Epónimos relacionados con las matemáticas

 fracción continua de Rogers–Ramanujan es una fracción continua descubierta por Rogers (1894) y más tarde estudiada por Srinivasa Ramanujan, íntimamente relacionada con las identidades de Rogers-Ramanujan, que puede ser evaluada explícitamente para determinados valores de su argumento.

Definición

La fracción continua de Ramanujan es

${\displaystyle 1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\cdots }}}}}}={\frac {G(q)}{H(q)}}=1+q-q^{3}+q^{5}-\cdots }$(sucesión A003823 en OEIS)

donde:

${\displaystyle G(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots }$ (sucesión A003114 en OEIS)

y

${\displaystyle H(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+\cdots .}$ (sucesión A003106 en OEIS)

son funciones que aparecen en las identidades de Rogers-Ramanujan.

Aquí, ${\displaystyle (a;q)_{\infty }}$ denota el símbolo q-Pochhammer para el caso infinito.

Formas modulares

Si q = e^2πiτ, entonces q^−1/60G(q) y q^11/60H(q) y también q^1/5H(q)/G(q)) son formas modulares de τ. Puesto que éstas tienen coeficientes enteros, la teoría de la multiplicación compleja implica que sus valores para τ siendo un número imaginario cuadrático irracional son números algebraicos que pueden ser evaluados explícitamente. En particular, la fracción continua de Ramanujan se pueden evaluar para estos valores de τ.

Ejemplos

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+\dots }}}}}}=\left({{\sqrt {5+{\sqrt {5}} \over 2}}-{{\sqrt {5}}+1 \over 2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left({{\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi }\right)=0.9981360\dots }$

donde ${\displaystyle \varphi }$ es el número áureo (Aproximadamente 1.618)

El inverso multiplicativo de esta expresión es:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad 1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\dots }}}}}}={\frac {1}{2}}\left[1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,e^{-2\pi /5}\\\\&={\frac {e^{-2\pi /5}}{{\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi }}=1.0018674\dots \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+\dots }}}}}}\\\\&=\left({\frac {\sqrt {5}}{1+[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1]^{1/5}}}-{\varphi }\right)\,e^{2\pi /{\sqrt {5}}}=0.99999920\dots \end{aligned}}}$

El inverso multiplicativo de esta expresión es:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad 1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+\dots }}}}\\\\&={\cfrac {e^{-2\pi /{\sqrt {5}}}}{{}\ \ {\cfrac {\sqrt {5}}{1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}}-\varphi \ \ {}}}=1.000000791267\dots \end{aligned}}}$

La distribución de Fréchet es un caso especial de la distribución de valores extremos generalizada. Su función de distribución es

${\displaystyle Pr(X\leq x)=e^{-x^{-\alpha }}{\text{ si }}x>0.}$

donde α>0 es el parámetro de forma. Puede generalizarse para incluir un parámetro de localizaciónm y escala s>0 quedando entonces de la forma

${\displaystyle Pr(X\leq x)=e^{-\left({\frac {x-m}{s}}\right)^{-\alpha }}{\text{ if }}x>m.}$

Recibe su nombre de Maurice Fréchet, que escribió un artículo relacionado con ella en 1927. También trabajaron con ella Fisher and Tippett en 1928 y Gumbel en 1958.

Fréchet
Parámetros	${\displaystyle \alpha \in (0,\infty ]}$ shape
Dominio	${\displaystyle x>0}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle \alpha \;x^{-1-\alpha }\;e^{-x^{-\alpha }}}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle e^{-x^{-\alpha }}}$
Media	${\displaystyle \Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right){\text{ if }}\alpha >1}$
Mediana	${\displaystyle \left({\frac {1}{\log _{e}(2)}}\right)^{1/\alpha }}$
Moda	${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{1+\alpha }}\right)^{1/\alpha }}$
Varianza	${\displaystyle \Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\left(\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{2}{\text{ if }}\alpha >2}$

 fórmula de Leibniz expresa el determinante de una matriz cuadrada en términos de permutaciones de los elementos de la matriz. Nombrado en honor de Gottfried Leibniz, la fórmula para una matriz de orden ${\displaystyle x\times n}$ es:

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i),i}}$

donde

${\displaystyle A=(a_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}$

y donde sgn es la función signo de permutaciones en el grupo de permutación S_n que devuelve +1 y −1 para permutaciones pares e impares, respectivamente.

