Epónimos relacionados con las matemáticas

 Fórmula de De Polignac, llamada así en honor a Alphonse de Polignac, proporciona la factorización en primos del factorial n!, donde n ≥ 1 es un número entero. L. E. Dickson atribuye la fórmula a Legendre.

Sea n ≥ 1 un entero. Entonces, la descomposición en números primos de n! es dada mediante

${\displaystyle \prod _{p{\text{ primo}} \atop p\leq n}p^{s_{p}(n)}}$

donde

${\displaystyle s_{p}(n)=\sum _{j=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{j}}}\right\rfloor }$

y los corchetes representan la función piso.

Nótese que, para cualquier número real x, y cualquier entero n, se obtiene:

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor }{n}}\right\rfloor }$

que permite calcular más sencillamente los términos s_p(n).

fórmula de Euler o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece el teorema, en el que:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\,\operatorname {sen} x}$

para todo número real x, que representa un ángulo en el plano complejo. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria, ${\displaystyle \operatorname {sen} x}$ y ${\displaystyle \cos x}$ son las funciones trigonométricas seno y coseno.

O bien se suele expresar como:

${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\,\operatorname {sen} \,y)}$

siendo ${\displaystyle z}$ la variable compleja definida por ${\displaystyle z=x+iy}$

Demostración

Nótese que esta no es una demostración basada en las propiedades de los números complejos y de la función exponencial, sino que es necesaria la definición de la exponencial compleja como el equivalente a la serie de Taylor sobre los números reales para parámetros complejos.

La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia unidad en el plano complejo, dibujada por la función e^ix al variar ${\displaystyle x}$ sobre los números reales. Así, ${\displaystyle x}$ es el ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes. La fórmula sólo es válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes.

La fórmula de Euler fue formulada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego redescubierta y popularizada por Euler en 1748. Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgió en 1787 por parte del matemático Caspar Wessel en su único informe para la Real Academia Danesa.

Demostración usando las Series de Taylor

La fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo.

Sabiendo que:

${\displaystyle {\begin{aligned}i^{0}&{}=1,\quad &i^{1}&{}=i,\quad &i^{2}&{}=-1\quad &i^{3}&{}=-i,\\i^{4}&={}1,\quad &i^{5}&={}i,\quad &i^{6}&{}=-1,\quad &i^{7}&{}=-i,\\\end{aligned}}}$

y así sucesivamente. Además de esto, las funciones e^x, cos(x) y sen(x) (asumiendo que x sea un número real) pueden ser expresadas utilizando sus series de Taylor alrededor de cero.

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&{}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \\\cos x&{}={\frac {x^{0}}{0!}}-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\\sin x&{}={\frac {x^{1}}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}}$

Otra definición que se le puede dar a e elevado a equis basandose en las series de Taylor es la siguiente.

${\displaystyle e^{x}=1+{\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}{\biggr )}}$

también valido para.

${\displaystyle \cos x=1+{\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}{\biggr )}}$

${\displaystyle \sin x=1+{\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}{\biggr )}}$

Definimos cada una de estas funciones por las series anteriores, remplazando x por i·z, donde z es una variable real e i la unidad imaginaria. Esto es posible porque el radio de convergencia es infinito en cada serie. Entonces encontramos que:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{iz}&{}={\frac {(iz)^{0}}{0!}}+{\frac {(iz)^{1}}{1!}}+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+{\frac {(iz)^{5}}{5!}}+{\frac {(iz)^{6}}{6!}}+{\frac {(iz)^{7}}{7!}}+{\frac {(iz)^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}={\frac {z^{0}}{0!}}+i{\frac {z^{1}}{1!}}-{\frac {z^{2}}{2!}}-i{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+i{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-i{\frac {z^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=\left({\frac {z^{0}}{0!}}-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left({\frac {z^{1}}{1!}}-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&{}=\cos(z)+i\sin(z)\end{aligned}}}$

El reordenamiento es posible debido a que cada serie es absolutamente convergente. Remplazando z = x como un número real resulta en la identidad original tal como la descubrió Euler.

