Epónimos relacionados con las matemáticas

La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado n. Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y n, y se van tachando los números que no son primos de la siguiente manera: Comenzando por el 2, se tachan todos sus múltiplos; comenzando de nuevo, cuando se encuentra un número entero que no ha sido tachado, ese número es declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos, así sucesivamente. El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo o no lo es.

Animación de la criba de Eratóstenes para números primos menores que 120. Se incluye la optimización de comenzar por los cuadrados de números primos.

Proceso de criba

Determinemos, mediante el siguiente ejemplo, el proceso para determinar la lista de los números primos menores de 20.

1. Primer paso: listar los números naturales comprendidos entre 2 y 20.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

2. Segundo paso: Se toma el primer número no rayado ni marcado, como número primo.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

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14

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16

17

18

19

20

3. Tercer paso: Se tachan todos los múltiplos del número que se acaba de indicar como primo.

2

3

4

5

6

7

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9

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11

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13

14

15

16

17

18

19

20

4. Cuarto paso: Si el cuadrado del primer número que no ha sido rayado ni marcado es inferior a 20, entonces se repite el segundo paso. Si no, el algoritmo termina, y todos los enteros no tachados son declarados primos.

Como 3² = 9 < 20, se vuelve al segundo paso:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

En el cuarto paso, el primer número que no ha sido tachado ni marcado es 5. Como su cuadrado es mayor que 20, el algoritmo termina y se consideran primos todos los números que no han sido tachados.

Como resultado se obtienen los números primos comprendidos entre 2 y 20, y estos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Refinamiento

Un refinamiento de la criba consiste en tachar los múltiplos del k-ésimo número primo p_k, comenzando por p_k² pues en los anteriores pasos se habían tachado los múltiplos de p_k correspondientes a todos los anteriores números primos, esto es, 2p_k, 3p_k, 5p_k,..., hasta (p_k-1)p_k. El algoritmo acabaría cuando p²_k>n ya que no habría nada que tachar.¹

Otro refinamiento consiste en generar una lista sólo con números impares (pues los números pares distintos de 2 se sabe que no son primos), e ir tachando los múltiplos de los números primos mediante incrementos de 2p, es decir, los múltiplos impares (2k+1)p de cada primo p. Esto aparece en el algoritmo original.¹

Pseudocódigo

Algoritmo Criba de Eratóstenes (Complejidad ${\displaystyle O(n~\log \log n)}$)

Entrada: Un número natural ${\displaystyle n}$ Salida: El conjunto de números primos anteriores a ${\displaystyle n}$ (incluyendo ${\displaystyle n}$) Escriba todos los números naturales desde ${\displaystyle 2}$ hasta ${\displaystyle n}$ Para ${\displaystyle i}$ desde ${\displaystyle 2}$ hasta ${\displaystyle \lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }$ haga lo siguiente: Si ${\displaystyle i}$ no ha sido marcado entonces: Para ${\displaystyle j}$ desde ${\displaystyle i}$ hasta ${\displaystyle n\div i}$ haga lo siguiente: Ponga una marca en ${\displaystyle i\times j}$ El resultado es: Todos los números sin marca

Acerca de la notación:

• ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ es la función parte entera de ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle a\div b}$ es el cociente de dividir ${\displaystyle a}$ entre ${\displaystyle b}$

Para su implementación en una computadora, normalmente se maneja un vector de tipo lógico con ${\displaystyle n}$ elementos. De esta manera, la posición ${\displaystyle i}$ contiene el valor Verdadero como representación de que ${\displaystyle i}$ ha sido marcado y Falso en otro caso.

Criba de Euler

Una forma especial de la criba de Eratóstenes aplicada se puede encontrar en la demostración del producto de Euler para la función zeta de Riemann por parte de Leonhard Euler, y muestra una forma original de obtener dicho producto, utilizando una modificación de dicha criba. La función zeta de Riemann se representa como

${\displaystyle \zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\cdots }$

Multiplicando ambos miembros por ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2^{s}}}}$ se obtiene una nueva serie, y restando esta nueva serie a la serie original miembro a miembro y término a término, se eliminan todos los términos cuyas bases son múltiplos de 2 — En la criba de Eratóstenes se tachan —.

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+\cdots }$

Repitiendo el mismo proceso sobre el siguiente término, ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3^{s}}}}$, se eliminan todos los términos cuyas bases son múltiplos de 3:

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+\cdots }$

Puede comprobarse que la parte de la derecha se está cribando, de manera que repitiendo este proceso indefinidamente:

${\displaystyle \cdots \left(1-{\frac {1}{11^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1}$

se obtiene un producto sobre todos los números primos p, que puede escribirse de forma simplificada como:

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.}$

Números primos con la criba de Eratóstenes

BY EDUCACONBIGBANG · 15/12/2014

Eratóstenes fue uno de esos genios de la antigua Grecia que cultivó todas las ramas del saber. Es famoso por haber medido la circunferencia de la Tierra allá por el siglo III a.C., pero entre otras cosas, también ideó un método para encontrar números primos conocido como la criba de Eratóstenes.

