Mecánica - La mecánica clásica

fuerza de empuje horizontal en superficies planas es la fuerza horizontal necesaria para mover un objeto que se encuentra en una superficie horizontal. La fórmula para calcular la fuerza de empuje horizontal en superficie plana es la siguiente:

${\displaystyle \mid {\vec {F}}_{empuje}\mid =m\cdot (\mid {\vec {a}}\mid -C_{din}\cdot \mid {\vec {g}}\mid )}$

o, proyectando los vectores:

${\displaystyle F_{empuje}=m\cdot (a-C_{din}\cdot g)}$

Esquema del diagrama de cuerpo libre, con las fuerzas exteriores que actúan sobre el bloque en el problema de la fuerza de empuje horizontal.

Descripción

Esta fuerza de empuje (no confundir con la fuerza que un fluido dentro de un campo gravitatorio ejerce sobre cualquier cuerpo sumergido en él) puede ser calculada por un método sencillo. Sólo se debe recordar la Segunda Ley de Newton así como la fórmula para calcular el rozamiento dinámico (o fricción dinámica). Por un lado se tiene que tomar en cuenta que la Segunda Ley de Newton enuncia en términos prácticos que la fuerza resultante de un cuerpo es igual a su masa inercial por su aceleración.

${\displaystyle {\vec {F}}_{total}=m\cdot {\vec {a}}}$

Por otro lado se debe saber que el rozamiento de un cuerpo es la fricción que hay entre dos cuerpos, donde ambos se encuentran en movimiento relativo y se deslizan uno sobre otro. La fórmula del rozamiento dinámico (en módulo) es la siguiente.

${\displaystyle \mid {\vec {F}}_{din}\mid =C_{din}\cdot \mid {\vec {N}}\mid }$

donde:

${\displaystyle \mid {\vec {F}}_{din}\mid }$ es el módulo del rozamiento dinámico

C_din es el coeficiente de rozamiento dinámico y

${\displaystyle {\vec {N}}}$ es el módulo de la fuerza normal

Es usual en los textos encontrar el coeficiente de rozamiento cinético (aquí llamado dinámico) con la notación μk.

Fuerza normal

La Tercera Ley de Newton dice que toda fuerza de acción sobre un cuerpo tiene una fuerza de reacción con la misma magnitud, pero en dirección contraria. Por lo tanto como el peso es una fuerza, existirá una fuerza de reacción que se ejerce sobre la tierra y es opuesta al peso. Si el objeto está apoyado sobre una superficie horizontal y no acelera verticalmente, deducimos que sobre él se está ejerciendo una fuerza que equilibra al peso. A esta fuerza perpendicular a la superficie y opuesta al peso se le llama fuerza normal. La fuerza normal de una superficie horizontal plana sobre un objeto que empujado con una fuerza horizontal siempre será de igual magnitud al peso pero con dirección opuesta. Por ejemplo si se tira de una caja sobre el suelo con una fuerza horizontal y el peso es ${\displaystyle {\vec {F}}_{g}=-8{\vec {j}}N}$ entonces la normal será ${\displaystyle {\vec {N}}=+8{\vec {j}}N}$. En este ejemplo la componente normal de la fuerza es de igual magnitud pero de dirección contraria. La fuerza de la gravedad es una fuerza dirigida siempre hacia el centro de la Tierra. Por ello, como la normal tiene dirección hacia arriba tendrá signo positivo.

${\displaystyle {\vec {F_{g}}}=m\cdot {\vec {g}}}$

La fuerza normal será igual pero con signo contrario:

${\displaystyle {\vec {N}}=-m\cdot {\vec {g}}}$

donde m es la masa del objeto sobre la superficie y ${\displaystyle {\vec {g}}}$ es la gravedad, vector que tiene como valor, aproximadamente constante en toda la superficie de la Tierra, ${\displaystyle {\vec {g}}=-9.8{\vec {j}}}$ (ms^-2).

Se debe sustituir la fórmula de la fuerza normal en la fórmula de la fricción cinética:

Si

${\displaystyle \mid {\vec {F}}_{din}\mid =C_{din}\cdot \mid {\vec {N}}\mid }$

y

${\displaystyle {\vec {N}}=-m\cdot {\vec {g}}}$

entonces

${\displaystyle \mid {\vec {F}}_{din}\mid =C_{din}\cdot \mid -m\cdot {\vec {g}}\mid }$

Solo si la fuerza de empuje y la superficie son horizontales.