Otra notación común usada para la fórmula utiliza símbolos de Levi-Civita y la notación de Einstein, quedando:

${\displaystyle \det(A)=\epsilon ^{i_{1}\cdots i_{n}}{a}_{1i_{1}}\cdots {a}_{ni_{n}},}$

que puede ser más familiar para los físicos.

Evaluar directamente la fórmula de Leibniz requiere ${\displaystyle \Omega (n!\cdot n)}$ operaciones en general —es decir un número de operaciones asintóticamente proporcional a n factorial— ya que n! es el número de permutaciones de orden n. En la práctica resulta difícil para valores de n grandes. En su lugar, el determinante se puede evaluar en O(n)³ operaciones mediante la descomposición LU] de la matriz ${\displaystyle A=LU}$ (normalmente a través de la eliminación gaussiana o métodos similares), en cuyo caso ${\displaystyle \det A=(\det L)(\det U)}$ y los determinantes de las matrices triangulares L y U son simplemente los productos de las entradas de sus diagonales principales (en la práctica de álgebra lineal, sin embargo, rara vez se requiere el cálculo explícito del determinante). Ver, por ejemplo, Trefethen y Bau (1997).

Declaración formal y prueba

Teorema. existe exactamenta una función:

${\displaystyle F:{\mathfrak {M}}_{n}(\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} }$

que es alterna multilineal columnas w.r.t. y de tal manera que ${\displaystyle F(I)=1}$.

Prueba.

Singularidad: Sea ${\displaystyle F}$ una función de este tipo, y sea ${\displaystyle A=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}^{j=1,\dots ,n}}$ una ${\displaystyle n\times n}$ matriz. Llámese ${\displaystyle A^{j}}$ la ${\displaystyle j}$-la columna de ${\displaystyle A}$, i.e. ${\displaystyle A^{j}=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}}$ de modo que ${\displaystyle A=\left(A^{1},\dots ,A^{n}\right).}$

También, sea ${\displaystyle E^{k}}$ la ${\displaystyle k}$ columna-vector de la matriz de identidad.

Ahora se escribe cada uno de los ${\displaystyle A^{j}}$'s en términos de la ${\displaystyle E^{k}}$, por ejemplo:

${\displaystyle A^{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{j}E^{k}}$.

Como ${\displaystyle F}$ es multilineal, uno tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=F\left(\sum _{k_{1}=1}^{n}a_{k_{1}}^{1}E^{k_{1}},\dots ,\sum _{k_{n}=1}^{n}a_{k_{n}}^{n}E^{k_{n}}\right)\\&=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=1}^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{k_{i}}^{i}\right)F\left(E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{n}}\right).\end{aligned}}}$

A partir de la alternativa se sigue que cualquier plazo con índices repetidos es cero. Por consiguiente, la suma puede ser restringido a las tuplas con índices que no se repiten, es decir, permutaciones:

${\displaystyle F(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(E^{\sigma (1)},\dots ,E^{\sigma (n)}).}$

Debido a que F es alterna, las columnas ${\displaystyle E}$ pueden ser cambiadas hasta que se convierte en la identidad. La [[también permutaciones impares|Función signo]] se define para contar el número de intercambios necesarios y cuenta para el cambio de signo resultante. Uno finalmente obtiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(I)\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\end{aligned}}}$

Como ${\displaystyle F(I)}$ se requiere para ser igual a ${\displaystyle 1}$.

