Algoritmos

algoritmos de búsquedas de raíces

El método de Laguerre es un método numérico de uso exclusivo para resolver ecuaciones algebraicas polinómicas (no se puede usar para otro tipo de ecuaciones) que nos permite calcular las raíces reales y complejas de cualquier ecuación algebraica de grado n realizando iteraciones. Posee orden de convergencia cúbica para raíces de multiplicidad unitaria, pero puede tener órdenes de convergencia menor si la raíz a calcular es de multiplicidad dos o mayor.

Método de Laguerre

Sea P(x) un polinomio real cualquiera en una sola variable x de la forma

${\displaystyle P(x)=x^{n}+a_{n-1}\,x^{n-1}+\cdots +a_{1}\,x+a_{0},}$,

que se ha puesto por comodidad normalizado ${\displaystyle a_{n}=1\,}$ y el cual al hacerse ${\displaystyle P(x)=0}$ se transforma en una ecuación algebraica con ${\displaystyle n\,}$ raíces denotadas como ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n-1},z_{n}}$, que deseamos poder calcular como función de sus coeficientes polinómicos. Sean

• ${\displaystyle G={\frac {P'(x_{k})}{P(x_{k})}}}$
• ${\displaystyle H=G^{2}-{\frac {P''(x_{k})}{P(x_{k})}}}$
• ${\displaystyle s_{k}={\frac {n}{G+{\text{sign(G+0)}}\cdot {\sqrt {(n-1)(nH-G^{2})}}}}}$
• ${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-s_{k}}$

método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

Historia

El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en De analysi per aequationes numero terminorum infinitas ('Sobre el análisis mediante ecuaciones con un número infinito de términos', escrito en 1669, publicado en 1711 por William Jones) y en De metodis fluxionum et serierum infinitarum (escrito en 1671, traducido y publicado como Método de las fluxiones en 1736 por John Colson). Sin embargo, su descripción difiere en forma sustancial de la descripción moderna presentada más arriba: Newton aplicaba el método solo a polinomios, y no consideraba las aproximaciones sucesivas x_n, sino que calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y falla al no ver la conexión con el cálculo.

Isaac Newton probablemente derivó su método de forma similar aunque menos precisa del método de François Viète. La esencia del método de Viète puede encontrarse en el trabajo del matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi.

El método de Newton-Raphson es llamado así por el matemático inglés Joseph Raphson (contemporáneo de Newton) se hizo miembro de la Royal Society en 1691 por su libro "Aequationum Universalis", publicado en 1690, que contenía este método para aproximar raíces. Newton en su libro Método de las fluxiones describe el mismo método, en 1671, pero no fue publicado hasta 1736, lo que significa que Raphson había publicado este resultado 46 años antes. Aunque no fue tan popular como los trabajos de Newton, se le reconoció posteriormente.

Descripción del método

La función ƒ es mostrada en azul y la línea tangente en rojo. Vemos que x_n+1 es una mejor aproximación que x_n para la raíz x de la función f.

El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que no está garantizada su convergencia global. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor puesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.

Sea f: [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x₀ y definimos para cada número natural n

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}.}$

Donde f ' denota la derivada de f.

Nótese que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable con forma analítica o implícita conocible. Existen variantes del método aplicables a sistemas discretos que permiten estimar las raíces de la tendencia, así como algoritmos que extienden el método de Newton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etcétera.

Obtención del Algoritmo

Tres son las formas principales por las que tradicionalmente se ha obtenido el algoritmo de Newton-Raphson.

La primera de ellas es una simple interpretación geométrica. En efecto, atendiendo al desarrollo geométrico del método de la secante, podría pensarse en que si los puntos de iteración están lo suficientemente cerca (a una distancia infinitesimal), entonces la secante se sustituye por la tangente a la curva en el punto. Así pues, si por un punto de iteración trazamos la tangente a la curva, por extensión con el método de la secante, el nuevo punto de iteración se tomará como la abscisa en el origen de la tangente (punto de corte de la tangente con el eje X). Esto es equivalente a linealizar la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (${\displaystyle x_{0}}$, ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x_{0}}$)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, ${\displaystyle f'(x_{0})}$. La nueva aproximación a la raíz, ${\displaystyle x_{1}}$, se logra de la intersección de la función lineal con el eje X de abscisas. Matemáticamente:

${\displaystyle f'(x_{n})={\frac {f(x_{n})}{x_{n}-x_{n+1}}}}$

Ilustración de una iteración del método de Newton (la función f se muestra en azul y la línea de la tangente en rojo). Vemos que ${\displaystyle x_{n+1}}$ es una aproximación mejor que ${\displaystyle x_{n}}$ para la raíz ${\displaystyle x}$ de la función ${\displaystyle f}$.

