Epónimos relacionados en las matemáticas

fórmula de Tanaka afirma que:

${\displaystyle |B_{t}|=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn}(B_{s})\,dB_{s}+L_{t}}$

donde B_t es el movimiento browniano estándar, sgn es la función signo

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}+1,&x\geq 0;\\-1,&x<0 .="" annotation="" cases="" end="">$

y L_t es su tiempo local en 0 (el tiempo local empleado por B en 0 antes del tiempo t) dado por el límite L²

${\displaystyle L_{t}=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}|\{s\in [0,t]|B_{s}\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\}|.}$

La fórmula de Tanaka es la descomposición Doob–Meyer explícita de la submartingala |B_t| con respecto a la martingala (la integral del lado derecho), y un proceso creciente continuo (tiempo local). También puede considerarse un análogo del lema de Ito para la función de valor no absoluto (irregular) ${\displaystyle f(x)=|x|}$, con ${\displaystyle f'(x)=\operatorname {sgn}(x)}$ y ${\displaystyle f''(x)=2\delta (x)}$; véase, en tiempo local, una explicación formal del lema de Ito.

Descripción de la prueba

La función |x| no es una función diferenciable finita (C²) en x cuando x = 0, de manera que no es posible aplicar la fórmula de Ito directamente. Sin embargo, si la hacemos aproximar a cero (es decir, en [−ε, ε]) mediante parábolas

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2|\varepsilon |}}+{\frac {|\varepsilon |}{2}}}$

y aplicamos la fórmula de Ito, podremos entonces tomar el límite como ε → 0, lo que nos llevará a la fórmula de Tanaka.

fórmula, debida a Cauchy, es parte fundamental del cálculo Integral de variable compleja.

Definición

Enunciado 1

Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D. Entonces para cualquier punto ${\displaystyle z_{0}\,}$ contenido en el interior de D y para cualquier camino C cerrado simple también contenido en el interior de D que contenga al punto se tiene:

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz=2\pi i\cdot f(z_{0})}$

donde la integración está tomada en sentido antihorario.

Enunciado 2

Sea ${\displaystyle f\,}$ una función analítica sobre ${\displaystyle \gamma }$, ${\displaystyle \gamma }$ un camino (una curva diferenciable con continuidad a trozos) cerrado y ${\displaystyle z_{0}\notin \gamma }$

${\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i\cdot I_{\gamma }(z_{0})}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\omega )}{\omega -z_{0}}}d\omega }$

Siendo ${\displaystyle z_{0}\,}$ un punto que no esté sobre ${\displaystyle \gamma }$ , ${\displaystyle I_{\gamma }(z_{0})\,}$ el índice del punto respecto a la curva (el número de veces que la curva rodea al punto teniendo en cuenta el sentido con que lo hace).

las fórmulas de Machin son una clase de identidades que involucran al ${\displaystyle \Pi }$ = 3.14159... y que generalizan la fórmula original de John Machin de 1706:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}},}$

que usó junto con la expansión del arco tangente de series de Taylor para calcular π con 100 decimales.

Las fórmulas de Machin tienen la forma

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n}^{N}a_{n}\arctan {\frac {1}{b_{n}}}}$

con ${\displaystyle a_{n}}$ y ${\displaystyle b_{n}}$ s entero.

El mismo método se conoce todavía entre los más eficientes para calcular un gran número de dígitos de π usando computación digital.