Un número natural se considera primo si tiene solo dos divisores distintos: el 1 y el propio número. Los números con más de dos divisores distintos son números compuestos. La criba de Eratóstenes permite encontrar rápidamente todos los primos hasta un cierto número. Se basa en eliminar de la lista de números todos los que sean compuestos. Una vez acabado el proceso, los números que queden sin descartar serán primos.  Vamos a hallar los números primos hasta el 100:

Lo primero es colocar los números en una tabla . Si quieres, puedes descargarte esta TABLA e imprimirla. El 1 no aparece porque no se considera primo, al no cumplir con el requisito de tener dos divisores distintos.

Empezamos seleccionando el 2, que es el primer número primo. A continuación vamos contando de 2 en 2 y tachando 4,6,8,10, etc. Es decir, eliminamos los múltiplos de 2.

Seleccionamos el siguiente número primo, el 3. Contamos de 3 en 3, (6,9,12,15…) y vamos tachando los números que no estén ya tachados. Es decir, iremos eliminando los múltiplos de 3 que queden por tachar.

El siguiente número primo sería el 5. Contaremos de 5 en 5, ( los múltiplos de 5) e iremos tachando.

Ahora hacemos lo mismo con el 7. Contamos de 7 en 7 (múltiplos de 7) y tachamos.

Ya hemos terminado la criba, todos los números que quedan son primos. Veamos por qué:

El siguiente número sería el 11, si tratásemos de eliminar todos sus múltiplos veríamos que ya están todos tachados (22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 y 99) porque también son múltiplos de otros primos más pequeños que 11:

• 22= 2×11
• 33= 3×11
• 44= 2×22
• 55= 5×11
• 66= 2×33
• 77= 7×11
• 88= 2×44
• 99= 3×33

Esto ocurrirá siempre que el cuadrado del número que queramos investigar sea mayor que el último número de la lista. En este caso 11² es 121, que es mayor que 100.  Por ejemplo, si el último número fuera el 500 el proceso acabaría cuando llegáramos al 23 porque 23² es 529 y por tanto mayor que 500.

Así que, los números primos del 1 al 100 serán:

2, 3, 5, 7, 11,13, 17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

espacio de Minkowski (o espacio-tiempo de Minkowski) es una variedad lorentziana de cuatro dimensiones y curvatura nula, usada para describir los fenómenos físicos en el marco de la teoría especial de la relatividad de Einstein.

En el espacio de Minkowski pueden distinguirse tres dimensiones espaciales ordinarias y una dimensión temporal adicional, de tal manera que todas juntas forman una 4-variedad y así representar al espacio-tiempo.

Definición

El espacio-tiempo de Minkowski es una variedad lorentziana de curvatura nula e isomorfa a ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}=(\mathbb {R} ^{4},{\boldsymbol {\eta }})}$ donde el tensor métrico puede llegar a escribirse en un sistema de coordenadas cartesianas como:

(1)${\displaystyle \eta =-dx^{0}\otimes dx^{0}+dx^{1}\otimes dx^{1}+dx^{2}\otimes dx^{2}+dx^{3}\otimes dx^{3}}$

O en forma matricial explícita, respecto a la misma base:

(2)${\displaystyle \left(\eta _{\alpha \beta }\right){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

De todas maneras es común renombrar a las coordenadas en términos de las coordenadas espaciales y el tiempo usados en la mecánica newtoniana es decir: ${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})\mapsto (ct,x,y,z)}$ con lo cual el tensor métrico se escribe simplemente como:

(3)${\displaystyle \eta =-c^{2}dt\otimes dt+dx\otimes dx+dy\otimes dy+dz\otimes dz}$

Propiedades

Contenido material

El tensor de curvatura de Riemann del espacio-tiempo de Minkowski es idénticamente nulo, razón por la cual se dice que el espacio-tiempo es plano. Así el resto de tensores y escalares de curvatura resultan nulos, siendo también nulo el tensor de Einstein que es igual al contenido material. Por tanto, el espacio-tiempo de Minkowski representa un universo vacío.

Físicamente el espacio-tiempo de Minkowski puede emplearse como una aproximación local del espacio-tiempo en regiones razonablemente pequeñas y en presencia de materia, siempre que esta no llegue a gravitar por sí misma. Este hecho queda recogido en el Principio de equivalencia.

