Epónimos relacionados con las matemáticas

La fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe (o fórmula BBP) permite calcular el enésimo dígito de π en base 2 (o 16) sin necesidad de hallar los precedentes, de una manera rápida y utilizando muy poco espacio de memoria en la computadora. Simon Plouffe junto con David Bailey y Peter Borwein hallaron esta fórmula el 19 de septiembre de 1995 usando un programa informático llamado PSLQ que busca relaciones entre números enteros.

La fórmula BBP

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)}$

La demostración de esta fórmula se encuentra más abajo.

Uso de la fórmula para calcular los decimales del número π

A continuación se muestra el cálculo del enésimo dígito hexadecimal de π.

Primero se debe observar que el dígito ubicado en la posición N+1 de π en base 16 es el mismo que el primer dígito hexadecimal de 16^Nπ. En efecto, como en la base 10, multiplicar un número en base 16 por 16 equivale a desplazar la coma decimal un lugar hacia la derecha. De esta manera, multiplicando por 16^N, la coma se desplaza N lugares hacia la derecha. El problema original se reduce al cálculo del primer dígito de 16^Nπ. Usando la fórmula BBP:

${\displaystyle 16^{N}\pi =\sum _{k=0}^{\infty }16^{N-k}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)}$

El cálculo de los primeros dígitos hexadecimales a la derecha de la coma de este número no es sencillo por dos razones: el número es muy grande y la suma es infinita.

Supongamos que ${\displaystyle S_{N}(a)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {16^{N-k}}{8k+a}}}$. El cálculo de los primeros dígitos hexadecimales de S_N(a) permitirá obtener los de 16^Nπ, a través de la relación:

${\displaystyle 16^{N}\pi =4\ S_{N}(1)-2S_{N}(4)-S_{N}(5)-S_{N}(6)}$

Descomponiendo la suma S_N(a) en dos:

${\displaystyle S_{N}(a)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {16^{N-k}}{8k+a}}=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {16^{N-k}}{8k+a}}+\sum _{k=N}^{\infty }{\frac {16^{N-k}}{8k+a}}=A_{N}(a)+B_{N}(a)}$

se pueden calcular A_N(a) y B_N(a) en forma independiente.

Cálculo de B_N(a)

${\displaystyle B_{N}(a)=\sum _{k=N}^{\infty }{\frac {16^{N-k}}{8k+a}}}$

Aunque se trata de una suma infinita, es muy fácil de calcular, porque sus términos son pequeños y decrecen rápidamente.

• En efecto, el primer término de la suma es: ${\displaystyle b_{N}={\frac {1}{8N+a}}}$. Si se busca el enésimo dígito hexadecimal de π (N = 1 000 000 000 por ejemplo), el primer término es mucho menor que 1.
• Además, cada término tiene un cero más a la derecha de la coma que el precedente, porque para k ≥ N, b_k > 16 b_k+1:

${\displaystyle {\frac {b_{k}}{b_{k+1}}}={\frac {16^{N-k}}{16^{N-(k+1)}}}{\frac {8(k+1)+a}{8k+a}}=16\left(1+{\frac {8}{8k+a}}\right)\longrightarrow 16^{+}}$.

Finalmente, la suma B_N(a) es de la forma (en el peor caso):

${\displaystyle B_{N}\ =\ \ 0,**********.\ .\ .\ .\ }$

${\displaystyle +\ 0,0*********.\ .\ .\ }$

${\displaystyle +\ 0,00********.\ .\ .\ }$

${\displaystyle +\ 0,000********.\ .\ .\ }$

Por lo tanto, para obtener B_N(a) con una precisión de P cifras detrás de la coma, es suficiente calcular los P primeros términos de la suma, agregándose algunos términos más para evitar errores que aparecen al realizar cálculos con valores aproximados.

Así, se calcula: ${\displaystyle B_{N}'(a)=\sum _{k=N}^{N+P+10}{\frac {16^{N-k}}{8k+a}}}$

Como esta suma sólo posee una pequeña cantidad de términos, el tiempo que insume esta operación es insignificante para una computadora.

Cálculo de A_N(a)

${\displaystyle A_{N}(a)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {16^{N-k}}{8k+a}}}$

El problema para el cálculo de A_N(a) es que los primeros términos son muy grandes (N cifras de base 16 antes de la coma). Sin embargo, al igual que las primeras cifras detrás de la coma, no importa la parte entera, que también es grande. Por lo tanto, puede "eliminarse" usando aritmética modular.

