónico compuesto, caracterizado por un sistema de ecuaciones lineal del tipo:

(1)${\displaystyle \mathbf {M} {\ddot {\mathbf {x} }}(t)+\mathbf {C} {\dot {\mathbf {x} }}(t)+\mathbf {K} \mathbf {x} (t)=\mathbf {F} (t)}$

Donde:

${\displaystyle \mathbf {M} ,\mathbf {C} ,\mathbf {K} }$ son respectivamente la matriz de masas, la matriz de amortiguación y la matriz de rigidez de la estructura.

${\displaystyle \mathbf {x} (t),{\dot {\mathbf {x} }}(t),{\ddot {\mathbf {x} }}(t)}$ son tres vectores que representan la posición, velocidad y aceleración de un conjunto de puntos de la estructura.

${\displaystyle \mathbf {F} (t)}$ es un vector que representa las fuerzas equivalentes aplicadas sobre el mismo conjunto de puntos anteriores, este vector está asociado a la solicitación exterior que perturba la misma estructura.

El análisis dinámico incluye estudiar y modelizar al menos estos tres aspectos:

• Análisis modal de frecuencias y modos propios de vibración. Tanto las frecuencias naturales de vibración de una estructura como los modos principales de vibración dependen exclusivamente de la geometría, los materiales y la configuración de un edificio o estructura resistente.
• Análisis de la solicitación exterior.
• Análisis de las fuerzas dinámicas inducidas.

Análisis dinámico de pórticos planos

El análisis de pórticos planos formados por barras rectas de sección constante puede llevarse a cabo generalizando las ecuaciones del método matricial, incorporando además de matrices de rigidez, matrices de masa. Las frecuencias propias de oscilación de un pórtico plano pueden determinarse a partir de las soluciones de la ecuación:

${\displaystyle \det(\mathbf {K} -\omega ^{2}\mathbf {M} )=0}$

La anterior ecuación es un polinomio de grado N en ω², que tiene precisamente N soluciones reales. Los modos propios son un conjunto de modos de deformación, cada uno de ellos representado por un conjunto finito de desplazamientos nodales. Estos modos propios son soluciones no-triviales de la ecuación:

${\displaystyle (\mathbf {K} -\omega _{k}^{2}\mathbf {M} )\mathbf {A} _{k}=0,\qquad \mathbf {A} _{k}\in \mathbb {R} ^{N}}$

Cuando una estructura [elástica y lineal] vibra bajo la acción de fuerzas estáticas antes de alcanzar el punto de equilibrio, el movimiento puede describirse mediante una deformación estática más la suma de N movimientos armónicos simples atenudados. Cuando la carga no es estática sino que varía con el tiempo, la solución puede ser más compleja pudiéndose incluso producir el fenómeno potencialmente destructivo de la resonancia.

Análisis dinámico en elementos finitos

En un buen número de aplicaciones ingenieriles, son analizadas y comprobadas mediante el uso del método de los elementos finitos. en situaciones donde el estado del sistema es dependiente del tiempo el método de los elementos finitos lleva a una ecuación del tipo (1). Debido usualmente a la elevada dimensión de los vectores que aparecen en ellas en este tipo de aplicaciones, la resolución exacta no resulta práctica y se usan diversos procedimientos de integración numérica basados en el método de las diferencias finitas y variantes del mismo. Estos métodos pueden clasificarse según varios criterios:

• Métodos implícitos/explícitos, un método explícito es el que no requiere la resolución de un sistema de ecuaciones no trivial a cada paso de tiempo. En general los métodos explícitos requieren menor tiempo de computación que los métodos implícitos aunque frecuentemente presentan el problema de no ser incondicionalmente convergentes, y requieren evaluar primero el paso de tiempo máximo para que la computación sea numéricamente estable.
• Métodos incondicionalmente/condicionalmente convergentes, un método de integración numérica es incondicionalmente convergente cuando la aproximación numérica calculada mediante el mismo no diverge exponencialmente de la solución exacta. Entre los métodos implícitos algunos son incondicionalmente convergentes sólo para cierta elección fija de los parámetros del método. En cambio, los métodos explícitos suelen ser condicionalmente convergentes pero no incondicionalmente convergentes, por lo que el paso de tiempo usado en el esquema de diferencias finitas debe ser menor que cierto valor:

${\displaystyle \Delta t\leq \min _{k}{\frac {2}{\omega _{k}}}}$

Siendo ${\displaystyle \omega _{k}\,}$ las frecuencias propias del sistema.

tema del análisis mecánico .- ...................:

http://eadic.com/wp-content/uploads/2013/09/4712-5_tema_5_dinamico.pdf

El ángulo de deriva lateral es el que forma el sentido de avance del vehículo y el sentido de avance que debería tener el vehículo si siguiese la dirección impuesta por la rueda (es decir, la impuesta por el conductor). Un ejemplo extremo sería la conducción sobre una superficie helada. Debido a la baja adherencia, el vehículo sigue recto a pesar de que el conductor quiera imponer un giro. Esto ocurre en menor medida cada vez que se toma una curva. Como consecuencia de este efecto se produce la fuerza de deriva lateral y un momento de autoalineamiento.

El neumático supone una unión elástica entre la llanta y el suelo. Como si de un muelle se tratara, para transmitir una fuerza entre ambos elementos debe sufrir una deformación que tense su estructura en la dirección en la que dicha fuerza debe ser aplicada. En el caso de solicitaciones transversales (cuando el vehículo traza una curva), da lugar a una flexión lateral que se caracteriza por el ángulo de deriva.

Al entrar en contacto con el suelo, cada pequeña sección de la superficie del neumático se adhiere a él y se va alejando progresivamente de su posición original conforme se desplaza hacia la parte trasera de la huella, mientras la rueda gira. Al llegar al extremo trasero de la huella, pierde contacto con el suelo y recupera su posición original.

El ángulo formado por la dirección en que apunta la rueda y aquélla en la que verdaderamente se está desplazando (coincidente con la orientación de la parte de la huella firmemente adherida al asfalto) se denomina ángulo de deriva. La figura de la izquierda muestra de manera esquemática este ángulo. El tamaño de la huella (sombreado en gris) y su forma se han exagerado en todos los dibujos para facilitar su representación.

Cuando giramos el volante para trazar una curva, lo que hacemos realmente es inducir un ángulo de deriva. Lógicamente, mayores ángulos de deriva se corresponden con una fuerza lateral mayor, dado que una mayor flexión requiere una mayor fuerza. Aunque carezcan de sistema de dirección, las ruedas traseras también desarrollan ángulo de deriva, a pesar de que apunten siempre (aproximadamente) en la misma dirección.

Aquí se puede ver una animación de cómo el neumático desarrolla un creciente ángulo de deriva. La situación mostrada correspondería a un giro a izquierdas tomada a una creciente velocidad, con el volante fijado en una misma posición: la mayor fuerza lateral requerida por la creciente velocidad obliga al neumático a desarrollar una deriva mayor.

En el desarrollo del ángulo de deriva pueden distinguirse tres diferentes etapas. En un primer tramo la relación entre fuerza lateral y deriva es aproximadamente lineal. Toda la superficie de la huella mantiene un perfecto contacto con el suelo, y el mecanismo que mantiene la adherencia es por tanto el de adhesión.

Dado que es la zona trasera de la huella la que sufre una mayor flexión, es allí donde se desarrolla la mayor parte de la fuerza lateral. Pero a consecuencia de ello, es la que primero alcanza el límite de adherencia de la goma con el suelo, y empieza a deslizar; podemos decir que se satura. En estas áreas es la histéresis del neumático la que se hace responsable de mantener un cierto grado de adherencia.