Coeficiente de rozamiento

Para calcular la fricción no sólo se necesita la normal sino también un coeficiente de rozamiento dinámico, denominado C_din. Este es el valor constante de fricción entre una superficie y un objeto sobre ella. Aunque el coeficiente de fricción no tiene una fórmula analítica para ser calculado este dato lo dará el propio problema. Puede obtenerse de tablas experimentales de coeficientes de rozamiento entre dos materiales distintos, por ejemplo, acero-acero, acero-aluminio, acero-madera, etc. Por ejemplo el coeficiente de rozamiento dinámico entre una lámina y una pelota de hule es de 0,25.

1. Se cumple que:

${\displaystyle {\vec {F}}_{total}=m\cdot {\vec {a}}}$

y también que

${\displaystyle {\vec {F}}_{total}={\vec {F}}_{empuje}+{\vec {F}}_{din}}$

donde las direcciones de la fuerza de empuje son siempre opuestas, con lo que también puede escribirse la fórmula en módulo como:

${\displaystyle \mid {\vec {F_{total}}}\mid =\mid {\vec {F}}_{empuje}\mid -\mid {\vec {F}}_{din}\mid }$

Esta ecuación indica que la fuerza que actúa sobre el objeto no es exactamente la de empuje, sino que habría que restarle la fuerza de resistencia que es la de rozamiento. Si se empuja hacia delante la fuerza de rozamiento empuja hacia atrás. Ambas fuerzas no tienen porqué estar ejerciéndose en el mismo plano, con lo que puede generarse un momento o torque. Por ejemplo, si se empuja horizontalmente una caja sobre una superficie también horizontal, con una fuerza de 8 N y el rozamiento dinámico es de 2 N, la verdadera fuerza que actuará sobre la caja es de 6 newtons.

2. Se puede igualar las dos fórmulas de la fuerza total, obteniendo:

${\displaystyle \mid m\cdot {\vec {a}}\mid =\mid {\vec {F}}_{empuje}\mid -\mid {\vec {F}}_{din}\mid }$

3. Se puede despejar ${\displaystyle \mid {\vec {F}}_{empuje}\mid }$ que es lo que se quiere calcular. Entonces:

${\displaystyle \mid {\vec {F}}_{empuje}\mid =\mid m\cdot {\vec {a}}\mid +\mid {\vec {F}}_{din}\mid }$

4. Se puede sustituir ${\displaystyle \mid {\vec {F}}_{din}\mid }$ por la última fórmula establecida para esta ${\displaystyle \mid {\vec {F}}_{din}\mid =C_{din}\cdot \mid -m\cdot {\vec {g}}\mid }$. Entonces:

${\displaystyle \mid {\vec {F}}_{empuje}\mid =\mid m\cdot {\vec {a}}\mid +C_{din}\cdot \mid -m\cdot {\vec {g}}\mid }$

5. Factorizando "m" (masa) se tendrá:

${\displaystyle \mid {\vec {F}}_{empuje}\mid =m\cdot (\mid {\vec {a}}\mid -C_{din}\cdot \mid {\vec {g}}\mid )}$

o, proyectando los vectores:

${\displaystyle F_{empuje}=m\cdot (a-C_{din}\cdot g)}$

Esta última fórmula es la fórmula con la que se puede calcular la fuerza de empuje de un objeto sobre una superficie horizontal. El problema siempre dará la masa (m), la aceleración (a) y el coeficiente de rozamiento (C_din).

Cuando se habla de fuerza horizontal quiere decirse que la fuerza total aplicada se realiza en un ángulo de 0 grados o radianes.

aceleración de Euler, también conocida como aceleración acimutal¹ o aceleración transversal² es una aceleración que aparece cuando se usa un marco de referencia en rotación no uniforme para el análisis del movimiento y cuando hay una variación de la velocidad angular del eje del marco de referencia. A partir de multiplicar la aceleración de Euler, ${\displaystyle a_{\text{Euler}}}$, por la masa, m, de un objeto ubicado en un sistema de referencia de este tipo se obtiene la fuerza de Euler: ${\displaystyle F_{\text{Euler}}=ma_{\text{Euler}}}$. Esta última es una fuerza ficticia que es sentida por el objeto sometido a este tipo de rotación.

La aceleración y la fuerza de Euler reciben estos nombres en honor al físico y matemático suizo Leonhard Euler.