Relevancia matemática

La fórmula proporciona una potente conexión entre el análisis matemático y la trigonometría. Se utiliza para representar los números complejos en coordenadas polares y permite definir el logaritmo para números negativos y números complejos.

Logaritmo de un número negativo

En este caso, la fórmula de Euler es evaluada en ${\displaystyle x=\pi }$ , obteniendo la identidad de Euler:

${\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }=\cos \pi +\mathrm {i} \,\operatorname {sen} \pi =-1}$

${\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }=-1\,\!}$

Luego, al aplicar el logaritmo natural se obtiene:

${\displaystyle \mathrm {i} \pi =\ln(-1)\,\!}$.

Logaritmo de un número negativo cualquiera

Como extensión de la ecuación anterior, el logaritmo de cualquier número negativo se define como:

${\displaystyle \ln(-a)=\ln(a)+\ln(-1)=\ln(a)+\mathrm {i} \pi \,\!}$. Donde ${\displaystyle a>0}$.

Además puede definirse el logaritmo de un número negativo en cualquier base, a partir del logaritmo natural y la fórmula de cambio de base.

Integración y derivación

Una propiedad importante de la fórmula de Euler es que es la única función matemática que permanece con la misma forma (excepto por la unidad imaginaria) con las operaciones de integración y derivación del cálculo integral, lo que permite que se utilice para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones con forma algebraica, simplificando enormemente esas operaciones.

De las reglas de la exponenciación

${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}\cdot e^{b}}$

y

${\displaystyle (e^{a})^{b}=e^{a\cdot b}}$

(válidas para todo par de números complejos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$), se pueden derivar varias identidades trigonométricas, así como la fórmula de De Moivre.

Funciones trigonométricas

La fórmula de Euler también permite interpretar las funciones seno y coseno como meras variaciones de la función exponencial:

${\displaystyle \cos x={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}}$

${\displaystyle \operatorname {sen} x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}}$

A partir de estas igualdades, es posible definir las funciones trigonométricas para los números complejos de este modo: ¹

${\displaystyle \operatorname {sen} z={\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{2i}}}$

${\displaystyle \cos z={\cfrac {e^{zi}+e^{-zi}}{2}}}$

${\displaystyle \tan z={\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{e^{zi}+e^{-zi}}}*{\cfrac {1}{i}}}$

siendo ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$, es decir, que pertenece al conjunto de números complejos. Estas funciones trigonométricas cumplen las leyes de sus similares aplicadas a los números reales. Sean los números complejos ${\displaystyle z}$ y ${\displaystyle w}$, es decir ${\displaystyle z\land w\in \mathbb {C} }$, entonces son válidas las siguientes igualdades:

${\displaystyle \cos ^{2}{z}+\operatorname {sen} ^{2}{z}=1}$

${\displaystyle \cos(-z)=\cos(z)}$

${\displaystyle \operatorname {sen}(-z)=-\operatorname {sen}(z)}$

${\displaystyle \operatorname {sen}(z+w)=\operatorname {sen}(z)\cos(w)+\operatorname {sen}(w)\cos(z)}$

${\displaystyle \cos(z+w)=\cos(z)\cos(w)-\operatorname {sen}(w)\operatorname {sen}(z)}$

Ecuaciones diferenciales

En las ecuaciones diferenciales, la expresión ${\displaystyle e^{ix}}$ es utilizada a menudo para simplificar derivadas, incluso si la respuesta final es una función real en la que aparezcan senos o cosenos. La identidad de Euler es una consecuencia inmediata de la fórmula de Euler.

Análisis de señales

Las señales que varían periódicamente suelen describirse como una combinación de funciones seno y coseno, como ocurre en el análisis de Fourier, y estas son expresadas más convenientemente como la parte real de una función exponencial con exponente imaginario, utilizando la fórmula de Euler.

