Epónimos relacionados con las matemáticas

fórmula de Euler-Maclaurin relaciona a integrales con series. Esta fórmula puede ser usada para aproximar integrales por sumas finitas o, de forma inversa, para evaluar series (finitas o infinitas) resolviendo integrales. La fórmula fue descubierta independientemente por Leonhard Euler y Colin Maclaurin en 1735. Euler usó esta fórmula para calcular valores de series infinitas con convergencia lenta y Maclaurin la utilizó para calcular integrales.

La fórmula

Si z es un número correlacional y ${\displaystyle f(x)}$ es una función suave (suficientemente derivable) definida ${\displaystyle \forall x\in [0,n]}$, entonces, la integral

${\displaystyle I=\int _{0}^{n}f(x)\,dx}$

puede ser aproximada por la siguiente suma:

${\displaystyle S={\frac {f\left(0\right)}{2}}+f\left(1\right)+\cdots +f\left(n-1\right)+{\frac {f\left(n\right)}{2}}={\frac {f\left(0\right)+f\left(n\right)}{2}}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(k\right)}$

(ver regla del trapecio). La fórmula de Euler-Maclaurin nos da una expresión para la diferencia entre la suma y la integral en función de derivadas de ${\displaystyle f(x)}$ en los extremos del intervalo de integración (0 y n). Para cualquier entero positivo p, tenemos que se cumple:

${\displaystyle S-I=\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!}}\left(f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0)\right)+R}$

donde ${\displaystyle B_{n}}$ son los números de Bernoulli y R es una estimación del error normalmente pequeña.

Realizando un cambio de variable en la integral, se puede modificar esta fórmula para funciones ${\displaystyle f(x)}$ definidas en otros intervalos de la recta real.

El término de error

El término de error R es:

${\displaystyle R=(-1)^{p}\int _{0}^{n}f^{(p+1)}(x){B_{p+1}(x-\lfloor x\rfloor ) \over (p+1)!}\,dx,}$

donde ${\displaystyle B_{i}(x-\lfloor x\rfloor )}$ son los polinomios de Bernoulli periódicos. El término de error se puede acotar por:

${\displaystyle \left|R\right|\leq {\frac {2}{(2\pi )^{2p}}}\int _{0}^{n}\left|f^{(p+1)}(x)\right|\,dx.}$

Usos

Sumas de polinomios

Si ${\displaystyle f(x)}$ es un polinomio y p es suficientemente grande, entonces el término de error R se anula, por lo que se pueden resolver series de polinomios de forma exacta. Por ejemplo, si ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$, escogiendo p = 2 se obtiene:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}$

(ver fórmula de Faulhaber).

Integración numérica

La fórmula de Euler-Maclaurin se usa también para el análisis de errores en integraciones numéricas, de hecho, los métodos de extrapolación se basan en esta fórmula.

Expansión asintótica de series

Cuando se quiere calcular la expansión asintótica de series, la forma más cómoda de la fórmaula de Euler-Maclaurin es:

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)\sim \int _{a}^{b}f(x)\,dx+{\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right)\,,}$

donde ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son enteros. Puede ocurrir que esta fórmula siga siendo válida incluso tomando el límite ${\displaystyle {\scriptstyle a\to -\infty }}$ o ${\displaystyle {\scriptstyle b\to +\infty }}$, o ambos. En muchos casos, la integral de la derecha es resoluble mediante funciones elementales de forma cerrada incluso cuando la serie de la izquierda no puede ser resuelta. Entonces, todos los términos de la serie asintótica pueden ser expresados mediante funciones elementales, por ejemplo:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\,dk} _{=1/z}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}\,.}$

Donde la serie de la izquierda es igual a la suma de ${\displaystyle {\scriptstyle 1/z^{2}}}$ y ${\displaystyle {\scriptstyle \psi ^{(1)}(z)}}$, donde la serie de la derecha es la función poligamma de primer orden.

Restando ${\displaystyle {\scriptstyle 1/z^{2}}}$ a los dos lados de la expresión, obtenemos una serie asintótica de ${\displaystyle {\scriptstyle \psi ^{(1)}(z)}}$. De hecho, esta serie es el punto inicial de una de las posibles derivaciones de la fórmula de Stirling del factorial.

