Geometría analítica

la curva (o línea curva) es una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas simples son la elipse o la circunferencia o el óvalo, el cicloide; ejemplos de curvas abiertas, la parábola, la hipérbola y la catenaria y una infinidad de curvas estudiadas en la geometría analítica plana. La recta asume el caso límite de una circunferencia de radio de curvatura infinito y de curvatura 0; además, una recta es la imagen homeomorfa de un intervalo abierto.¹ Todas las curvas tienen dimensión topológica igual a 1. La noción curva, conjuntamente con la de superficie, es uno de los objetos primordiales de la geometría diferencial, ciertamente con profusa aplicación de las herramientas del cálculo diferencial.



Elipse




Una curva algebraica: el Folium de Descartes x3 + y3 − 3axy = 0, a = 1.

Historia y definiciones

Cronología³

Año	Acontecimiento
300 a. C.	Euclides define las secciones cónicas
250 a. C.	Arquímedes investiga las curvas espirales.
225 a. C..	Apolonio de Perge publica Cónicas.
1704	Isaac Newton clasifica las curvas cúbicas.
1890	Giuseppe Peano aplicando la definición de Jordán, demuestra que un cuadrado relleno también es una curva.
Década de 1920	Pável Urysón y Karl Menger definen el concepto de curva a partir de la topología.

Camille Jordan (1838-1922) propuso una teoría sobre las curvas basada en la definición de una curva en términos de puntos variables (ver teorema de la curva de Jordan). En geometría, una curva en el n-espacio euclidiano es un conjunto ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ que es la imagen de un intervalo Ι abierto bajo una aplicación continua ${\displaystyle \mathbf {x} \colon \mathrm {I} \to \mathbb {R} ^{n}}$, i.e:

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{\mathbf {x} (t)\in \mathbb {R} ^{n}\colon t\in \mathrm {I} \}}$

donde suele decirse que (${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathrm {I} }$) es una representación paramétrica o parametrización de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Curva, en el plano o en el espacio tridimensional, es la imagen de un camino γ, que se considera con derivada continua a trozos en el intervalo de definición .⁴

Curva elemental

Un conjunto ${\displaystyle \mathbb {\gamma } }$ de puntos del espacio se denominará curva elemental si es la imagen obtenida en el espacio por una aplicación topológica ⁵de un segmento abierto de recta.⁶

Sea γ una curva elemental y sea a < t < b el segmento abierto del que se obtiene la aplicación f de la curva correspondiente al punto t del segmento. El sistema de igualdades

${\displaystyle x=f_{1}(t),y=f_{2}(t),z=f_{3}(t)}$

constituyen ecuaciones de la curva ${\displaystyle \mathbb {\gamma } }$ en forma paramétrica. ⁶

Curva simple

La curva, según esta definición, pueden ser muy intrincadas, de muy diverso tipo. Con el objetivo de evitar auto intersecciones, puntos singulares y a los extremos, se define el concepto de curva simple como aquella curva tal que para todo punto p existe un Ω entorno abierto de p para el cual ${\displaystyle \Omega \cap {\mathcal {C}}}$ admite una representación de clase ${\displaystyle C^{k}}$ con ${\displaystyle k\geq 1}$.

La definición de Jordan ha sido cuestionada a partir del descubrimiento del italiano Giuseppe Peano. Este matemático demostró en 1890 que un cuadrado relleno entra dentro de la definición de Jordan, pues logró representar todos los puntos del mismo utilizando dicha definición: trazó todos los puntos del cuadrado con una única curva. Pero es claro que un cuadrado no es, en el sentido convencional del término, una curva. Debido a ello, y al descubrimiento posterir de otros casos similares a los de Peano, se ha planteado la necesidad de mejorar la definición de la definición de lo que es, matemáticamente, una curva.³

Un conjunto ${\displaystyle \mathbb {\delta } }$ de puntos del espacio se denominara curva simple si es conjunto conexo y si para todo punto ${\displaystyle W}$ del mismo existe un entorno tal que la parte de ${\displaystyle \mathbb {\delta } }$, comprendida en él, forma una curva elemental.⁶

Curva plana

En un sistema de coordenadas cartesianas se han representado las curvas de algunas raíces, así como de sus potencias, en el intervalo [0,1]. La diagonal, de ecuación y = x, es eje de simetría entre cada curva y la curva de su inversa.

Una curva plana es aquella que reside en un solo plano y puede ser abierta o cerrada. La representación gráfica de una función real de una variable real es una curva plana.⁷

Curva diferenciable

Una curva se llama diferenciable cuando la función ${\displaystyle \mathbf {x} \colon [a,b]\subset \mathrm {I} \to \mathbb {R} ^{n}}$ es diferenciable. Si además la función anterior es inyectiva en el intervalo ${\displaystyle (a,b)\,}$ entonces la curva admite un vector tangente único en cada punto y es rectificable (lo cual significa que su longitud de arco está bien definida y es posible calcular su longitud. La curva ${\displaystyle \mathbf {x} \colon [0,\infty )\to \mathbb {R} ^{n}}$ :

${\displaystyle \mathbf {x} (t)={\begin{cases}(t,t\sin \left({\frac {1}{t}}\right))&t>0\\(0,0)&t=0\end{cases}}}$

es continua pero no diferenciable, por lo que su longitud entre el punto (0,0) y cualquier otro punto de la misma no puede calcularse.