Aceleración de Euler

La dirección y la magnitud de la aceleración de Euler están dadas por:

${\displaystyle \mathbf {a} _{\text{Euler}}=-{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$,

donde ω es el vector de velocidad angular y r es el vector de posición en donde se desea medir la aceleración relativo al eje de rotación.

Fuerza de Euler

A partir de la definición de aceleración de Euler, la fuerza de Euler es

${\displaystyle \mathbf {F} _{\text{Euler}}=m\mathbf {a} _{\text{Euler}}=-m{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {r} }$,

siendo m la masa del objeto sobre el cual se ejerce la fuerza ficticia.

El movimiento de dos masas puntuales bajo la acción de la fuerza de atracción mutua es un problema simple: Los dos cuerpos se mueven en órbitas elípticas alrededor de su centro de masas. El movimiento de tres cuerpos es muy complejo.

El problema de Euler de los tres cuerpos, es un sistema formado por dos cuerpos de gran masa fijos en el espacio, separados una distancia d, y una partícula de pequeña masa m que se mueve en el espacio circundante. Este problema se puede resolver analíticamente, pero es bastante complicado.

En esta página, se plantean las ecuaciones del movimiento y se resuelven aplicando procedimientos numéricos.

Ecuaciones del movimiento

Los cuerpos fijos en el espacio tiene masas M₁ y M₂, y están separados una distancia d. Estableceremos un Sistema de Referencia, con el origen en el primer cuerpo, y el eje X es la recta que une sus centros, tal como se muestra en la figura.

Cuando la partícula se encuentra en la posición (x, y), las fuerzas de atracción que ejerce cada uno de los cuerpos sobre la pequeña partícula se muestran en la figura, sus módulos valen

Descomponemos las fuerzas. Las ecuaciones del movimiento de la partícula de masa m son:

Tenemos un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden

Que se resuelven por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales siguientes: En el instante t=0, la partícula se encuentra en la posición (x₀, y₀) y las componentes de su velocidad inicial son, (v_0x, v_0y).

Escalas

Antes de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales por procedimientos numéricos, es conveniente prepararlas para que el ordenador no maneje números excesivamente grandes o pequeños.

Establecemos un sistema de unidades en el que la longitud se mide en unidades astronómicas, la distancia media entre el Sol y la Tierra. L=una UA=1.496·10¹¹ m y el tiempo en unidades de año, P=un año= 365.26 días=3.156·10⁷ s.

Supongamos el primer cuerpo es el Sol, M₁= 1.98·10³⁰ kg y la masa del segundo cuerpo es un múltiplo de la masa del Sol, M₂=αM₁

En el nuevo sistema de unidades x=Lx', t=P·t', la primera ecuación diferencial se escribe

y de forma similar la segunda ecuación diferencial.

Como L es el semieje mayor de la órbita de la Tierra alrededor del Sol, P es el periodo o tiempo que tarda en dar una vuelta completa, y M₁ es la masa del Sol. Por la tercera ley de Kepler, el término

Volviendo a la notación previa: x e y para la posición y t para el tiempo en el nuevo sistema de unidades. El sistema de ecuaciones diferenciales se escribe

Se resuelve este sistema de ecuaciones diferenciales por el procedimiento de Runge-Kutta, con un paso variable. Este paso se ha elegido de modo que cuando la partícula está alejada de los cuerpos fijos el paso es grande y cuando está cerca de alguno de los dos cuerpos el paso es pequeño.

Principio de conservación de la energía

La energía total de la partícula es una constante del movimiento.

La energía de la partícula de masa m en el instante inicial t=0 es

Cuando E₀<0 a="" confinada="" cuando="" cuerpos.="" cula="" dos="" el="" en="" espacio="" i="" la="" los="" nbsp="" part="" permanece="" que="" rodea="">E₀

≥0 la partícula escapa al infinito

La energía de la partícula en el instante t es igual a

En el nuevo sistema de unidades establecido, las magnitudes velocidad y posición están relacionadas del siguiente modo:

v=v’·L/P, x=x’·L, y=y’·L, d=d’·L

Volviendo a la notación previa. Definimos una nueva energía e por unidad de masa en este sistema de unidades

El programa interactivo evalúa en cada instante el cociente

que denominaremos tanto por ciento de error. Cuando la energía e difiere de e₀ de modo que el cociente es mayor que la unidad, el programa interactivo se detiene, la trayectoria calculada puede que se desvíe significativamente de la real.