Tratados

v      Introductio in Analysis Infinitorum (1748)

v      Institutiones Calculi Differentialis (1755)

v      Institutiones Calculi Integralis (1768-1794)

Trabajos importantes

v      Contribución a las notaciones: Fue el primero en emplear la notación f(x) proporcionando más comodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados por Newton y Leibniz, pero desarrollados basándose en las matemáticas del último. También introdujo el símbolo Σ para expresar sumatorios.

v      El número "e" como límite de una sucesión y cuya propiedad más importante es la de su derivada equivalente.

v      Unió los símbolos matemáticos más trascendentes (e, pi, i, -1) en forma de una ecuación, conocida como la Fórmula de Euler.

v      En relación con lo anterior sentó las bases del análisis matemático avanzado al generalizar su fórmula para que conectase las funciones exponenciales y las trigonométricas. Con ello también desarrolló el cálculo complejo.

v      Euler ya empleaba las series de Fourier antes de que el mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de Lagrange del cálculo variacional, las Ecuaciones de Euler-Lagrange.

v      Mecánica de Newton: En su tratado de 1739 introdujo explícitamente el concepto de partícula y de masa puntual. Introdujo la notación vectorial para representar la velocidad y la aceleración, que definiría todo el estudio de la Mecánica hasta Lagrange.

v      Sólido Rígido: Definió los tres ángulos de Euler para describir la posición. Publicó el teorema principal del movimiento (siempre existe un eje de rotación instantáneo). Solución del movimiento libre (consiguió despejar los ángulos en función del tiempo).

v      Hidrodinámica: Estudió el flujo de un fluido ideal incompresible, detallando las Ecuaciones de Euler de la Hidrodinámica.

v      Arquitectura e Ingeniería: Desarrolló la ley que lleva su nombre sobre el pandeo de vigas y generó una nueva rama de ingeniería con sus trabajos sobre la carga crítica de las columnas. Ecuaciones diferenciales: Se llama método de Euler al método numérico consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada.

v      Electromagnetismo: Adelantándose más de cien años a Maxwell previó el fenómeno de la Presión de Radiación, fundamental en la teoría unificada del Electromagnetismo. En los cientos de trabajos de Euler se encuentran referencias a problemas y cuestiones tremendamente avanzadas para su tiempo, que no estaban al alcance de la ciencia de su época.

v      Publicó trabajos sobre el movimiento de la luna.

v      Problema de los puentes de Königsberg. Demostró que un esquema de dichos puentes no podía recorrerse. Este problema pudo haber sido la primera aplicación en teoría de grafos o en topología, (con el desarrollo del problema de los puentes de Königsberg por Euler se da inicio a la topología).

v      Geometría: Desarrolló lo que se llama característica de Euler o teorema de poliedros de Euler. Básicamente es buscar una relación entre número de caras, aristas y vértices en los poliedros. Utilizó esta idea para demostrar que no existían más poliedros regulares que los conocidos hasta entonces. Dentro del campo de la geometría analítica descubrió además que tres de los puntos notables de un triángulo (baricentro, ortocentro y circuncentro) podían obedecer a una misma ecuación, es decir, a una misma recta. A la recta que contiene el baricentro, ortocentro y circuncentro se le denominó "Recta de Euler" en honor a este.

v      Series infinitas: Logró hallar en 1736 la suma de los recíprocos de los cuadrados, buscada por grandes matemáticos como Jacques Bernoulli (hijo de Jean Bernoulli), es decir:

v      Asimismo logró calcular la suma de los recíprocos de las cuartas y sextas potencias:

v      También descubrió el conocido número:

Constante de Euler

La constante de Euler-Mascheroni aparece principalmente en teoría de números, y se define como el límite de la diferencia entre la serie armónica y el logaritmo natural:

La siguiente integral también está relacionada con la constante de Euler-Maschroni:

Su valor aproximado es:

No se conoce si γ es un número racional o no. Sin embargo, el análisis de fracciones continuas muestra que, si es racional, su denominador debe tener más de 10.000 cifras decimales.

Fórmula de Euler

La fórmula o relación de Euler, atribuida al matemático Leonhard Euler, establece que:

para todo número real x. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria y sin, cos son funciones trigonométricas.