Demostración

Demostración por inducción matemática

Se seguirá la demostración que aparece en (Apostol).¹

Los polinomios de Bernoulli ${\displaystyle B_{n}(x)}$ con ${\displaystyle n=0,1,2,...}$ se pueden definir recursivamente como sigue:

${\displaystyle B_{0}(x)=1,\,}$

${\displaystyle B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x){\mbox{ y }}\int _{0}^{1}B_{n}(x)dx=0{\mbox{ para }}n\geq 1.}$

Los primeros 4 son:

${\displaystyle B_{1}(x)=x-1/2,\quad B_{2}(x)=x^{2}-x+1/6,}$

${\displaystyle B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,\quad B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}},\dots }$

Los valores ${\displaystyle B_{n}(1)=B_{n}}$ son los números de Bernoulli. Para ${\displaystyle n\geq 2}$ se cumple ${\displaystyle B_{n}(0)=B_{n}(1)}$.

Las funciones periódicas de Bernoulli ${\displaystyle P_{n}(x)}$ se definen como:

${\displaystyle P_{n}(x)=B_{n}(x-\lfloor x\rfloor ){\mbox{ for }}0$

Es decir, son iguales a los polinomios de Bernoulli en el intervalo (0,1), pero son funciones periódicas de periodo 1 en el resto del eje real.

Sea la integral

${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f(x)\,dx=\int u\,dv,}$

donde

${\displaystyle {\begin{aligned}u&{}=f(x),\\du&{}=f'(x)\,dx,\\dv&{}=P_{0}(x)\,dx\quad ({\mbox{con }}P_{0}(x)=1),\\v&{}=P_{1}(x).\end{aligned}}}$

Integrando por partes obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}uv-\int v\,du&{}={\Big [}f(x)P_{1}(x){\Big ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\\\&{}={f(k)+f(k+1) \over 2}-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}$

Sumando desde ${\displaystyle k=1}$ hasta ${\displaystyle k=n}$ se obtiene:

${\displaystyle \int _{1}^{n}f(x)\,dx={f(1) \over 2}+f(2)+\cdots +f(n-1)+{f(n) \over 2}-\int _{1}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.}$

Sumando ${\displaystyle {f(1)+f(n) \over 2}}$ a ambos lados de la igualdad y reagrupando términos se obtiene:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{1}^{n}f(x)\,dx+{f(1)+f(n) \over 2}+\int _{1}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\qquad (1)}$

Por tanto, los dos últimos términos nos dan el error cuando la integral se toma como aproximación de la serie.

Consideremos ahora a la siguiente integral:

${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx=\int u\,dv,}$

donde

${\displaystyle {\begin{aligned}u&{}=f'(x),\\du&{}=f''(x)\,dx,\\dv&{}=P_{1}(x)\,dx,\\v&{}=P_{2}(x)/2.\end{aligned}}}$

Integrando otra vez por partes se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}uv-\int v\,du&{}=\left[{f'(x)P_{2}(x) \over 2}\right]_{k}^{k+1}-{1 \over 2}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx\\\\&{}={f'(k+1)-f'(k) \over 12}-{1 \over 2}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx.\end{aligned}}}$

Sumando desde ${\displaystyle k=1}$ hasta ${\displaystyle k=n-1}$ y reemplazando la última integral en (1) por el resultado que se acaba de obtener, tenemos:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{1}^{n}f(x)\,dx+{f(1)+f(n) \over 2}+{f'(n)-f'(1) \over 12}-{1 \over 2}\int _{1}^{n}f''(x)P_{2}(x)\,dx.}$

Obviamente, este procedimiento puede ser iterado. De esta manera se obtiene una demostración de la fórmula de Euler-Maclaurin por inducción, en la que los pasos de la inducción constan de una integración por partes y en el uso de las propiedades de las funciones periódicas de Bernoulli.