En la ilustración adjunta del método de Newton se puede ver que ${\displaystyle x_{n+1}}$ es una mejor aproximación que ${\displaystyle x_{n}}$ para el cero (x) de la función f.

Una forma alternativa de obtener el algoritmo es desarrollando la función f (x) en serie de Taylor, para un entorno del punto ${\displaystyle x_{n}}$:

${\displaystyle f(x)=f(x_{n})+f'(x_{n})(x-x_{n})+(x-x_{n})^{2}{\frac {f''(x_{n})}{2!}}+...\,}$

Si se trunca el desarrollo a partir del término de grado 2, y evaluamos en ${\displaystyle x_{n+1}}$:

${\displaystyle f(x_{n+1})=f(x_{n})+f'(x_{n})(x_{n+1}-x_{n})\,}$

Si además se acepta que ${\displaystyle x_{n+1}}$ tiende a la raíz, se ha de cumplir que ${\displaystyle f(x_{n+1})=0}$, luego, sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos el algoritmo.

Finalmente, hay que indicar que el método de Newton-Raphson puede interpretarse como un método de iteración de punto fijo. Así, dada la ecuación ${\displaystyle f(x)=0}$, se puede considerar el siguiente método de iteración de punto fijo:

${\displaystyle g(x)=x+h(x)f(x)\,}$

Se escoge h (x) de manera que g'(r)=0 (r es la raíz buscada). Dado que g'(r) es:

${\displaystyle g'(r)=1+h'(r)f(r)+h(r)f'(r)=1+h(r)f'(r)\,}$

Entonces:

${\displaystyle h(r)={\frac {-1}{f'(r)}}}$

Como h (x) no tiene que ser única, se escoge de la forma más sencilla:

${\displaystyle h(x)={\frac {-1}{f'(x)}}}$

Por tanto, imponiendo subíndices:

${\displaystyle g(x_{n})=x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}$

Expresión que coincide con la del algoritmo de Newton-Raphson

Convergencia del Método

El orden de convergencia de este método es, por lo menos, cuadrático.

Existen numerosas formas de evitar este problema, como pudieran ser los métodos de aceleración de la convergencia tipo Δ² de Aitken o el método de Steffensen.

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-m{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}.}$

Evidentemente, este método exige conocer de antemano la multiplicidad de la raíz, lo cual no siempre es posible. Por ello también se puede modificar el algoritmo tomando una función auxiliar g(x) = f(x)/f'(x), resultando:

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {g(x_{n})}{g'(x_{n})}}.}$

Su principal desventaja en este caso sería lo costoso que pudiera ser hallar g(x) y g'(x) si f(x) no es fácilmente derivable.

Por otro lado, la convergencia del método se demuestra cuadrática para el caso más habitual sobre la base de tratar el método como uno de punto fijo: si g '(r)=0, y g''(r) es distinto de 0, entonces la convergencia es cuadrática. Sin embargo, está sujeto a las particularidades de estos métodos.

Nótese de todas formas que el método de Newton-Raphson es un método abierto: la convergencia no está garantizada por un teorema de convergencia global como podría estarlo en los métodos de falsa posición o de bisección. Así, es necesario partir de una aproximación inicial próxima a la raíz buscada para que el método converja y cumpla el teorema de convergencia local.

Teorema de Convergencia Local del Método de Newton

Sea ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{2}([a,b])}$. Si ${\displaystyle p\in [a,b]}$, ${\displaystyle \displaystyle f(p)=0}$ y ${\displaystyle f'(p)\neq 0}$, entonces existe un r>0 tal que si ${\displaystyle |x_{0}-p|$, entonces la sucesión x_n con ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ verifica que:

${\displaystyle |x_{n}-p|$ para todo n y x_n tiende a p cuando n tiende a infinito.

Si además ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{3}([a,b])}$, entonces la convergencia es cuadrática.

Teorema de Convergencia Global del Método de Newton

Sea ${\displaystyle f\in {{\mathcal {C}}^{2}[a,b]}}$ verificando:¹

1. ${\displaystyle f(a)f(b)<0 annotation="">$
2. ${\displaystyle f'(x)\neq 0}$ para todo ${\displaystyle x\in {[a,b]}}$
3. ${\displaystyle f''(x)f''(y)\geq 0}$ para todo ${\displaystyle x,y\in {[a,b]}}$
4. ${\displaystyle \max \left\{{{\frac {\left|{f(a)}\right|}{\left|{f'(a)}\right|}},{\frac {\left|{f(b)}\right|}{\left|{f'(b)}\right|}}}\right\}\leq b-a}$

Entonces existe un único ${\displaystyle s\in {[a,b]}}$ tal que ${\displaystyle f(s)=0}$ por lo que la sucesión converge a s.