Geodésicas

Cualquier línea recta constituye una geodésica, ya que el tensor de curvatura se anula. Tomando coordenadas cartesianas las geodésicas vienen dadas simplemente por:

(5)${\displaystyle {\ddot {t}}=0\qquad {\ddot {x}}=0\qquad {\ddot {y}}=0\qquad {\ddot {z}}=0}$

Que corresponden a líneas rectas:

(6)${\displaystyle t(\tau )=t_{0}+{\frac {\tau }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\quad x(\tau )=x_{0}+{\frac {v_{x}\tau }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\quad y(\tau )=y_{0}+{\frac {v_{y}\tau }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\quad z(\tau )=z_{0}+{\frac {v_{z}\tau }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Donde:

${\displaystyle (v_{x},v_{y},v_{z})\;}$ son las componentes de la velocidad de una partícula.

${\displaystyle \tau \,}$, es el tiempo propio de la partícula que viaja según la geodésica.

Grupo de isometría

El grupo de isometría del espacio-tiempo de Minkowski es precisamente el grupo de Poincaré, que admite diversos subgrupos entre ellos:

• El grupo de Lorentz
• El grupo de rotaciones
• El grupo de traslaciones que es isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$, en particular cualquier campo vectorial constante es un vector de Killing, que genera un grupo uniparamétrico de isometrías.

Representación pseudoeuclídea

El espacio-tiempo de Minkowski admite un tratamiento pseudoeuclídeo, eso significa que bajo la aplicación sobre los complejos dada por:

${\displaystyle X=(ct,x,y,z)\mapsto {\widetilde {X}}=(ict,x,y,z)}$

Y tratando las coordenadas resultantes como vectores de un espacio euclídeo de cuatro dimensiones se reproducen los resultados geométricos típicos del espacio-tiempo de Minkowski. Si en esa representación se trata todo como escalares complejos y se construyen a partir del producto escalar euclídeo las magnitudes escalares de la teoría, estas resultan invariantes. Además se cumple que:

(7)${\displaystyle U^{\alpha }V_{\alpha }={\widetilde {U}}\cdot {\widetilde {V}}\qquad \forall U,V\in T{\mathcal {M}}_{0}}$

Es más todos los cuadrivectores y cuadritensores antisimétricos de segundo orden admiten una representación compleja de ese tipo, con similares propiedades de invariancia a (4):

  Métrica en relatividad especial: espacio-tiempo de Minkowski

---

En relatividad especial es más conveniente hablar de espacio-tiempo, más que de ambos por separado. Para ello se usa el siguiente elemento de línea

ds² = c² dt² - [dx² + dy²+ dz²]

que puede en cierta manera entenderse como un espacio-tiempo euclídeo donde la cuarta coordenada es el número imaginario i c t, donde c representa la velocidad de la luz.
 

Si eliminamos la coordenada espacial z para poder hacer una representación gráfica, tenemos una imagen como la de la figura 6. El eje vertical (que no está pintado) representaría la coordenada ct y el plano que sería perpendicular al plano de la imagen representaría el plano de las coordenada x e y. El cono pintado de rojo representan los rayos de luz que salen del observador en la dirección del futuro y que llegan al observador desde el pasado. Los rayos de luz recorren las geodésicas de tipo nulo (ds = 0). Las trayectorias de cualquier partícula material tiene que estar necesariamente dentro de los conos de luz (principio de causalidad). La trayectoria de cualquier observador en reposo con respecto al sistema de referencia considerado se representa como una línea de mundo tal y como se ve a la derecha en la figura 6.

Figura 6.

A modo de breve recordatorio solamente decir que en una representación de Minkowski, un sistema de referencia (x',t') que se mueve con velocidad v se representa como un sistema no ortogonal en el sistema de referencia inercial(x,t) donde se sitúa el observador. Ambos sitemas de referencia están relacionados por una transformación de Lorentz.

El ángulo q   es tal que se cumple

tanh q   =   v/c

Donde tanh  q   es la tangente hiperbólica del ángulo definida como

tanh  q   =  (e^q  - e^-q) / (e^q + e^-q)

    Así, una tranformación de Lorentz puede ser vista de forma abstracta como una rotación en el espacio complejo (x, ict). Esto se traduce al espacio-tiempo físico (x, t) simplemente cambiando las funciones trigonometricas por sus respectivas hiperbólicas. Así tenemos que

x' = x coshq  - c t senhq
c t' = - x senhq  + ct coshq

donde senh q   =  v/c (1-v²/c²)^-1/2  y  cosh q   =  (1-v²/c²)^-1/2
    En este punto es importante detenernos a pensar qué significa hacer una medida de tiempo o distancia en un espacio-tiempo relativista. Nuestro únicos elementos de partida son observadores que llevan relojes y que son capaces de enviar señales de radar. Cada punto en el espacio-tiempo relativista se denomina suceso o evento.
Supongamos un observador que en un momento (evento S) envía una señal de radar hasta el objeto colocado a una cierta distancia D que tratamos de medir, rebotando en el evento E y regresando al observador en el evento R. Aprovechando el hecho de que las ondas electromagnéticas viajan siempre a velocidad c podemos decir que se cumple

2 D = c (tR-tS)

siendo 2 D el camino de ida y vuelta y (tR-tS) el intervalo de tiempo medido por el reloj que lleva el observador entre el instante de emisión (S) y el recepción de la señal (R). Y por tanto, la distancia al evento (E) no es más que

D = c (tR-tS)/2

Utilizar el elemento de línea en este caso resulta sencillo. Los eventos (S) y (E) están conectados por una geodésica de tipo nulo(ds = 0) seguida siempre por los rayos de luz. La distancia que mide el observador es dx = D y el intervalo de tiempo dt = (tR-tS)/2. Por tanto sustituyendo en la expresión del elemento de línea Minkowskiano para una dimensión espacial
ds² = c² dt² - dx²
obtenemos el mismo resultado anterior.
Pero en relatividad no sólo hay que tener cuidado con las medidas de distancia; también con las de tiempo. Supongamos que dos observadore A y B se mueven uno con respecto a otro con velocida relativa constante v. En el instante en que se cruzan (evento (Z)) aprovechan para poner sus cronómetros a cero y ponerlos en marcha. Situémonos en el sistema de referencia de A y enviemos una señal de radar a B (evento (S)) en el instante en el que el cronómetro de A marque 1 segundo (tA(S) = 1 s). En el instante de rebote de la señal el cronómetro de B marcará un tiempo desconocido de k segundo (tB(R) = k). Por similaridad, en un instante cualquiera t en el que A decida enviar la señal, cuando sea recibida por B, su cronómetro indicará k· t. En concreto, una señal envida por A en el instante k según su cronómetro, será recibida por B en el instante k· k según el suyo. Otra vez por simetría, y puesto que los observadores son intercambiables, el pulso recibido por B cuando su cronómetro indicaba k llegará al observador A cuando su propio cronómetro indique k· k.
Así, la distancia D(R) al observador B como medida por A a través del rebote de la señal de radar en el evento (R) será

D(R)= c (k· k - 1)/2

y el tiempo tA(R) que mediría A en el momento que trancurre el evento (R) puede se calculado como

tA(R) = 1 + (k· k - 1)/2 = (k· k +1)/2

La velocidad con que se mueve el observador B como visto por A se calcula por tanto de esta manera

v = D(R)/tA(R) = c (k· k - 1) / (k· k +1)

Si ahora despejamos k obtenemos la fórmula relativista para el efecto Doppler

k = [(1+v/c) / (1 - v/c)]^1/2

Vemos entonces que A observa que el cronómetro de B va más lento, pues mientras este último indica un tiempo k para el evento (R), el cronómetro de A indica un tiempo (k· k +1)/2 para este mismo evento. El factor de dilatación temporal es entonces

(k· k +1)/( 2· k) = [1 - v²/c²]^-1/2

Por supuesto, la simetría del proceso nos indica que B observará que el cronómetro de A va más despacio que el suyo propio. Y uno no debe pensar que aquí hay una paradoja puesto que tenemos que pensar que estamos hablando del tiempo como lo mide cada observador y en ningún momento A y B han vuelto a coincidir para compara sus lecturas. En el caso de que se produjera ese encuentro la situación sería diferente, puesto que para que esto ocurra alguno de ellos o ambos deberían desacelerar y cambiar de velocidad, con lo que el proceso deja de producirse en sólo dos sistemas de referencia inerciales y la descripción del fenómeno cambiaría. Este es el famoso problema o paradoja de los mellizos, que como se puede ver no es realmente ninguna paradoja.
Por último vamos a describir la medida de la longitud de objeto en movimiento. En la figura de la derecha se representa un observador que se mueve con una vara de longitud L₀ y otro observador que se mueve respecto al primero a una velocidad de 0.6 c. Mientras el primero mide 10 tics de reloj para un pulso de radar que va y viene de uno de los extremos al otro de la vara, el otro observador mide sólo 8 tics de reloj (=10 (1-0.6²)^1/2 ). Así, la longitud de la vara en movimiento L parece haberse reducido respecto a la misma vara en reposo L₀ en un factor (1 - v²/c²)^1/2, es decir

L = L₀ (1 - v²/c²)^1/2

¿Cómo relacionamos todo esto con el elemento de línea?. La respuesta es sencilla. El elemento de línea ds² = c² dt² - dx² nos da la "distancia espacio-temporal" entre dos eventos. Esta "distancia" es independiente del observador que la mida. En concreto, para un observador cuya línea de mundo pase por ambos eventos, ds/c no es más que el tiempo propio, es decir, el intervalo de tiempo que ha medido con su reloj entre su paso por ambos eventos.