Derivación

Para comprender de dónde viene esta fórmula, comenzar con las ideas básicas siguientes

• ${\displaystyle \tan(\arctan(a))=a}$
• ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan(1)}$
• ${\displaystyle \tan(2a)={\frac {2\tan(a)}{1-\tan ^{2}(a)}}}$ (identidad de la tangente de ángulo doble)
• ${\displaystyle \tan(a-\arctan(b))={\frac {\tan(a)-b}{1+b\tan(a)}}}$ (identidad diferencia tangente)
• ${\displaystyle {\frac {\pi }{16}}=0.196349\dots }$ (aproximadamente)
• ${\displaystyle \arctan \left({\frac {1}{5}}\right)=\arctan(0.2)=0.197395\dots }$ (aproximadamente)

En otras palabras, para pequeñas cantidades, el arco tangente es una buena aproximación a la función identidad. Esto conduce a la posibilidad de que un número ${\displaystyle q}$ pueda encontrarse tal que

${\displaystyle {\frac {\pi }{16}}=\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)-{\frac {1}{4}}\arctan(q).}$

Usando el álgebra elemental, se puede aislar ${\displaystyle q}$:

${\displaystyle q=\tan \left(4\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)-{\frac {\pi }{4}}\right)}$

Utilizando las identidades previas, se sustituye arctan(1) por π/4 y, a continuación, se obtiene el resultado

${\displaystyle q={\frac {\tan \left(4\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)\right)-1}{1+\tan \left(4\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)\right)}}}$

Asimismo, dos aplicaciones de la identidad de ángulo doble conducen a

${\displaystyle \tan \left(4\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)\right)={\frac {120}{119}}}$

y así

${\displaystyle q={\frac {{\frac {120}{119}}-1}{1+{\frac {120}{119}}}}={\frac {1}{239}}.}$

Otras fórmulas pueden generarse utilizando números complejos. Por ejemplo el ángulo de un número complejo a + bi es dado por ${\displaystyle \arctan {\frac {b}{a}}}$ y cuando se multiplican números complejos se añaden sus ángulos. Si a = b then ${\displaystyle \arctan {\frac {b}{a}}}$ es de 45 grados o ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$. Esto significa que si la parte real y compleja son iguales entonces el arco tangente será igual a ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$. Ya que el arco tangente de uno tiene una tasa de convergencia muy lenta, si encontramos dos números complejos que multiplicados de como resultado la misma parte real e imaginaria, tendremos una fórmula de Machin. Un ejemplo es ${\displaystyle (2+i)}$ y ${\displaystyle (3+i)}$, si se multiplican se llega a ${\displaystyle (5+5i)}$. Por lo tanto ${\displaystyle \arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}={\frac {\pi }{4}}}$.

Si desea utilizar números complejos para demostrar que ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$ en primer lugar debe saber que cuando se multiplica ángulos, el número complejo se eleva a la potencia del número que está multiplicando. Así que ${\displaystyle (5+i)^{4}(-239+i)=-2^{2}(13^{4})(1+i)}$ y ya que las partes real e imaginaria son iguales, ${\displaystyle 4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}={\frac {\pi }{4}}}$

Fórmulas de dos períodos

relations

Hay exactamente tres fórmulas adicionales de Machin con dos términos; se trata de Euler

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}}$,

Hermann,

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{2}}-\arctan {\frac {1}{7}}}$,

y de Hutton

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}}$.

Más términos

El récord de 2002 de dígitos de ${\displaystyle \pi }$, 1,241,100,000,000, fue obtenido por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio. El cálculo se realizó con una supercomputadora Hitachi de 64 nodos con 1 terabyte de memoria principal, que efectuaba 2 billones de operaciones por segundo. Se utilizaron estas dos fórmulas:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$

Kikuo Takano (1982).

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$

F. C. w. Störmer (1896).

Las fórmulas más conocidas de Machin, actualmente eficaces para la informática

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&183\arctan {\frac {1}{239}}+32\arctan {\frac {1}{1023}}-68\arctan {\frac {1}{5832}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}\\&-12\arctan {\frac {1}{4841182}}-100\arctan {\frac {1}{6826318}}\\\end{aligned}}}$

黃見利 (Hwang Chien-Lih) (1997).