Áreas más frontales de la huella aún no se han saturado, por lo que todavía pueden incrementar su aporte a la fuerza lateral. En suma, la fuerza total sigue creciendo con la deriva, pero a un ritmo cada vez menor. Es la etapa de transición; el paso de la zona lineal a la de transición se produce aproximadamente a la mitad de la deriva de máximo agarre.

Llegado un momento, suficiente huella se encuentra saturada como para que el neumático sea incapaz de generar más fuerza lateral y alcanza su máximo, a partir del cual cae. Esto se refleja, por ejemplo, en una situación de subviraje pronunciado, en la que girar más el volante no hace sino empeorar las cosas, puesto que hacemos trabajar al neumático en la zona en que la adherencia disminuye. Lo conveniente es abrir un poco la dirección para acercarnos al ángulo de deriva óptimo, intentando recuperar la adherencia.

El ángulo de deriva en el que un neumático alcanza su máximo agarre lateral varía grandemente de unos modelos a otros y de su uso (de calle o competición), y para un neumático en particular, del peso que recae sobre él y de su grado de desgaste.

campo central es un campo de fuerzas conservativo tal que la energía potencial de una partícula sólo dependa de la distancia (escalar) a un punto fijo llamado centro o fuente del campo.

El campo gravitatorio del sol, tal como es tratado matemáticamente en la mecánica newtoniana es un ejemplo de campo central (sin embargo, en teoría de la relatividad dicho campo gravitario tiene un tratamiento matemático más complejo).

Caracterización matemática

Puesto que los campos centrales por definición son conservativos pueden obtenerse como el gradiente de un potencial ${\displaystyle U(r)\;}$ donde ${\displaystyle r\;}$ es la distancia a la fuente del campo. Por tanto en cada punto del espacio el campo central viene dado por:

(1)${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\boldsymbol {\nabla }}U(r)=-{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=-\left({\frac {\partial U}{\partial x}}\mathbf {\hat {i}} +{\frac {\partial U}{\partial y}}\mathbf {\hat {j}} +{\frac {\partial U}{\partial z}}\mathbf {\hat {k}} \right)}$

Una propiedad muy importante del movimiento en un campo central es que el momento angular (respecto al centro del campo) se conserva, es decir, esa magnitud es una constante del movimiento:

(2)${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )={\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {p} }}={\dot {\mathbf {r} }}\times (m{\dot {\mathbf {r} }})+\mathbf {r} \times \left(-{\frac {\partial U(r)}{\partial r}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)=0+0}$

Donde los dos términos a que da lugar la derivada del producto se acaban anulando ya que en los dos casos resultan vectores paralelos y el producto vectorial de dos vectores paralelos se anula. Además puesto que el momento angular y el vector de posición son permanentemente perpendiculares y al ser el primer vector constante, se sigue el que movimiento en un campo central está siempre confinado al plano perpendicular al momento angular y por tanto la trayectoria de la partícula será una curva plana.

Movimiento en un campo central

El movimiento de una partícula en un campo central tiene al menos dos constantes de movimiento: la energía mecánica total (por ser el campo convervativo) y el momento angular. Como el movimiento tiene dos dimensiones, ya que se da sobre un plano, las ecuaciones del movimiento y de la trayectoria son totalmente integrables por el método de cuadraturas.

Para ver esto escribamos primero el lagrangiano, que expresado en coordenadas polares sobre el plano del movimiento resulta ser tan sencillo como:

(3)${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2})-U(r)}$

Por lo que las ecuaciones de movimiento, obtenidas substituyendo el lagrangiano anterior en las ecuaciones de Euler-Lagrange son simplemente:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\phi }})=0\qquad m{\ddot {r}}-mr{\dot {\phi }}^{2}+{\frac {\partial U}{\partial r}}=0}$

De la primera de ellas se obtiene que la cantidad entre paréntesis, que coincide con el módulo del momento angular L_z permanece constante, de acuerdo con lo que sabíamos. Substiyendo ese resultado en la ecuación de la energía total tenemos:

(4)${\displaystyle {\frac {1}{2}}m({\dot {r}}+r^{2}{\dot {\phi }})+U(r)={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{mr^{2}}}+U(r)=E}$

