Algoritmos

algoritmos de factorización de enteros

 método de factorización de Euler es un método de factorización basado en la representación de un entero positivo ${\displaystyle N}$ como la suma de dos cuadrados de dos maneras distintas:

${\displaystyle N=a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}}$

Aunque la factorización algebraica de números binomiales no sirve para factorizar sumas de dos cuadrados (en efecto un número que se puede expresar de una forma como suma de dos cuadrados es un número primo) si se pueden hallar dos representaciones distintas de un número como suma de dos cuadrados se sigue de ahí una factorización:

Partiendo de ${\displaystyle N=a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}}$

se resta ${\displaystyle b^{2}+c^{2}}$ a ambos lados de la igualdad para crear una diferencia de dos cuadrados:

${\displaystyle a^{2}-c^{2}=d^{2}-b^{2}}$

y de ahí se sigue que:

${\displaystyle (a-c)\cdot (a+c)=(d-b)\cdot (d+b)}$

Supóngase sin pérdida de generalidad que ${\displaystyle d}$ y ${\displaystyle b}$ son ambos pares o bien ambos impares, de forma que su diferencia es par. Ahora se define una constante ${\displaystyle k}$ igual al máximo común divisor de ${\displaystyle (a-c)}$ y ${\displaystyle (d-b)}$ de forma que:

${\displaystyle (a-c)=kl}$ y ${\displaystyle (d-b)=km}$, con ${\displaystyle \operatorname {mcd} (l,m)=1}$

de forma que, tras sustituir en la expresión anterior quedaría la siguiente ecuación:

${\displaystyle l\cdot (a+c)=m\cdot (d+b)}$

Como ${\displaystyle l}$ y ${\displaystyle m}$ son primos entre sí, se supone que ${\displaystyle (a+c)}$ es divisible por ${\displaystyle m}$, lo que nos daria como expresiones:

${\displaystyle (a+c)=mn}$ y;

${\displaystyle (d+b)=ln}$

La factorización del número original ${\displaystyle N}$ se puede mostrar que podría ser igual a:

${\displaystyle N=\left[\left({\frac {k}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}\right]\cdot (m^{2}+l^{2})}$

Historia y aplicaciones

La idea de que dos representaciones distintas de un entero positivo diera lugar a una factorización fue aparentemente planteada por primera vez por Marin Mersenne. Sin embargo, no fue hasta Euler, cien años después y un poco más, que su uso empezara a extenderse. Su más celebrado uso del método que hoy lleva su nombre fue el de factorizar el número ${\displaystyle N=1000009}$, que, al parecer, se pensaba que era primo a pesar de que ninguno de los principales tests de primalidad lo da como pseudoprimo.

Como también:

${\displaystyle 1000009=1000^{2}+3^{2}=972^{2}+235^{2}}$

se tiene por las fórmulas anteriores:

a = 1000	a - c = 28	k = 4
b = 3	a + c = 1972	l = 7
c = 972	d - b = 232	m = 58
d = 235	d + b = 238	n = 34

Así,

${\displaystyle {\begin{aligned}1000009&=\left[\left({\frac {4}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {34}{2}}\right)^{2}\right]\cdot (58^{2}+7^{2})\\{}&=(2^{2}+17^{2})\cdot (58^{2}+7^{2})\\{}&=(4+289)\cdot (3364+49)\\{}&=293\cdot 3413\end{aligned}}}$

El método de factorización de Euler es más efectivo que el de Fermat para números naturales cuyos factores no sean próximos entre sí y es potencialmente mucho más eficiente que la división por tentativa si se pueden hallar representaciones de números como suma de cuadrados de forma razonablemente fácil. El desarrollo de Euler permitió una factorización mucho más eficiente, y, para los años 1910, el desarrollo de una tabla de factores de números hasta 10 millones. Los métodos empleados para encontrar representaciones de números como sumas de dos cuadrados son esencialmente los mismos que se usan para encontrar las diferencias de cuadrados en el método de Fermat.

Desventaja

La gran desventaja del método de factorización de Euler es que no se puede emplear para factorizar un número que tenga algún factor primo de la forma 4k+3 elevado a una potencia impar en su factorización como producto de primos, ya que tal número no podría ser la suma de dos cuadrados. Incluso algunos números compuestos impares de la forma 4k+1 son el producto de dos primos de la forma 4k+3 (por ejemplo, 3053 = 43 × 71) y por ello no admiten factorización a través del método de Euler.

Esta restricción en su uso ha restado protagonismo al método de Euler en el campo de los algoritmos informáticos de factorización, ya que un usuario que intente factorizar un número aleatorio no tiene por qué saber (y en general no sabe) si el método de Euler se puede aplicar a ese número. Sólo recientemente se ha intentado desarrollar el método de Euler en forma de algoritmos informáticos para emplearse en números especiales en los que se sepa que se puede aplicar el método de Euler.

En algebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en numeros primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomios conjugados (a - b)(a + b).

=

Casos y formulas

= 

HISTORIA:

El método de factorización de Euler es un método de factorización basado en la representación de un enteropositivoN como la suma de dos cuadrados de dos maneras distintas:

N =a2 + b2 =c2 + d2

Aunque la factorización algebraica de números binomiales no sirve para factorizar sumas de dos cuadrados (en efecto un número que se puede expresar de una forma como suma de dos cuadrados es un número primo) si se pueden hallar dos representaciones distintas de un número como suma de dos cuadrados se sigue de ahí una factorización:

Partiendo de N =a2 + b2 =c2 + d2

 se resta b2 + c2 a ambos lados de la igualdad para crear una diferencia de dos cuadrados:

 a2 − c2

d2 − b2 =

y de ahí se sigue que: (a - c) . (a + c)

(d - b) . (d + b) Supóngase sin pérdida de generalidad que d y b son ambos pares o bien ambos impares, de forma que su diferencia es par. Ahora se define una constante k igual al máximo común divisor de (a − c) y (d − b) de forma que:=

(a − c) kl y (d − b) km, con mcd(l,m)

1= =

método de factorización de Fermat se basa en la representación de un número natural impar como la diferencia de dos cuadrados:

${\displaystyle n=a^{2}-b^{2}.}$

Esa diferencia se puede factorizar algebraicamente como ${\displaystyle (a+b)(a-b)}$; si ninguno de esos factores es igual a 1, se trata de una factorización propia de n.

Todo número impar se puede representar de esta manera. En efecto, si ${\displaystyle n=cd}$ es una factorización de n, entonces

${\displaystyle n=\left({\frac {c+d}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {c-d}{2}}\right)^{2}}$

Como n es impar, c y d también son impares, por lo que su semisuma y semidiferencia son ambos enteros. (Un múltiplo de cuatro también es una diferencia de cuadrados: en ese caso se pueden plantear c y d como números pares.)

En su forma más simple, el método de Fermat puede ser incluso más lento que el de división por tentativa en el peor de los casos. Sin embargo, la combinación de división por tentativa y el método de Fermat es más efectivo que el uso exclusivo de uno de ellos.

Método básico

Se van tomando varios valores de a, con la esperanza de que ${\displaystyle a^{2}-n=b^{2}}$ sea un cuadrado.

Algoritmo Factorización de Fermat

Entrada: Un número natural impar n. Salida : Un factor del número n. A ← ⌈√n⌉ // ⌈.⌉ indica la función techo Bcuad ← A×A - n Mientras Bcuad no sea un cuadrado haga lo siguiente: A ← A + 1 Bcuad ← A×A - n // alternativamente: Bcuad ← Bcuad + 2×A + 1 Retorne A - √Bcuad // ó A + √Bcuad

Si n tiene más de dos factores primos, este procedimiento primero encuentra la factorización con el menor valor de a y b. Es decir, ${\displaystyle a+b}$ es el menor factor mayor o igual que la raíz cuadrada de n. Por tanto, ${\displaystyle \textstyle a-b={\frac {n}{a+b}}}$ es el mayor factor menor o igual que ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$. Si el procedimiento devuelve ${\displaystyle n=1\cdot n}$, entonces n debe ser primo.

Para ${\displaystyle n=cd}$, sea c el mayor factor menor que la raíz. ${\displaystyle \textstyle a={\frac {c+d}{2}}}$, por tanto, el número de pasos requeridos es aproximadamente:

${\displaystyle {\frac {c+d}{2}}-{\sqrt {n}}={\frac {\left({\sqrt {d}}-{\sqrt {c}}\right)^{2}}{2}}={\frac {({\sqrt {n}}-c)^{2}}{2c}}}$.

Si n es primo (es decir, ${\displaystyle c=1}$), ¡hacen falta ${\displaystyle O(n)}$ pasos! Esta es desde luego una mala forma de demostrar la primalidad de un número. Pero si n tiene un factor próximo a su raíz cuadrada, el método funciona rápidamente. Concretamente, si c difiere de ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ en menos de ${\displaystyle {\left(4n\right)}^{1/4}}$, entonces el método sólo necesita un paso, y esto es independiente del tamaño de n.

Ejemplo

Tómese el número ${\displaystyle n=5959}$ para realizar su factorización, se procede así:

A:	78	79	80
Bcuad:	125	282	441

El tercer intento produce un cuadrado. ${\displaystyle A=80}$, ${\displaystyle B=21}$, y los factores son ${\displaystyle A-B=59}$ y ${\displaystyle A+B=101}$.

Factorización de Fermat y división por tentativa

Intentemos factorizar el número primo n=2345678917, pero también calcular b y a-b. Empezando por ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ y subiendo desde ahí, quedan así tabulados los datos:

A:	48433	48434	48435	48436
Bcuad:	76572	173439	270308	367179
B:	276,7	416,5	519,9	605,9
A-B:	48156,3	48017,5	47915,1	47830,1

En la práctica, se puede ignorar la última fila hasta que b sea un número entero. Pero cabe observar que si n tuviera un factor menor que su raíz pero mayor que ${\displaystyle A-B=47830,1}$, el método de Fermat ya lo habría encontrado.

La división por tentativa normalmente tendría que seguir hasta el mayor primo menor que 48432; pero tras sólo cuatro pasos con el método de Fermat, basta intentarlo hasta 47830 para encontrar un factor o determinar la primalidad.

Esto sugiere la implementación de un método que combine los ya descritos. Basta tomar una cota ${\displaystyle c>{\sqrt {n}}}$ y usar Fermat para los factores comprendidos entre ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ y ${\displaystyle c}$. Esto deja una cota para la división por tentativa de ${\displaystyle c-{\sqrt {c^{2}-n}}}$. En el ejemplo anterior, con ${\displaystyle c=48436}$ la cota para la división por tentativa es 47830. Otra opción razonable sería ${\displaystyle c=55000}$, que deja una cota de 28937.

Siguiendo con el método de Fermat, se obtiene un rendimiento cada vez menor. Así, normalmente uno pararía antes de llegar a este punto:

A:	60001	60002
Bcuad:	1254441084	1254561087
B:	35418,1	35419,8
A-B:	24582,9	24582,2

Mejoras del algoritmo

Mejora del cribado

No es necesario computar todas las raíces cuadradas de los ${\displaystyle a^{2}-n}$, ni siquiera todos los valores de ${\displaystyle a}$. Por ejemplo, aquí se presenta de nuevo la tabla para ${\displaystyle n=2345678917}$:

A:	48433	48434	48435	48436
Bcuad:	76572	173439	270308	367179
B:	276,7	416,5	519,9	605,9

Se puede ver rápidamente que ninguno de estos valores de Bcuad es un cuadrado. Los cuadrados son congruentes con 0, 1, 4, 5, 9 ó 16 módulo 20. Los valores se repiten con cada aumento de ${\displaystyle a}$ en 10 unidades. En este ejemplo, ${\displaystyle a^{2}-n}$ produce 3, 4, 7, 8, 12 y 19 módulo 20 para estos valores. De ahí se deduce que sólo el 4 de esta lista puede corresponder a un cuadrado. Por tanto, ${\displaystyle a^{2}}$ debe ser 1 mód 20, lo que implica que ${\displaystyle a}$ es 1 ó 9 mód 10; esto dará lugar a un B_cuad congruente con 4 mód 20, y si B_cuad es cuadrado, ${\displaystyle b}$ acabará en 2 u 8 mód 10.

Este proceso se puede realizar con cualquier módulo. Con el mismo ${\displaystyle n=2345678917}$,

módulo 16:	Los cuadrados son	0, 1, 4 ó 9
	n mód 16 es	5
	así que ${\displaystyle a^{2}}$ sólo puede ser	9
	y ${\displaystyle a}$ debe ser	3 ó 5 módulo 16
módulo 9:	Los cuadrados son	0, 1, 4 ó 7
	n mód 9 es	7
	así que ${\displaystyle a^{2}}$ sólo puede ser	7
	y ${\displaystyle a}$ debe ser	4 ó 5 módulo 9

Generalmente se toma una potencia de un primo distinto para cada módulo.