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}=&183\arctan {\frac {1}{239}}+32\arctan {\frac {1}{1023}}-68\arctan {\frac {1}{5832}}+12\arctan {\frac {1}{113021}}\\&-100\arctan {\frac {1}{6826318}}-12\arctan {\frac {1}{33366019650}}+12\arctan {\frac {1}{43599522992503626068}}\\\end{aligned}}}$

黃見利 (Hwang Chien-Lih) (2003).

Estas fórmulas de Machin se muestran en las siguientes identidades;

${\displaystyle \arctan x+\arctan y=\arctan {\frac {x+y}{1-xy}},}$

${\displaystyle \arctan x-\arctan y=\arctan {\frac {x-y}{1+xy}},}$

o equivalente,

${\displaystyle \arctan {\frac {a}{b}}+\arctan {\frac {c}{d}}=\arctan {\frac {ad+bc}{bd-ac}},}$

${\displaystyle \arctan {\frac {a}{b}}-\arctan {\frac {c}{d}}=\arctan {\frac {ad-bc}{bd+ac}}.}$

Estas identidades se derivan fácilmente de la definición de arco tangente. Con estas identidades, se muestra la fórmula de Machin como la de Takano;

${\displaystyle {\begin{aligned}12\arctan {\frac {1}{49}}&+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}\\&=12\arctan {\frac {46}{2253}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}\\&=12\arctan {\frac {3}{79}}+20\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}\\&=12\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}\ \ \ \ {\text{(Gauss)}}\\&=4\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {3}{41}}-5\arctan {\frac {1}{239}}\\&=4\arctan {\frac {17}{331}}+4\arctan {\frac {123}{836}}-\arctan {\frac {1}{239}}\\&=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}\ \ \ \ {\text{(Machin)}}\\&=2\arctan {\frac {5}{12}}-\arctan {\frac {1}{239}}\\&=\arctan {\frac {120}{119}}-\arctan {\frac {1}{239}}\\&=\arctan 1={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}}$:

fórmulas de Newton-Cotes (nombradas así por Isaac Newton y Roger Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio, en las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar un valor aproximado de la integral. Cuanto más intervalos se divida la función más preciso será el resultado.

Este método es eficiente si se conocen los valores de la función en puntos igualmente separados. Si se pueden cambiar los puntos en los cuales la función es evaluada otros métodos como la cuadratura de Gauss son probablemente más eficientes.

Descripción

Para la integración numérica de ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$ utilizando las fórmulas de Newton-Cotes se subdivide el intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ en ${\displaystyle n}$ intervalos iguales. Así se obtienen ${\displaystyle n+1}$ puntos donde se evaluará la función:

${\displaystyle a\leq x_{0}$

Si ${\displaystyle a=x_{0}}$ y ${\displaystyle b=x_{n}}$ se denominan fórmulas cerradas de Newton-Cotes ya que los intervalos de los extremos están incluidos en la integral, si por el contrario no se tienen en cuenta se denominan fórmulas abiertas de Newton-Cotes. Para el calculo se utilizará la siguiente función:

${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})L_{in}(x)}$

donde:

${\displaystyle L_{in}(x)={\frac {(x-x_{0})\cdots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots (x-x_{n})}{(x_{i}-x_{0})\cdots (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\cdots (x_{i}-x_{n})}}}$

es el polinomio de Lagrange, por lo tanto se deduce que

${\displaystyle \int _{a}^{b}p(x)dx=(b-a)\sum _{i=0}^{n}f(x_{i}){\frac {1}{(b-a)}}\int _{a}^{b}L_{in}(x)dx.}$

Esta función se expresa de la siguiente forma

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx \int _{a}^{b}p(x)dx=(b-a)\sum _{i=0}^{n}w_{i}f(x_{i})}$

Donde los "pesos" w_i están definidos por

${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{(b-a)}}\int _{a}^{b}L_{in}(x)dx}$

Fórmulas cerradas de Newton-Cotes

Estas son algunas de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes.

La notación ${\displaystyle \displaystyle f_{i}}$ es una abreviatura de ${\displaystyle \displaystyle f(x_{i})}$, con   ${\displaystyle \displaystyle x_{i}=a+i\times h}$,   ${\displaystyle \displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$   y   ${\displaystyle \displaystyle n}$ el grado.