Toda la dificultad se reduce a hallar la parte fraccionaria de ${\displaystyle {\frac {16^{N-k}}{8k+a}}}$. Para ello realizamos la división entera de 16^N-k por 8k+a:

${\displaystyle \exists q\in \mathbb {Z} ,\exists r<8k 16="" a="" annotation="" k="" q="" r="">$

Así ${\displaystyle {\frac {16^{N-k}}{8k+a}}=q+{\frac {r}{8k+a}}}$

${\displaystyle {\frac {r}{8k+a}}}$ es menor que 1, por lo tanto, es la parte fraccional de ${\displaystyle {\frac {16^{N-k}}{8k+a}}}$.

Y ${\displaystyle {\frac {r}{8k+a}}={\frac {16^{N-k}{\pmod {8k+a}}}{8k+a}}}$

Así, se calcula: ${\displaystyle A_{N}'(a)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {16^{N-k}{\pmod {8k+a}}}{8k+a}}}$.

Utilizando el método de la exponenciación binaria, ${\displaystyle 16^{N-k}{\pmod {8k+a}}}$ se calcula rápidamente (con un tiempo de ejecución de O(log₂(N-k)).

Conclusión

Al fin y al cabo, para obtener los primeros dígitos de π base 16 (o 2), se deben calcular los primeros dígitos de:

${\displaystyle \pi _{N}=4\ S_{N}'(1)-2\ S_{N}'(4)-S_{N}'(5)-S_{N}'(6)}$

con ${\displaystyle S_{N}'(a)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {16^{N-k}{\pmod {8k+a}}}{8k+a}}+\sum _{k=N}^{N+P+10}{\frac {16^{N-k}}{8k+a}}}$.

Complejidad de este método

Para calcular el enésimo dígito de π en base 16 (o el 4n-ésimo dígito en base 2):

Complejidad temporal

• B_n'(a) se calcula en complejidad lineal (O(1))
• A_n'(a) : utilizando el método de la exponenciación binaria, sus términos se calculan en O(log₂(n)). Así la suma de n términos, A_n'(a), se calcula en O(n*log₂(n)).

Así S_n'(a) se calcula en O(1)+O(n*log₂(n))=O(n*log₂(n)). Finalmente, π_n se calcula en 4*O(n*log₂(n))=O(n*log₂(n)).

Por lo tanto el tiempo de cálculo es proporcional a n*log₂(n), es decir, casi lineal.

Complejidad espacial

La complejidad en el uso de memoria es constante, ya que sólo se realizan sumas sucesivas de pequeños números (con una precisión de unos diez decimales es suficiente).

Fórmulas derivadas

Simon Plouffe

Fórmula original : ${\displaystyle \pi \ =\ \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{i}}}\left({\frac {4}{8i+1}}-{\frac {2}{8i+4}}-{\frac {1}{8i+5}}-{\frac {1}{8i+6}}\right)}$

${\displaystyle \forall r\in \mathbb {C} \ \ \ \ \pi \ =\ \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{i}}}\left({\frac {4+8r}{8i+1}}-{\frac {8r}{8i+2}}-{\frac {4r}{8i+3}}-{\frac {2+8i}{8i+4}}-{\frac {1+2r}{8i+5}}-{\frac {1+2r}{8i+6}}+{\frac {r}{8i+7}}\right)}$

${\displaystyle \pi {\sqrt {2}}\ =\ \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{8^{i}}}\left({\frac {4}{6i+1}}+{\frac {1}{6i+2}}+{\frac {1}{6i+3}}\right)}$

${\displaystyle \pi ^{2}\ =\ \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{i}}}\left({\frac {16}{(8i+1)^{2}}}-{\frac {16}{(8i+2)^{2}}}-{\frac {8}{(8i+3)^{2}}}-{\frac {16}{(8i+4)^{2}}}-{\frac {4}{(8i+5)^{2}}}-{\frac {4}{(8i+6)^{2}}}-{\frac {2}{(8i+7))^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \pi ^{2}\ =\ {\frac {9}{8}}\ \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{64^{i}}}\left({\frac {16}{(6i+1)^{2}}}-{\frac {24}{(6i+2)^{2}}}-{\frac {8}{(6i+3)^{2}}}-{\frac {6}{(6i+4)^{2}}}-{\frac {1}{(6i+5)^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \pi ^{2}\ =\ {\frac {2}{27}}\ \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{729^{i}}}\left({\frac {243}{(12i+1)^{2}}}-{\frac {405}{(12i+2)^{2}}}-{\frac {81}{(12i+4)^{2}}}-{\frac {27}{(12i+5)^{2}}}-{\frac {72}{(12i+6)^{2}}}-{\frac {9}{(12i+7)^{2}}}-{\frac {9}{(12i+8)^{2}}}-{\frac {5}{(12i+10)^{2}}}+{\frac {1}{(12i+11)^{2}}}\right)}$

La última fórmula permite hallar dígitos aislados de ${\displaystyle \pi ^{2}}$ en base 3 ó 9.

Viktor Adamchick y Stan Wagon (1997)

${\displaystyle \pi \ =\ \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{4^{i}}}\left({\frac {2}{4i+1}}+{\frac {2}{4i+2}}+{\frac {1}{4i+3}}\right)}$

Fabrice Bellard

${\displaystyle \pi \ =\ {\frac {1}{64}}\ \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{2^{10i}}}\left(-{\frac {32}{4i+1}}-{\frac {1}{4i+3}}+{\frac {256}{10i+1}}-{\frac {64}{10i+3}}-{\frac {4}{10i+5}}-{\frac {4}{10i+7}}+{\frac {1}{10i+9}}\right)}$

Los récords

Para poder comparar, hasta el año 2008 se habían obtenido los primeros 1,241 billones de decimales de π (aproximadamente 4,123 billones de bits).

• 7 de octubre de 1996 (Fabrice Bellard): dígito número 400 mil millones en base 2
• septiembre de 1997 (Fabrice Bellard) : billonésimo dígito en base 2
• febrero de 1999 (Colin Percival) : dígito número 40 billones en base 2
• 2001: dígito número 4000 billones en base 2
• 2011: dígito número 10 billones en base 10

Cálculo del enésimo decimal

Actualmente, no existe ninguna fórmula eficaz para hallar el enésimo decimal de π en base 10. Simon Plouffe ha desarrollado en diciembre de 1996, a partir de una serie muy antigua que calcula π basado en los coeficientes de binomio de Newton, un método para calcular cifras aisladas base 10, pero debido a su complejidad O(n³*log₂(n)) pierde su utilidad en la práctica. Fabrice Bellard ha mejorado el algoritmo para alcanzar un nivel de complejidad en O(n²), pero no es suficiente para competir con los métodos convencionales que calculan todos los decimales.

Anexo: demostración de la fórmula BBP

Se demuestra primero el siguiente resultado general:

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}(8k+n)}}={\sqrt {2}}^{n}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{8k+n}}{8k+n}}}$

${\displaystyle ={\sqrt {2}}^{n}\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {x^{8k+n}}{8k+n}}\right]_{0}^{\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle ={\sqrt {2}}^{n}\sum _{k=0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\frac {1}{\sqrt {2}}}x^{n+8k-1}dx\right)}$

${\displaystyle ={\sqrt {2}}^{n}\int _{0}^{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }x^{n+8k-1}\right)dx}$

${\displaystyle ={\sqrt {2}}^{n}\int _{0}^{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}x^{n-1}\underbrace {\sum _{k=0}^{\infty }\left(x^{8}\right)^{k}} {\bigg )}dx}$

${\displaystyle ={\sqrt {2}}^{n}\int _{0}^{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}x^{n-1}{\frac {1}{1-x^{8}}}{\bigg )}dx}$

por lo tanto: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}(8k+n)}}={\sqrt {2}}^{n}\int _{0}^{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {x^{n-1}}{1-x^{8}}}dx}$

Aplicando este resultado a la fórmula BBP:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)}$

${\displaystyle =4\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}(8k+1)}}-2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}(8k+4)}}-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}(8k+5)}}-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}(8k+6)}}}$

${\displaystyle =4\left({\sqrt {2}}^{1}\int _{0}^{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {x^{1-1}}{1-x^{8}}}dx\right)-2\left({\sqrt {2}}^{4}\int _{0}^{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {x^{4-1}}{1-x^{8}}}dx\right)-\left({\sqrt {2}}^{5}\int _{0}^{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {x^{5-1}}{1-x^{8}}}dx\right)-\left({\sqrt {2}}^{6}\int _{0}^{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {x^{6-1}}{1-x^{8}}}dx\right)}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {4{\sqrt {2}}-8x^{3}-4{\sqrt {2}}x^{4}-8x^{5}}{1-x^{8}}}dx}$

Sustituyendo ${\displaystyle y={\sqrt {2}}x}$:

${\displaystyle =\int _{0}^{1}\left({\frac {4{\sqrt {2}}-{\frac {8}{{\sqrt {2}}^{3}}}y^{3}-{\frac {4{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}^{4}}}y^{4}-{\frac {8}{{\sqrt {2}}^{5}}}y^{5}}{1-{\frac {1}{{\sqrt {2}}^{8}}}y^{8}}}\right){\frac {dy}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle =16\int _{0}^{1}{\frac {4-2y^{3}-y^{4}-y^{5}}{16-y^{8}}}dy}$

${\displaystyle =16\int _{0}^{1}{\frac {y-1}{(y^{2}-2y+2)(y^{2}-2)}}dy}$

Descomponiendo en fracciones simples:

${\displaystyle =\int _{0}^{1}\left({\frac {8-4y}{y^{2}-2y+2}}+{\frac {4y}{y^{2}-2}}\right)dy}$

${\displaystyle =-2\int _{0}^{1}{\frac {2y-2}{y^{2}-2y+2}}dy+4\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+(y-1)^{2}}}dy+2\int _{0}^{1}{\frac {2y}{y^{2}-2}}dy}$

${\displaystyle =-2\left[ln(y^{2}-2y+2)\right]_{0}^{1}+4\left[arctan(y-1)\right]_{0}^{1}+2\left[ln(2-y^{2})\right]_{0}^{1}}$

${\displaystyle =-2\ ln(1)+2\ ln(2)+4\ arctan(0)-4\ arctan(-1)+2\ ln(1)-2\ ln(2)}$

${\displaystyle =4\ arctan(1)}$

${\displaystyle =\ \pi }$

fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\,}$

Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.

Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que zⁿ = 1.

Abraham De Moivre fue amigo de Newton; en 1698 este último escribió que ya conocía dicha fórmula desde 1676.

Obtención

La fórmula de De Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x}$

aplicando leyes de la exponenciación

${\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}.\,}$

Entonces, por la fórmula de Euler,

${\displaystyle e^{i(nx)}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,}$.

Algunos resultados

Partiendo nuevamente de la fórmula de Euler:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x}$

Si hacemos que ${\displaystyle x=\pi }$ entonces tenemos la identidad de Euler:

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +\mathrm {i} \,\sin \pi =-1+0=-1}$

Es decir:

${\displaystyle e^{i\pi }=-1\,}$

Además como tenemos estas dos igualdades:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x\,}$

${\displaystyle e^{-ix}=\cos x-\mathrm {i} \,\sin x\,}$

podemos deducir lo siguiente:

${\displaystyle \cos x=(e^{ix}+e^{-ix})/2\,}$

${\displaystyle \sin x=(e^{ix}-e^{-ix})/2\mathrm {i} \,}$

Demostración por inducción

Consideramos tres casos.

Para un entero n > 0, procedemos a través de la inducción matemática. Cuando n = 1, el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo k. Eso es que asumimos:

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right).\,}$

Ahora, considerando el caso n = k + 1:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\right]\left(\cos x+i\sin x\right)\qquad {\mbox{por la hipótesis de inducción}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\sin \left(kx\right)\sin x+i\left[\cos \left(kx\right)\sin x+\sin \left(kx\right)\cos x\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\sin \left[\left(k+1\right)x\right]\qquad {\mbox{por las identidades trigonométricas}}\end{alignedat}}}$

Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n≥1.

Cuando n = 0 la fórmula es verdadera ya que ${\displaystyle \cos(0x)+i\sin(0x)=1+i0=1}$, y (por convención) ${\displaystyle z^{0}=1}$.

Cuando n < 0, consideramos un entero positivo m tal que n = −m. Por lo tanto:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{-m}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+i\sin x\right)^{m}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+i\sin mx\right)}}\\&=\cos \left(mx\right)-i\sin \left(mx\right)\\&=\cos \left(-mx\right)+i\sin \left(-mx\right)\\&=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\end{alignedat}}}$

Por lo tanto el teorema es verdadero para todos los valores enteros de n.

Generalización

Una representación en el plano complejo de las raíces cúbicas de 1.

La fórmula en realidad es verdadera en un campo mucho más general que el presentado arriba: si z y w son números complejos, entonces

${\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}}$

es una función multivaluada mientras

${\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)\,}$

no lo sea. Por lo tanto se puede asegurar que:

${\displaystyle \cos(wz)+i\sin(wz)\,}$     es un valor de     ${\displaystyle \left(\cos z+i\sin z\right)^{w}\,}$.

Aplicaciones

Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.

${\displaystyle z=r\left(\cos x+i\sin x\right)}$

Si el número complejo está en forma binómica, primero hay que convertirlo a forma polar. (siendo r el módulo)

Potencia

Para obtener la potencia del número complejo se aplica la fórmula:

${\displaystyle z^{n}=\left[r\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)\right]^{n}=r^{n}\left[\cos(nx)+i\sin(nx)\right]}$

Raíces

Para obtener las ${\displaystyle n}$ raíces de un número complejo, se aplica:

${\displaystyle z^{1/n}=\left[r\left(\cos x+i\sin x\right)\right]^{1/n}=r^{1/n}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]}$

donde ${\displaystyle k}$ es un número entero que va desde ${\displaystyle 0}$ hasta ${\displaystyle n-1}$, que al sustituirlo en la fórmula permite obtener las ${\displaystyle n}$ raíces diferentes de ${\displaystyle z}$.