Para acotar el tamaño del error cuando la suma se aproxima por la integral, se tiene en cuenta que, en el intervalo ${\displaystyle [0,1]}$, los polinomios de Bernoulli alcanzan sus valores máximos absolutos en los puntos finales del intervalo (véase D.H. Lehmer en la referencias) y que ${\displaystyle B_{n}(1)=B_{n}}$

Demostración mediante análisis funcional

La fórmula de Euler-Maclaurin puede ser obtenida como una aplicación de algunas ideas de espacios de Hilbert y análisis funcional. Sea ${\displaystyle B_{n}(x)}$ un polinomio de Bernoulli. Un conjunto de funciones duales a los polinomios de Bernoulli está dado por

${\displaystyle {\tilde {B}}_{n}(x)={\frac {(-1)^{n+1}}{n!}}\left[\delta ^{(n-1)}(1-x)-\delta ^{(n-1)}(x)\right]}$

donde δ es la función delta de Dirac. Esta fórmula no es más que una notación formal de la idea de tomar derivadas en un punto, entonces se tiene

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\tilde {B}}_{n}(x)f(x)\,dx={\frac {1}{n!}}\left[f^{(n-1)}(1)-f^{(n-1)}(0)\right]}$

para ${\displaystyle n>0}$ y una función diferenciable cualquiera ${\displaystyle f(x)}$ en el intervalo unidad, para el caso en el que ${\displaystyle n=0}$ se define ${\displaystyle {\tilde {B}}_{0}(x)=1}$. Los polinomios de Bernoulli, como sus duales, forman un conjunto ortogonal de estados en el intervalo unidad, así se tiene:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\tilde {B}}_{m}(x)B_{n}(x)\,dx=\delta _{mn}}$

y

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\tilde {B}}_{n}(y)=\delta (x-y).}$

La fórmula de Euler-MacLaurin se obtiene multiplicando la última igualdad por la función a sumar ${\displaystyle f(y)}$ e integrando el resultado sobre el intervalo unidad:

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\tilde {B}}_{n}(y)f(y)\,dy}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}f(y)\,dy+\sum _{n=1}^{N}B_{n}(x){\frac {1}{n!}}\left[f^{(n-1)}(1)-f^{(n-1)}(0)\right]-{\frac {1}{(N+1)!}}\int _{0}^{1}B_{N+1}(x-y)f^{(N)}(y)\,dy.}$

Tomando ${\displaystyle x=0}$ y reagrupando términos se obtiene la fórmula buscada junto con el término de error. Nótese que los números de Bernoulli se definen como ${\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)}$ y que estos se anulan para n impares mayores que 1. Nótese también que en esta derivación se asume que la función ${\displaystyle f(x)}$ es suficientemente diferenciable, en particular, ${\displaystyle f(x)}$ ha de ser una función analítica

La fórmula de Euler-MacLaurin puede verse como una representación de funciones en el intervalo unidad por el producto directo de los polinomios de Bernoulli y sus duales. Sin embargo, esta representación no es completa en el conjunto de funciones cuadrado integrables. La expansión en término de polinomios de Bernoulli tiene una núcleo no trivial. En particular, ${\displaystyle \sin(2\pi x)}$ pertenece al núcleo, pues la integral de ${\displaystyle \sin(2\pi x)}$ se anula en el intervalo unidad, así como la diferencia de sus derivadas en los extremos del intervalo.

 fórmula de inversión de Möbius fue introducida en la teoría de números durante el siglo XIX por August Ferdinand Möbius. Fue generalizada más tarde a otras «fórmulas de inversión de Möbius».

Formulación

La versión clásica^1 2 establece que si g(n) y f(n) son funciones aritméticas satisfaciendo

${\displaystyle g(n)=\sum _{d\mid n}f(d)\quad {\mbox{para todo entero }}n\geq 1}$

entonces

${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}g(d)\mu \left({n \over d}\right)=\sum _{d\mid n}g\left({n \over d}\right)\mu (d)\quad {\mbox{para todo entero }}n\geq 1}$

donde μ es la función de Möbius y las sumas se extienden sobre todos los divisores positivos de n.³ La fórmula también es correcta si f y g son funciones de los números enteros positivos en algún grupo abeliano. Las dos funciones se dice que son la transformada de Möbius la una de la otra. En el lenguaje de convoluciones (véase función multiplicativa), la primera fórmula puede expresarse como