Por lo tanto ninguna función además de la función definida por la fórmula Leibniz es una función de alternación multilineal ${\displaystyle F\left(I\right)=1}$.

Existencia: Vamos a demostrar que F, dond F es la función definida por la fórmula de Leibniz, tiene estas tres propiedades.

Multilineal

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A^{1},\dots ,cA^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )ca_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=c\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=cF(A^{1},\dots ,A^{j},\dots )\\\\F(A^{1},\dots ,b+A^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(b_{\sigma (j)}+a_{\sigma (j)}^{j}\right)\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\left(b_{\sigma (j)}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\right)\\&=\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{\sigma (j)}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\\&=F(A^{1},\dots ,b,\dots )+F(A^{1},\dots ,A^{j},\dots )\\\\\end{aligned}}}$

Alterna:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}\\\end{aligned}}}$

Para cualquier ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$ permite ${\displaystyle \sigma '}$ ser igual a la tupla ${\displaystyle \sigma }$ con el ${\displaystyle j_{1}}$ ${\displaystyle j_{2}}$ los índices cambiaron.

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\left[\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}+\operatorname {sgn}(\sigma ')\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma '(i)}^{i}\right)a_{\sigma '(j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma '(j_{2})}^{j_{2}}\right]\\&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\left[\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{2})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}\right]\\&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\left(a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{_{1}}}\right)\\\\\end{aligned}}}$

Por lo tanto, si ${\displaystyle A^{j_{1}}=A^{j_{2}}}$ entonces ${\displaystyle F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )=0}$.

Finalmente, ${\displaystyle F(I)=1}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\\F(I)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}I_{\sigma (i)}^{i}\\&=\sum _{\sigma =(1,2,\dots ,n)}\prod _{i=1}^{n}I_{i}^{i}\\&=1\end{aligned}}}$

Así, las únicas funciones que son multilineal que alternan con ${\displaystyle F(I)=1}$ se restringen a la función definida por la fórmula Leibniz, y que de hecho, también tiene estas tres propiedades. Por lo tanto el determinante se puede definir como la única función:

${\displaystyle \det :{\mathfrak {M}}_{n}(\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} }$

con estas tres propiedades.

Determinante de una matriz cuadrada

En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.     METODO DE CÁLCULO:   Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla recursiva (teorema de Laplace) que reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un orden inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera. Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, es posible calcular el determinante de cualquier matriz aplicando dicho teorema. Además de esta regla, para calcular determinantes de matrices de cualquier orden podemos usar otra definición de determinante conocida como Fórmula de Leibniz. La fórmula de Leibniz para el determinante de una matriz cuadrada A de orden n es: donde la suma se calcula sobre todas las permutaciónes σ del conjunto {1,2,...,n}. La posición del elemento i después de la permutación σ se denota como σi. El conjunto de todas las permutaciones es Pn. Para cada σ, sgn(σ) es la signaura de σ, esto es +1 si la permutación es par y −1 si es impar (ver Paridad de permutaciones). En cualquiera de los  sumandos, el término denota el producto de las entradas en la posición (i, σi), donde i va desde 1 hasta n: La fórmula de Leibniz es útil como definición de determinante; pero, excepto en casos muy pequeños, no es una forma práctica de calcularlo: hay que llevar a cabo n! productos de n factores y sumar n! elementos. No se suele usar para calcular el determinante si la matriz tiene más de tres filas. Matrices de orden inferior El caso de matrices de orden inferior (orden 1, 2 ó 3) es tan sencillo que su determinante se calcula con sencillas reglas conocidas. Dichas reglas son también deducibles del teorema de Laplace. Una matriz de orden uno, es un caso trivial, pero lo trataremos para completar todos los casos. Una matriz de orden uno puede ser tratada como un escalar, pero aquí la consideraremos una matriz cuadrada de orden uno: El valor del determinante es igual al único termino de la matriz: Los determinantes de una matriz de orden 2: se calculan con la siguiente fórmula: Dada una matriz de orden 3: En determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus: