Epónimos relacionados con las matemáticas

 criterio de Euler es utilizado para calcular si un número entero x es un residuo cuadrático módulo un número primo. Su nombre se debe al matemático suizo Leonhard Euler.

Enunciado

Sea p > 2 un número primo y a un número entero coprimo con p. Entonces a es un residuo cuadrático módulo p si y solo si

${\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv 1{\pmod {p}}.}$

Como corolario de este teorema se obtiene que si a no es un residuo cuadrático módulo p entonces

${\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv -1{\pmod {p}}.}$

Así, el criterio de Euler puede ser reformulado de manera más compacta usando el símbolo de Legendre:

${\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv \left({\frac {a}{p}}\right){\pmod {p}}.}$

Demostración

Supongamos que ${\displaystyle a\equiv x^{2}{\pmod {p}}}$. Se sabe por el pequeño teorema de Fermat que si p es primo y es coprimo con a, es decir, p no divide al número a, entonces ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$. Luego tenemos

${\displaystyle a^{(p-1)/2}}$	${\displaystyle \equiv (x^{2})^{(p-1)/2}{\pmod {p}}}$
	${\displaystyle \equiv x^{p-1}{\pmod {p}}}$
	${\displaystyle \equiv 1{\pmod {p}}}$

A la inversa, suponemos que ${\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv 1{\pmod {p}}}$. Sea b un elemento primitivo modulo p. Entonces ${\displaystyle a\equiv b^{i}{\pmod {p}}}$ para algún i. Luego tenemos

${\displaystyle a^{(p-1)/2}}$	${\displaystyle \equiv (b^{i})^{(p-1)/2}{\pmod {p}}}$
	${\displaystyle \equiv b^{i(p-1)/2}{\pmod {p}}}$

Como b es de orden p-1, debe darse el caso que p-1 divide a i(p-1)/2. Por lo tanto, i es par, y las raíces cuadradas de a son ${\displaystyle \pm b^{i/2}}$.

Para un primo  impar, si , es fácil demostrar que:

• la ecuación  tiene una única solución
• la ecuación  tiene ninguna o dos soluciones.

A partir de esos hechos Gauss demuestra en el artículo 77 de las Disquisitiones el teorema de Wilson. Con el mismo método se demuestra a continuación el criterio de Euler, que dice que un elemento  del sistema de restos  de un primo  es o no es un cuadrado según  sea  ó .

Para un resto , formamos todos los pares , con .

Si  no es un cuadrado módulo , los elementos de todos los pares serán diferentes, y como hay  términos , habrá  pares y el producto de todos los elementos de todos los pares será , por el teorema de Wilson.

Si  es un cuadrado módulo , habrá dos pares , y en el resto de los pares los términos serán diferentes. Entonces habrá un total de  pares. Multiplicando todos los términos de todos los pares tenemos , es decir , por el teorema de Wilson.

Corolarios.
El pequeño teorema de Fermat () no se ha usado en la demostración del teorema de Wilson por el artículo 77 de Gauss ni más arriba, y es un corolario evidente.
Otro corolario es que  existe en los sistemas de restos para los primos de la forma  y no existe para los primos de la forma .

Exponente Lyapunov o Exponente característico Lyapunov de un sistema dinámico es una cantidad que caracteriza el grado de separación de dos trayectorias infinitesimalmente cercanas. Cuantitativamente, dos trayectorias en el espacio-fase con separación inicial ${\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}}$ diverge

${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|}$

El radio de separación puede ser distinto para diferentes orientaciones del vector de separación inicial. Aunque, hay un completo espectro del exponente Lyapunov; el número de ellos es igual al número de dimensiones del espacio-fase. Es común referirse sólo a la más grande, porque determina la predictibilidad de un sistema.

Definición

Para un sistema dinámico que evoluciona según la ecuación ${\displaystyle f^{t}}$ en un espacio de n–dimensiones, el espectro del exponente Lyapunov

${\displaystyle \{\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n}\}\,,}$

en general depende del punto de inicio ${\displaystyle x_{0}}$. El exponente Lyapunov describe el comportamiento de los vectores en el espacio tangente al espacio-fase y son definidos por la matriz Jacobiana:

${\displaystyle J^{t}(x_{0})=\left.{\frac {df^{t}(x)}{dx}}\right|_{x_{0}}}$.