Regla del trapecio

Ilustración de la regla del trapecio.

La regla del trapecio consiste en hallar la integral aproximada de una función a través de un polinomio de primer grado, es decir uniendo mediante una recta los puntos en donde se evaluara la función.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx (b-a){\frac {f_{0}+f_{1}}{2}}}$

Y el error es:

${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )}$

Siendo ${\displaystyle \xi }$ un número entre a y b.

Regla de Simpson

Ilustración de la regla de Simpson.

La regla de Simpson (nombrada así por Thomas Simpson) halla la integral aproximada de una función mediante un polinomio de segundo o tercer grado.

Regla de Simpson 1/3

La regla de Simpson 1/3 utiliza tres puntos consecutivos en donde se evalúa la función a través de un polinomio de segundo grado.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})}$

Y el error es:

${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{5}}{2880}}f^{(4)}(\xi ),}$

siendo ${\displaystyle \xi }$ un número entre a y b.

Regla de Simpson 3/8

La regla de Simpson 3/8 utiliza cuatro puntos consecutivos en donde se evalúa la función a través de un polinomio de tercer grado.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {3h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})}$.

Y el error es:

${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}f^{(4)}(\xi ),}$

Siendo ${\displaystyle \xi }$ un número entre a y b.

Regla de Boole

La regla de Boole (llamada así debido a George Boole) utiliza cinco puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de cuarto grado.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {2h}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})}$

Y el error es:

${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{7}}{1935360}}\,f^{(6)}(\xi )}$

Siendo ${\displaystyle \xi }$ un número entre a y b.

Regla de quinto orden

La regla de quinto orden utiliza seis puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de quinto grado.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {5h}{288}}(19f_{0}+75f_{1}+50f_{2}+50f_{3}+75f_{4}+19f_{5})}$

Regla de Sexto orden

La regla de sexto orden utiliza siete puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de sexto grado.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {h}{140}}(41f_{0}+216f_{1}+27f_{2}+272f_{3}+27f_{4}+216f_{5}+41f_{6})}$

Fórmulas abiertas de Newton-Cotes

Estas son algunas de las fórmulas abiertas de Newton-Cotes.

Regla del punto medio -Integración de Riemann

Ilustración de la regla del punto medio.

En este método se divide la función en rectángulos, los cuales deben tener una altura igual al valor de la función en el punto medio. Así se calcularía la integral aproximada mediante un polinomio de grado cero.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\sim (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)}$

Y el error es:

${\displaystyle {\frac {(b-a)^{3}}{24}}\,f^{(2)}(\xi )}$

Siendo ${\displaystyle \xi }$ un número entre a y b.

Reglas compuestas

Las fórmulas de Newton-Cotes aumentan su precisión si se aumenta el número de intervalos en que se divida la función, dicho de otra forma mientras los intervalos sean cada vez más pequeños. Como el intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ generalmente es grande hay métodos que subdividen este intervalo en subintervalos más pequeños y a estos se les aplica las Fórmulas de Newton-Cotes, a la suma de estos subintervalos se le conoce como reglas compuestas. Cabe anotar que la precisión aumenta pero a costa de aumentar la eficiencia del método en cuanto al tiempo de duración y a posibles errores de redondeo.

Regla del trapecio compuesta

Este es un ejemplo de regla compuesta.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\sim {\frac {b-a}{n}}\left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{i=1}^{n-1}f(x_{i})\right)}$

Donde   ${\displaystyle \displaystyle x_{i}=a+i\times h}$   son los subintervalos,

tal que   ${\displaystyle \ x_{0}$   y   ${\displaystyle \ a=x_{0},\;x_{n}=b}$

siendo:   ${\displaystyle \ h={\frac {b-a}{n}}}$   la distancia entre los subintervalos.