Una propiedad importante de esta fórmula de Euler es que contiene dos tipos de simetrías: la par y la impar. La forma coseno es la misma para valores positivos y negativos de la variable x, en este caso. Se dice que ella tiene simetría par. En tanto que la onda seno varía en signo con el signo de la variable x. Se dice que tiene simetría impar. Es sabido que este tipo de simetría desempeña un papel muy importante en la física moderna y aquí tenemos una función con ambos tipos de simetría, razón por la cual en la mecánica cuántica los números complejos son esenciales.

La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de radio unidad en el plano complejo, dibujada por la función eix al variar x sobre los números reales. Así, x es el ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes. La fórmula sólo es válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes.

La fórmula de Euler fue demostrada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego redescubierta y popularizada por Euler en 1748. Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgió unos 50 años más tarde.

Demostración usando las Series de Taylor

Sabiendo que:

Y así sucesivamente. Además de esto, las funciones ex, cos(x) y sin(x) (asumiendo que x sea un número real) pueden ser expresadas utilizando sus series de Taylor al rededor de cero.

Para una z compleja definimos cada una de estas funciones por las series anteriores, remplazando x por z. Esto es posible porque el radio de convergencia es infinito en cada serie. Entonces encontramos que:

El reordenamiento es posible debido a que cada serie es absolutamente convergente. Remplazando z = x como un número real resulta en la identidad original tal como la descubrió Euler.

Relevancia matemática

La fórmula proporciona una potente conexión entre el análisis matemático y la trigonometría. Se utiliza para representar los números complejos en coordenadas polares y permite definir el logaritmo para números complejos.

Una propiedad importante de la fórmula de Euler es que es la única función matemática que permanece con la misma forma -excepto por la unidad imaginaria- con las operaciones de integración y derivación del cálculo integral, lo que permite que en Ingeniería Eléctrica se utilice para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones con forma algebraica, simplificando enormemente esas operaciones. (válidas para todo par de números complejos a y b), se pueden derivar varias identidades trigonométricas, así como la fórmula de De Moivre.

La fórmula de Euler también permite interpretar las funciones seno y conseno como meras variaciones de la función exponencial:

 

Estas fórmulas sirven asimismo para definir las funciones trigonométricas para argumentos complejos x. Las dos ecuaciones anteriores se obtienen simplemente resolviendo las fórmulas

 

para el seno y el coseno.

En las ecuaciones diferenciales, la función eix es utilizada a menudo para simplificar derivadas, incluso si la respuesta final es una función real en la que aparezcan senos o cosenos. La identidad de Euler es una consecuencia inmediata de la fórmula de Euler

En ingeniería y otras disciplinas, las señales que varían periódicamente suelen describirse como una combinación de funciones seno y coseno.

La formula de Euler ilustrada en el plano complejo:

Identidad de Euler

Se llama identidad de Euler a una fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar los cinco números más famosos de la historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas:

                                      

Donde:

v      π es el número más importante de la geometría

v      e es el número más importante del análisis matemático

v      i es el número más importante del álgebra

v      0 y 1 son las bases de la aritmética por ser los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación.

Problema de los puentes de Königsberg

El problema de los siete puentes de Königsberg (Prusia oriental en el siglo XVIII -ciudad natal de Kant- y actualmente, Kaliningrado, en la óblast rusa de Kaliningrado) es un célebre problema matemático que fue resuelto por Leonhard Euler en 1736 y dio origen a la Teoría de los grafos.

Consiste en lo siguiente:

Dos islas en el río Pregel que cruza Königsberg se unen entre ellas y con la tierra firme mediante siete puentes. ¿Es posible dar un paseo empezando por una cualquiera de las cuatro partes de tierra firme, cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de partida?

Euler enfocó el problema representando cada parte de tierra por un punto y cada puente, por una línea, uniendo los puntos que se corresponden. Entonces, el problema anterior se puede trasladar a la siguiente pregunta: ¿se puede recorrer el dibujo terminando en el punto de partida sin repetir las líneas?

Euler demostró que no era posible puesto que el número de líneas que inciden en cada punto no es par (condición necesaria para entrar y salir de cada punto, y para regresar al punto de partida, por caminos distintos en todo momento). En teoría de los grafos esta idea se corresponde con la posibilidad de encontrar un Ciclo Euleriano en un grafo.