Dada una sucesión de valores de a (inicial, final y el "paso") y un módulo, se puede proceder así:

Criba_Fermat(n, A_ini, A_fin, A_paso, Módulo)

A ← A_ini

hacer Módulo veces:

B_cuad ← A×A - n

si B_cuad es cuadrado, módulo Módulo:

Criba_Fermat(n, A, A_fin, A_paso × Módulo, Siguiente_Módulo)

fin si

A ← A + A_paso

fin hacer

Pero se puede detener la recursión cuando quedan pocos valores de a, es decir, cuando (A_fin-A_ini)/A_paso es pequeño. Además, como el tamaño del paso de a' es constante, se pueden computar los sucesivos B_cuad mediante sumas.

Mejoras por uso de multiplicador

El método de Fermat funciona de forma óptima cuando hay un factor cercano a la raíz cuadrada de n. A lo mejor se puede favorecer que así sea.

Si se conoce la razón aproximada de dos factores (${\displaystyle {\tfrac {d}{c}}}$), entonces se puede escoger un número racional ${\displaystyle {\tfrac {v}{u}}}$ próximo a ese valor. ${\displaystyle nuv=cv\cdot du}$, quedando dos factores próximos que el método de Fermat, aplicado a nuv, hallará rápidamente. Entonces ${\displaystyle \mathrm {mcd} (n,cv)=c}$ y ${\displaystyle \mathrm {mcd} (n,du)=d}$. (A menos que c divida a u o d divida a v.)

En general, no se conoce esa razón, pero se puede probar con diversos valores ${\displaystyle {\tfrac {u}{v}}}$, y tratar de factorizar cada nuv que surja. R. Lehman ideó una forma sistemática de hacer esto, de forma que la combinación de Fermat y la división por tentativa factorice n en ${\displaystyle O(n^{1/3})}$.¹

Otras mejoras

La idea fundamental del método de Fermat es la base de la criba cuadrática y la criba generalizada sobre el cuerpo de los números (general number field sieve), los algoritmos mejor conocidos para la factorización de semiprimos grandes "en el peor de los casos". La principal mejora de la criba cuadrática sobre la factorización de Fermat es que, en lugar de buscar un cuadrado en la sucesión de a²−n, lo que hace es hallar un subconjunto de elementos de esta sucesión cuyo producto es un cuadrado, y lo hace de forma muy eficiente. El resultado final es el mismo: una diferencia de cuadrados mód n que, si no es trivial, puede emplearse para factorizar n.²

El método de factorización de Fermat

La cuestión es factorizar un cierto número . La idea de Fermat es la siguiente:

Si  es igual a la diferencia de dos cuadrados, digamos , entonces  puede factorizarse de forma muy sencilla de forma evidente: .

Como  debe ser mayor que  se tiene que  debe ser mayor que . A partir de ésto ya podemos adentrarnos en el método de factorización de Fermat:

Dado un número entero positivo  que queremos factorizar tomamos un entero positivo  mayor que  (podemos calcular una aproximación de esa raíz cuadrada a ojo o con el método normal y después elegir ). Calculamos  y le restamos . Si obtenemos un cuadrado hemos terminado. Si no es así tomamos , calculamos , restamos  y si hemos obtenido un cuadrado se acaba. Procedemos de la misma forma hasta encontrar un cuadrado.

Vamos a ver un par de ejemplos de aplicación del método:

1. Vamos a factorizar el número . Su raíz cuadrada está entre  y . Tomamos . Pero , que no es un cuadrado. Tomamos ahora . Ahora . Por tanto despejando  de esta expresión tenemos su factorización: 
2. Vamos ahora con un número más grande, el que utilizó Fermat para probar la efectividad de su método: . Su raíz cuadrada está entre  y . Comenzamos con . Veamos qué resultados obtenemos:
   , que no es un cuadrado.
   , que no es un cuadrado.
   , que no es un cuadrado.
   , que no es un cuadrado.
   , que no es un cuadrado.
   , que no es un cuadrado.
   , que no es un cuadrado.
   , que no es un cuadrado.
   , que no es un cuadrado.
   , que no es un cuadrado.
   , que no es un cuadrado.
   .
   Por tanto ya tenemos la factorización:
   

Como podemos ver el método está muy bien si la diferencia entre los factores del número no es muy grande pero no es demasiado eficiente si los dos factores están muy alejados el uno del otro, ya que en ese caso la cantidad de cálculos que deberíamos realizar sería enorme. Esa es la razón por la que yo pienso que Fermat no usó este método para factorizar el número  y me temo que siempre nos quedará la duda de qué método utilizó Fermat para realizar esta factorización. De todas formas el método es interesante ya que hasta en nuestros tiempos ha servido como motivación para la búsqueda de nuevos métodos de factorización.