Epónimos relacionados con las matemáticas

fórmula de Perron es una fórmula dada por Oskar Perron para calcular la suma de una función aritmética, mediante el uso de una transformada de Mellin inversa.

Enunciado

Sea ${\displaystyle \{a(n)\}}$ una función aritmética, y sea

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$

su correspondiente serie de Dirichlet. Presuma la serie de Dirichlet de ser absolutamente convergente para ${\displaystyle \Re (s)>\sigma _{a}}$. Entonces la fórmula de Perron es

${\displaystyle A(x)={\sum _{n\leq x}}^{\star }a(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }g(z){\frac {x^{z}}{z}}dz.\;}$

Aquí, la estrella sobre el sumatorio indica que el último término de la suma debe ser multiplicado por 1/2 cuando x sea un entero. La fórmula requiere que ${\displaystyle c>\sigma _{a}}$ y ${\displaystyle x>0}$ real, pero de otra manera arbitraria.

Demostración

Un sencillo esbozo de demostración proviene de tomar la fórmula de sumación de Abel

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=s\int _{0}^{\infty }A(x)x^{-(s+1)}dx.}$

Esto no es sino una transformada de Laplace bajo el cambio de variable ${\displaystyle x=e^{t}.}$ Invirtiéndolo se obtiene la fórmula de Perron.

Ejemplos

Debido a su relación general con series de Dirichlet, la fórmula es aplicada comúnmente a varias sumas relacionadas con la teoría de números. Así, por ejemplo, se obtiene la famosa representación integral para la función zeta de Riemann:

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}\,dx}$

y una fórmula similar para las funciones L de Dirichlet:

${\displaystyle L(s,\chi )=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(x)}{x^{s+1}}}\,dx}$

donde

${\displaystyle A(x)=\sum _{n\leq x}\chi (n)}$

y ${\displaystyle \chi (n)}$ es un carácter de Dirichlet. Otros ejemplos aparecen en los artículos de la función de Mertens y la función de von Mangoldt.

fórmula de Riemann–Siegel es una fórmula asintótica para el error que se comete en la ecuación funcional aproximada de la función zeta de Riemann, una aproximación de la función zeta mediante las suma de dos series de Dirichlet finitas. Ésta fue encontrada por Siegel (1932) en unos manuscritos no publicados de Bernhard Riemann alrededor de los años 1850s. Siegel convirtió ésta en la fórmula integral de Riemann–Siegel, una expresión para la función zeta en la que intervienen integrales de contorno. Es a menudo usada para calcular valores de la fórmula de Riemann–Siegel, a veces en combinación con el algoritmo de Odlyzko–Schönhage, lo cual aumenta la velocidad de los cálculos considerablemente.

Si M y N son dos números enteros no negativos, entonces la función zeta es igual a

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}+\gamma (1-s)\sum _{n=1}^{M}{\frac {1}{n^{1-s}}}+R(s)}$

donde:

• ${\displaystyle \displaystyle \gamma (s)=\pi ^{1/2-s}\Gamma (s/2)/\Gamma ((1-s)/2)}$    es un factor que aparece en la ecuación funcional ζ(s) = γ(s) ζ(1 − s), y

• ${\displaystyle R(s)={\frac {-\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int {\frac {(-x)^{s-1}e^{-Nx}dx}{e^{x}-1}}}$     es una integral de contorno, cuyo contorno comienza y termina en +∞ y circunferencias de singularidades de un valor absoluto a lo sumo 2πM. La ecuación funcional aproximada da una estimación del tamaño del término error.

Siegel (1932) y Edwards (1974) derivaron la fórmula de Riemann–Siegel formula para este fin, mediante la aplicación del método del descenso más rápido a esta integral, lo cual da una expansión asintótica para el término error R(s) como una serie de potencias negativas de Im(s). En aplicaciones, s está usualmente en la línea crítica, y los enteros positivos M y N son escogidos de tal manera que estén cercanos a (2π Im(s))^1/2. Gabcke (1979) encontró unos buenos límites para el término de error de la fórmula Riemann–Siegel.

Riemann mostró que

${\displaystyle \int _{0\searrow 1}{\frac {e^{-i\pi u^{2}+2\pi ipu}du}{e^{\pi iu}-e^{-\pi iu}}}={\frac {e^{i\pi p^{2}}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p}-e^{-i\pi p}}}}$

donde el contorno de integración es una línea de pendiente −1 que pasa entre 0 y 1 (Edwards, 1974, 7.9).

El usó de este método para dar la siguiente fórmula integral para la función zeta:

 fórmula de Riemann–von Mangoldt, llamada así en honor a Bernhard Riemann y a Hans Carl Friedrich von Mangoldt, expresa que el número N(T) de ceros de la función zeta de Riemann con parte imaginaria mayor que 0 y menor o igual a T satisface

${\displaystyle N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O(\log {T}).}$

La fórmula fue expresada por Riemann en su famoso artículo Sobre los números primos menores que una magnitud dada (1859) y demostrada por von Mangoldt en 1905.

fórmula de Stirling es una aproximación para factoriales grandes. Lleva el nombre en honor al matemático escocés del siglo XVIII James Stirling.

La aproximación se expresa como

${\displaystyle \ln n!\approx n\ln n-n\,}$

para n suficientemente grande, donde ln es el logaritmo natural.

La diferencia relativa entre (ln x!) y (x ln x - x) tiende a cero al crecer x.

Definición formal

La fórmula de Stirling está dada por:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{n! \over {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}=1}$

que se reescribe frecuentemente como:

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

más exactamente la fórmula es como sigue:

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{e}^{{1 \over 12n}-{1 \over 360n^{3}}+{1 \over 1260n^{5}}-{1 \over 1680n^{7}}+\cdots }}$

donde el último término del producto(la exponencial) tiende a 1 cuando n tiende a infinito.

La lista de los numeradores es: 1, -1, 1, -1, 1, -691, 1, -3617, 43867, -174611, ...

La lista de los denominadores es: 12, 360, 1260, 1680, 1188, 360360, 156, 122400, 244188, 125400, ...

Desarrollando este último término también se puede reescribir la fórmula como:

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right).}$

Una acotación de la fórmula es:

${\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{e}^{\frac {1}{12n+1}}$

Por ejemplo:

${\displaystyle 29!=8841761993739701954543616000000}$

${\displaystyle {e}^{\frac {1}{12\;29+1}}=1,002869438...}$

${\displaystyle {e}^{\frac {1}{12\;29}}=1,002877696...}$

${\displaystyle 29!={\sqrt {2\pi 29}}\;\left({\frac {29}{e}}\right)^{29}1,002877577...}$

Usos

La fórmula resulta útil en diversas áreas como la mecánica estadística, donde aparecen ecuaciones que contienen factoriales del número de partículas. Puesto que en la materia ordinaria los sistemas macroscópicos típicos tienen en torno a ${\displaystyle N\approx 10^{23}}$ partículas la fórmula de Stirling resulta muy buena aproximación. Además la fórmula aproximante de Stirling es diferenciable lo cual permite el cálculo muy aproximado de máximos y mínimos en expresiones con factoriales.