Estimación del Error

Se puede demostrar que el método de Newton-Raphson tiene convergencia cuadrática: si ${\displaystyle \alpha }$ es raíz, entonces:

${\displaystyle |x_{k+1}-\alpha |\leq C|x_{k}-\alpha |^{2}}$

para una cierta constante ${\displaystyle C}$. Esto significa que si en algún momento el error es menor o igual a 0,1, a cada nueva iteración doblamos (aproximadamente) el número de decimales exactos. En la práctica puede servir para hacer una estimación aproximada del error:

Error relativo entre dos aproximaciones sucesivas:

${\displaystyle E={\frac {|x_{k+1}-x_{k}|}{|x_{k+1}|}}}$

Con lo cual se toma el error relativo como si la última aproximación fuera el valor exacto. Se detiene el proceso iterativo cuando este error relativo es aproximadamente menor que una cantidad fijada previamente.

Ejemplo

Consideremos el problema de encontrar un número positivo x tal que cos(x) = x³. Podríamos tratar de encontrar el cero de f(x) = cos(x) - x³.

Sabemos que f '(x) = -sin(x) - 3x². Ya que cos(x) ≤ 1 para todo x y x³ > 1 para x>1, deducimos que nuestro cero está entre 0 y 1. Comenzaremos probando con el valor inicial x₀ = 0,5

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{1}&=&x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}&=&0,5-{\frac {\cos(0,5)-0,5^{3}}{-\sin(0,5)-3\times 0,5^{2}}}&=&1,112141637097\\x_{2}&=&x_{1}-{\frac {f(x_{1})}{f'(x_{1})}}&&\vdots &=&{\underline {0}},909672693736\\x_{3}&&\vdots &&\vdots &=&{\underline {0,86}}7263818209\\x_{4}&&\vdots &&\vdots &=&{\underline {0,86547}}7135298\\x_{5}&&\vdots &&\vdots &=&{\underline {0,8654740331}}11\\x_{6}&&\vdots &&\vdots &=&{\underline {0,865474033102}}\end{matrix}}}$

Los dígitos correctos están subrayados. En particular, x₆ es correcto para el número de decimales pedidos. Podemos ver que el número de dígitos correctos después de la coma se incrementa desde 2 (para x₃) a 5 y 10, ilustrando la convergencia cuadrática.

Método de Newton

Este método parte de una aproximación inicial x₀ y obtiene una aproximación mejor, x₁, dada por la fórmula:

(29)

La expresión anterior puede derivarse a partir de un desarrollo en serie de Taylor. Efectivamente, sea r un cero de f y sea x una aproximación a r tal que r=x+h. Si f'' existe y es continua, por el teorema de Taylor tenemos:
 

0 = f(r) = f(x+h) = f(x) + hf'(x) + O(h2)

(30)

en donde h=r-x. Si x está próximo a r (es decir hes pequeña), es razonable ignorar el término O(h²):
 

0 = f(x) + hf'(x)

(31)

por lo que obtenemos la siguiente expresión para h:

(32)

A partir de la ecuación (32) y teniendo en cuenta que r=x+h es fácil derivar la ecuación (29).
 

   

Figure: Interpretación geométrica del método de Newton.

[scale=0.9]eps/new-1

  

El método de Newton tiene una interpretación geométrica sencilla, como se puede apreciar del análisis de la figura (6). De hecho, el método de Newton consiste en una linealización de la función, es decir, fse reemplaza por una recta tal  que contiene al punto (x₀,f(x₀)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, f'(x₀). La nueva aproximación a la raíz, x₁, se obtiene de la intersección de la función linear con el eje X de ordenadas.
Veamos como podemos obtener la ecuación (29) a partir de lo dicho en el párrafo anterior. La ecuación de la recta que pasa por el punto (x₀,f(x₀)) y de pendiente f'(x₀) es:
 

y - f(x0) = f'(x0)(x-x0)

(33)

de donde, haciendo y=0 y despejando x obtenemos la ecuación de Newton-Raphson (29).
 

   

Figure: Dos situaciones en las que el método de Newton no funciona adecuadamente: (a) el método no alcanza la convergencia y (b) el método converge hacia un punto que no es un cero de la ecuación.

[scale=0.9]eps/new-2

  

El método de Newton es muy rápido y eficiente ya que la convergencia es de tipo cuadrático (el número de cifras significativas se duplica en cada iteración). Sin embargo, la convergencia depende en gran medida de la forma que adopta la función en las proximidades del punto de iteración. En la figura (7) se muestran dos situaciones en las que este método no es capaz de alcanzar la convergencia (figura (7a)) o bien converge hacia un punto que no es un cero de la ecuación (figura (7b)).