La matriz ${\displaystyle J^{t}}$ describe cómo un pequeño cambio en el punto ${\displaystyle x_{0}}$ se propaga hasta el punto final ${\displaystyle f^{t}(x_{0})}$. El límite

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }(J^{t}\cdot \mathrm {Transpose} (J^{t}))^{1/2t}}$

define a una matriz ${\displaystyle L(x_{0})}$ (las condiciones para la existencia del límite son dadas por el teorema de Oseldec. Si ${\displaystyle \Lambda _{i}(x_{0})}$ son los valores dados de ${\displaystyle L(x_{0})}$, entonces el exponente Lyapunov ${\displaystyle \lambda _{i}}$ está definido por

${\displaystyle \lambda _{i}(x_{0})=\log \Lambda _{i}(x_{0})\,.}$

Propiedades básicas

• Si el sistema es conservativo (no existe disipación), la suma de todos los exponentes Lyapunov debe ser cero.
• Si el sistema es disipativo, la suma será negativa.
• Si el sistema es un flujo, un exponente será siempre cero.
• En un sistema dinámico hamiltoniano, la suma sólo puede ser positiva si el sistema es un sistema abierto.

• El espectro de Lyapunov puede ser usado para estimar el radio de producción de entropía de un sistema dinámico.
• El inverso del mayor exponente Lyapunov es llamado a veces en literatura momento Lyapunov. Para órbitas caóticas, el momento Lyapunov será finito, aunque para órbitas regulares será infinito.

Cálculo numérico.

Generalmente, el cálculo de los exponentes Lyapunov, como se define arriba, no puede ser llevado a cabo analíticamente, y en la mayoría de los casos uno debe recurrir a técnicas numéricas. Los procedimientos numéricos comúnmente usados estiman la matriz ${\displaystyle L}$ basándose en un rango finito de aproximaciones de tiempo del límite definiendo ${\displaystyle L}$.

El exponente característico de Liapunov

Esta medida de caos, fue introducida por el célebre matemático ruso Alexander Mijailovic Liapunov a principios del siglo XX, los exponentes de Liapunov, como ahora se les conoce, son un conjunto de números que se emplean usualmente para detectar la presencia del caos en sistemas dinámicos.
La idea en general es medir qué tan rápido se alejan o difieren las configuraciones globales contiguas con respecto al tiempo.

 
Figura 2: El mapa de retorno muestra las velocidades instantaneas en el punto de retorno de las trayectorias. El promedio de las velocidades indica el exponente característico de Liapunov.

El exponente característico de Liapunov está definido para una función dinámica F con una configuración inicial  de acuerdo a la siguiente expresión:

 

Donde  es el valor absoluto de la primera derivada de la n-ésima iteración de f a partir de  [14]
En otras palabras, la expresión (1) es el máximo valor que alcanza el promedio del orden exponencial de la velocidad, con la cual las configuraciones globales se alejan (o se acercan) de sus configuraciones globales inmediatas siguientes. Después de n pasos en el tiempo.
Para comprender lo anterior y tener un punto de referencia, es necerario primero definir un espacio métrico que relacione dos configuraciones globales en base a una medida de distancia.
Como es definido en topología, un espacio métrico debe cumplir con tres condiciones [10] para cualesquiera tres puntos diferentes x,y,z en el mismo espacio de representación:

 

La distancia que separa un punto de él mismo es nula.

 

La distancia que separa a dos puntos distintos, es la misma sin importar el orden en que se tomen los puntos.