Y esta última ecuación puede integrarse sin dificultad, obteniéndose la siguiente cuadratura:

(5)${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{dt}}={\sqrt {{\frac {2}{m}}\left[E-U(r)\right]-{\frac {L_{z}^{2}}{m^{2}r^{2}}}}}\qquad \Rightarrow \qquad t=\int {\frac {dr}{\sqrt {{\frac {2}{m}}\left[E-U(r)\right]-{\frac {L_{z}^{2}}{m^{2}r^{2}}}}}}+{\mbox{cte}}}$

Esa ecuación da implícitamente la relación de la distancia entre el centro del campo y la partícula que se mueve a lo largo del tiempo. Para encontrar la trayectoria basta usar:

(6)${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {L_{z}^{2}}{mr^{2}}}\qquad \Rightarrow \qquad \phi =\int {\frac {1}{r}}{\frac {L_{z}dr}{\sqrt {2mr^{2}\left[E-U(r)\right]-L_{z}^{2}}}}+{\mbox{cte}}}$

Descripción del movimiento

La ecuación (4) implica que el movimiento de una partícula en un campo central respecto a la coordenada radial r se parece a un momvimiento unidimensional en que la energía potencial ha sido corregida por un término dependiente de L_z (usualmente llamado barrera centrífuga). Eso implica que el movimiento de la coordenada r está acotado entre un valor máximo ${\displaystyle r_{max}\,}$ y un mínimo ${\displaystyle r_{min}\,}$, es decir la coordenada r tiene una variación periódica.

Sin embargo, en general el movimiento en un campo central no resulta periódico, sino cuasiperiódico, ya que es la composición de dos movimientos periódicos, en ${\displaystyle r\;}$ y en ${\displaystyle \phi \;}$, de períodos que en general no coincidirán. Cuando la coordenada radial experimenta un ciclo completo, la coordenada polar habrá tenido una variación dada por:¹

(7)${\displaystyle \Delta \phi =2\int _{r_{min}}^{r_{max}}{\frac {1}{r}}{\frac {L_{z}dr}{\sqrt {2mr^{2}\left[E-U(r)\right]-L_{z}^{2}}}}=2\pi \cdot c}$

La condición de que la trayectoria sea perfectamente cerrada, y por tanto periódica, equivale a que en la igualdad anterior ${\displaystyle c\in \mathbb {Q} }$, cosa que en general no se cumplirá. Si c es efectivamente racional la "órbita" o trayectoria será periódica, sin por el contrario c no resulta racional el movimiento será sólo cuasiperiódico y la órbita será un conjunto denso que "llena" el anillo comprendido entre, r = r_min y r = r_max.

Fuerza central

La fuerza de atracción entre un planeta y el Sol es central y conservativa. La fuerza de repulsión entre una partícula alfa y un núcleo es también central y conservativa. En este apartado estudiaremos la primera, dejando para más adelante la segunda, en el estudio del fenómeno de la dispersión, que tanta importancia tuvo en el descubrimiento de la estructura atómica.

Una fuerza es central, cuando el vector posición r es paralelo al vector fuerza F. El momento de la fuerza M=r´F=0. De la relación entre le momento de las fuerzas que actúa sobre la partícula y el momento angular, (Teorema del momento angular) se concluye que

El momento angular permanece constante en módulo, dirección y sentido.

El momento angular L de una partícula es el vector resultado del producto vectorial L=r´mv, cuya dirección es perpendicular al plano determinado por el vector posición r y el vector velocidad v.

Como el vector L permanece constante en dirección, r y v estarán en un plano perpendicular a la dirección fija de L.De aquí, se concluye que la trayectoria del móvil estará contenida en un plano perpendicular al vector momento angular L

Cuando los vectores r y v son paralelos, es decir, la dirección del movimiento pasa por el origen, el momento angular L=0. La partícula describe un movimiento rectilíneo, cuya aceleración no es constante.