${\displaystyle g=f*1}$

donde "*" denota el operador convolución de Dirichlet, y 1 es la función constante f(n)=1. De la misma manera, la segunda se expresa como

${\displaystyle f=\mu *g.}$

Generalizaciones

Una formulación equivalente de la fórmula de inversión, más útil en combinatoria es como sigue:

Suponga que F(x) y G(x) son funciones complejo-valoradas definidas en un intervalo [1, ∞) tales que

${\displaystyle G(x)=\sum _{1\leq n\leq x}F\left({x \over n}\right)\quad {\mbox{ para todo }}x\geq 1}$

entonces

${\displaystyle F(x)=\sum _{1\leq n\leq x}\mu (n)G\left({n \over d}\right)\quad {\mbox{ para todo }}x\geq 1.}$

aquí las sumas se extienden sobre todos los números enteros positivos n que son menores o iguales que x.

La inversión de Möbius tratada arriba es la inversión original de Möbius. Cuando el conjunto parcialmente ordenado de los números naturales ordenados por la divisibilidad es substituido por otros conjuntos parcialmente ordenados localmente finitos, uno obtiene otras fórmulas de inversión de Möbius; para una reseña de ellas, véase álgebra de incidencia.

Versión multiplicativa de la fórmula de inversión

Como la fórmula de inversión de Möbius puede ser aplicada a cualquier grupo abeliano, esto no supone una diferencia entre si la operación de grupo es la adición o la multiplicación. En este sentido, se puede proporcionar la siguiente versión multiplicativa de la fórmula de inversión de Möbius.¹ Si

${\displaystyle g(n)=\prod _{d|n}f(d)\,}$

entonces

${\displaystyle f(n)=\prod _{d|n}g(d)^{\mu \left({n \over d}\right)}=\prod _{d|n}g\left({n \over d}\right)^{\mu (d)}.\,}$

fórmula del semiverseno es una importante ecuación para la navegación astronómica, en cuanto al cálculo de la distancia de círculo máximo entre dos puntos de un globo sabiendo su longitud y su latitud. Es un caso especial de una fórmula más general de trigonometría esférica, la ley de los semiversenos , que relaciona los lados y ángulos de los "triángulos esféricos".¹

Estos nombres derivan del hecho que suele expresarse en términos de la función haversine, dada por

haversin (θ) = sen ² (θ/2)

Las fórmulas también podrían estar escritas en términos de cualquier múltiple del haversine, como la antigua función verseno (el doble del haversine).

Pero históricamente, el haversine tuvo, una ligera ventaja en su uso en el mar ya que su máximo es "1", por lo que las tablas logarítmicas de sus valores podían acabar con el valor cero. Hoy en día, la forma del haversine sigue siendo interesante, ya que no tiene ningún coeficiente delante de la función seno ² .

En la época anterior a las calculadoras digitales, el uso de tablas náuticas detalladas para el haversine, haversine/inverso y sus logaritmos (para ayudar en las multiplicaciones) ahorró a los navegantes calcular los cuadrados de los senos, el cálculo de raíces cuadradas, etc., un proceso arduo y que podía agravar los pequeños errores (ver también verseno). En el caso del cálculo de longitud por las distancias lunares de José de Mendoza, redujo el proceso de 30 pasos a 7.

Seno, coseno y verseno de θ sobre la base de la circunferencia goniométrica

Fórmula del haversine

Para cualquier par de puntos sobre una esfera:

${\displaystyle \operatorname {haversin} \left({\frac {d}{R}}\right)=\operatorname {haversin} (\varphi _{1}-\varphi _{2})+\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\,\operatorname {haversin} (\Delta \lambda ).}$

donde

haversin es la función haversine, haversin ( θ ) = sen ² ( θ /2) = (1-cos ( θ ))/2

d es la distancia entre dos puntos (sobre un círculo máximo de la esfera, véase distancia esférica),

R es el radio de la esfera,

φ ₁ es la latitud del punto 1,

φ ₂ es la latitud del punto 2, y

Δ λ es la diferencia de longitudes

Hay que tener en cuenta que el argumento a la función haversine se supone que debe darse en radianes. En grados, haversin ( d / R ) de la fórmula se convertiría en haversin (180 · d /π R ).

Entonces se puede resolver ya sea mediante la simple aplicación de la tabla de haversine inversa (si está disponible) o mediante el uso de la función arcoseno (arcoseno) :

${\displaystyle d=R\,\operatorname {haversin} ^{-1}(h)=2R\arcsin \left({\sqrt {h}}\,\right).}$

donde

• h es haversin ( d / R )

Al utilizar estas fórmulas, se debe tener cuidado en asegurarse de que h no exceda 1 debido a un error de coma flotante ( d es sólo real para h de 0 a 1). h sólo se aproxima a 1 en los puntos antipodales (en los lados opuestos de la esfera) - en esta región, tienden a surgir en la fórmula errores numéricos relativamente grandes cuando se utiliza una precisión finita. Sin embargo, ya que "d" es entonces bastante grande (se acerca a π · R , la mitad de la circunferencia) un pequeño error a menudo no es una preocupación importante en este caso inusual (aunque hay otras fórmulas de distancia de círculo máximo que evitan este problema). (La fórmula anterior se escribe a veces en términos de la función arcotangente, pero esta adolece de problemas numéricos similares con valores cerca de h = 1.)

Como se describe a continuación, en lugar de haversines, también se puede escribir una fórmula similar, en términos del coseno -a veces llamada la ley esférica del coseno -, (a no confundir con la ley del coseno para la geometría plana), pero para el caso común de distancias pequeñas ... un pequeño error en los datos de entrada de la función "arccos" lleva a un gran error en el resultado final. Esto hace que la fórmula no sea apta para un uso general.

Esta fórmula es sólo una aproximación cuando se aplica a la Tierra, porque la Tierra no es una esfera perfecta: el radio de la Tierra R varía de 6.356,78 kilómetros en los polos hasta 6378 , 14 kilómetros en el ecuador. Hay pequeñas correcciones, típicamente del orden de 0,1% (p.e. suponiendo la media geométrica R = 6.367,45 kilómetros que se utiliza en todas partes), a causa de esta ligera forma elipsoidal del planeta. Otro método más preciso, que tiene en cuenta la forma elipsoidal de la Tierra, viene dada por las fórmulas de Vincenty.

Ley del haversine

Dada una esfera unidad, un "triángulo esférico" en la superficie de la esfera se define por los tres círculos máximos que conectan tres puntos u, v y w sobre la esfera. Si los tres arcos que definen son: a (de u a v), b (de u a w), y c (de v a w), y el ángulo del vértice opuesto a c es C , entonces la ley del haversine dice:

(la ley del haversine)

${\displaystyle \operatorname {hav} (c)=\operatorname {hav} (a-b)+\sin(a)\sin(b)\,\operatorname {hav} (C).}$

Triángulo esférico resuelto por la ley del haversine.

Como se trata de una esfera unitaria, las longitudes a , b y c son simplemente iguales a los ángulos centrales (en radianes) que los definen a partir del centro de la esfera (para una esfera no unitaria, cada una de estos arcos es igual a su ángulo central multiplicado por el radio de la esfera).

Para obtener la fórmula del haversine de la sección anterior de esta ley, simplemente se considera el caso especial donde uno es el polo norte, mientras que w y v son los dos puntos entre los que se quiere determinar la distancia d. En este caso, a y b son π / 2 - φ _1,2 (es decir, 90° - latitud), C es el incremento de longitud Δλ, y c es la distancia d/R que se quiere calcular. Tomando nota de que sin (π / 2 - φ) = cos (φ), la fórmula del haversine se calcula como sigue:

Para deducir la ley del haversine, se parte de la ley esférica de coseno:

(teorema esférico del coseno)

${\displaystyle \cos(c)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\cos(C).\,}$

Como se ha mencionado anteriormente, esta fórmula no es demasiado buena para la resolución de c cuando c es pequeño. En su lugar, se sustituye la identidad: cos (θ) = 1-2 hav(θ), y para obtener la ley del haversine citada más arriba, también se utiliza la identidad de la suma:

cos(a − b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)