 

Obedece la desigualdad del triángulo.
Sea E el espacio de representación de todas las configuraciones globales de tamaño n. Con . Sea también , no es necesario que . Sea la medida de distancia:

 

El subíndice i se coloca en forma creciente desde -n hasta 0 y de izquierda a derecha sobre todas las células de la configuración global. Significa que la diferencia en el estado de las células del extremo derecho es más significativa para estimar la distancia.
La letra k denota la cardinalidad del conjunto de estados que definen al autómata celular. En el caso de un autómata binario, k=2.
Esta medida de distancia y esta definición de exponente de Liapunov presentan deficultades. En primer lugar, la definición (1) está expresada para funciones dinámicas de variable real de tipo .
Es posible aplicar la definición anterior usando la derivada de una función booleana, ya que la regla de evolución puede ser considerada como una función bivaluada, sin embargo en este documento no se aborda esta posibilidad.
La medida de distancia expresada anteriormente, también presenta dificultades, ya que la fracción  es prácticamente 0 cuando x es mayor que 30, siendo que el espacio de evolución del autómata normalmente es de mucho más que 30 células.
Sin embargo se ha publicado otra definición que está más de acuerdo con los términos usados en la teoría de autómatas celulares con el fin de valorar el exponente característico de Liapunov [3]. Si la regla básica de la evolución de un autómata celular es:

 

Es decir, el estado que adquiera la célula  en el paso de tiempo t es dependiente del estado que tengan un conjunto de células en un radio máximo de r células en el paso de tiempo anterior t-1. Ahora, después de T pasos de tiempo, la célula  depende ahora de a lo más 2rT células de la configuración global inicial, como se muestra en la figura 3.

 
Figura 3: El estado de una célula en el tiempo T depende no sólo de su vecindad inmediata, sino de a lo más 2rT células en la configuración inicial

Lo que significa que, los patrones generados por la evolución del autómata se pueden propagar a velocidades mayores que r células por paso de tiempo debido a la correlación existente con las células vecinas y su dependencia con la vecindad que las generó. Aunque hay reglas que su velocidad de propagación de patrones es más lenta. En general, denotemos por  a un número R que es el mínimo número de células que tienen influencia sobre el estado que una célula  tome en el paso de tiempo T.
Entonces, la máxima velocidad de propagación asociada con la regla de evolución F es:

 

Sin embargo sólo se aplica a reglas simétricas, para las reglas que no son simétricas se pueden definir los exponentes característicos de Liapunov de izquierda y de derecha, denotados por  y  respectivamente.

 

Figura 4: 8 generaciones a partir de una configuración global aleatoria bajo la regla de evolución 30 en un autómata celular lineal (2,1) con condiciones periodicas en las fronteras.

La figura 4 muestra una la evolución del autómata celular lineal (2,1) R30, durante 8 instantes de tiempo. Esta regla en especial muestra diferentes velocidades de transferencia de información, y se puede observar modificando ligeramente la configuración inicial.
La velocidad de transferencia, es el exponente de Liapunov, que es la velocidad con la que se ``separan'' las configuraciones globales, como lo ilustra la figura 5.

 

Figura 5: La velocidad de propagación de los patrones de diferencia que presenta la evolución al modificar una célula (señalada con una flecha) es diferente por ambos lados; por la derecha es  y por la izquierda es 

Concluímos que el exponente de Liapunov puede ser:

• 
• 

En el primer caso, se verifica que la regla de evolución genera una velocidad de tranferencia positiva, es decir, se puede garantizar que al menos la distancia que separa dos configuraciones globales contiguas en el tiempo permanece constante. Si es así, la evolución tendrá más oportunidad de mostrar fases distintas a cada paso del tiempo; exhibiendo un comportamiento caótico.
Entonces, una regla de evolución tiene un comportamiento más caótico que otra, si el exponente característico de Liapunov de la primera regla de evolución es mayor que el de la segunda.
Aún se pueden verificar casos interesantes cuando el exponente de Liapunov es positivo:

•  se deduce de este valor un comportamiento esTabla, cada configuración global que es generada, dista de su configuración ancestra una medida constante, logrando ciclos atractores grandes (en dependencia del tamaño del espacio celular).
•  cuando ocurre esto la regla de evolución presenta un comportamiento caótico, y presenta esta característica más rápido a medida que el valor del exponente es mayor.

El segundo caso se puede interpretar como la existencia de un punto atractor, ya que la velocidad de transferencia disminuye a cada generación, lo que significa que a cada paso de tiempo la distancia entre dos configuraciones globales se reduce. Se esperaría que después de algunas evoluciones, el comportamiento global sea trivial.