Curva cerrada

Una curva diferenciable es cerrada cuando ${\displaystyle \mathbf {x} \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ cuando ${\displaystyle \mathbf {x} (a)=\mathbf {x} (b)}$. Si además, la función ${\displaystyle \mathbf {x} }$ es inyectiva en el intervalo ${\displaystyle (a,b)\,}$ entonces se dice que la curva es una curva cerrada simple. Una curva cerrada simple es homeomorfa al círculo ${\displaystyle S^{1}}$, es decir, tiene la misma topología de un anillo. La curva ${\displaystyle \mathbf {x} \colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{n}}$ dada por:

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=(a\cos(2\pi t),b\sin(2\pi t))}$

es una curva diferenciable cerrada, de hecho dicha curva resulta ser una elipse de semiejes a y b.

Se llama curva cerrada a aquella curva simple homeomorfa con una circunferencia.⁸ Se llama entorno de un punto W de una curva simple δ la parte común de la curva δ y un entorno espacial del punto W. Por tanto , todo punto de una curva simple posee un entorno que conforma una curva elemental.⁸

Curva suave

Cicloide.

Se le llama curva suave a la curva que no posee puntos angulosos. Un ejemplo puede ser el círculo, la elipse, la parábola, etc. Una curva que no es suave puede ser, por ejemplo, una cicloide.⁹

Formalmente, dada una curva C representada por la ecuación paramétrica:

${\displaystyle {\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}}}$

en un intervalo I cualquiera, es suave si sus derivadas son continuas en el intervalo I y no son simultáneamente nulas, excepto posiblemente en los puntos terminales del intervalo.

Suave por partes

Una curva C es suave por partes si es suave en todo intervalo de alguna partición de I, es decir que el intervalo puede dividirse en un número finito de subintervalos, en cada uno de los cuales C es suave.

Geometría diferencial de curvas en R³

La geometría diferencial de curvas propone definiciones y métodos para analizar curvas simples en el espacio euclídeo tridimensional o, más generalmente, curvas contenidas en variedades de Riemann. En particular, en el espacio euclídeo tridimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, una curva de la que se conoce un punto de paso y el vector tangente en dicho punto, queda totalmente descrita por su curvatura y torsión. Esta curvatura y torsión pueden estudiarse mediante el llamado triedro de Frênet-Serret, que se explica a continuación.

Vectores tangente, normal y binormal

Vista esquemática del vector tangente (azul), vector normal (verde) y vector binormal (rojo) de una curva hélice.

Dada una curva parametrizada r(t) según un parámetro cualquiera t se define el llamado vector tangente, binormal y normal como:

${\displaystyle \mathbf {t} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{\left\Vert \mathbf {r} '(t)\right\|}}}$

${\displaystyle \mathbf {b} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)}{\left\Vert \mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\right\|}}}$

${\displaystyle \mathbf {n} (t)=\mathbf {b} (t)\times \mathbf {t} (t)}$

Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos configuran un sistema de referencia móvil conocido como triedro de Frênet-Serret. Es interesante que para una partícula física desplazándose en el espacio, el vector tangente es paralelo a la velocidad, mientras que el vector normal da el cambio dirección por unidad de tiempo de la velocidad o aceleración normal.

Curvas no diferenciables

Porción de una curva de Koch, la extrema rugosidad que presenta hace que su dimensión fractal sea 1,261... > 1. Aunque como curva su dimensión topológica sigue siendo 1.

Cuando la función que define la curva es diferenciable se dice que la curva es diferenciable. Una curva diferenciable tiene la propiedad de admitir una recta tangente en cada uno de sus puntos. Una curva con un número finito de puntos donde no es diferenciable es una curva diferenciable a tramos. Cuando el número de puntos no es finito puede darse el caso de una curva continua no sea rectificable en ningún punto, eso significa que la tangente no puede definirse en ningún punto. En esos casos la longitud de la curva no es un número finito y puede darse el caso que la curva tenga una longitud infinita aun cuando ocupe una región finita del espacio. La curva de Koch es un ejemplo de curva no rectificable de longitud infinita, que encierra un área finita. De hecho esta curva es un objeto fractal de dimensión fractal:

${\displaystyle D_{f}={\frac {\ln 4}{\ln 3}}\approx 1,26186\dots }$

analema (del griego ἀνάλημμα "pedestal de un reloj de sol") es la curva que describe la posición del Sol en el cielo si todos los días del año se lo observa a la misma hora del día (tiempo civil) y desde el mismo lugar de observación. El analema forma una curva que suele ser, aproximadamente, una forma de ocho (8) o lemniscata. Pueden observarse analemas en otros planetas del Sistema Solar, pero poseen una forma diferente al observado en la Tierra, pudiendo llegar a ser curvas diferentes de un ocho (en Marte es muy similar a una gota de agua), aunque poseen como característica común ser siempre cerradas. El componente axial del analema muestra la declinación del Sol mientras que la componente transversal ofrece información acerca de la ecuación de tiempo (que es la diferencia entre el tiempo solar aparente y el tiempo solar medio). A veces, se dibuja en los globos terráqueos.

Observación de analemas

Astrofotografía

Vídeo del primer analema registrado en Marte.

Es posible obtener un analema poniendo una cámara fotográfica fija (mediante un trípode) apuntando a una posición dada en el cielo (a ser posible un punto de la eclíptica) y cuando pase el Sol por el centro sacar una foto; tras 24 horas se repite la operación, sobre imprimiendo la foto del día anterior, y se repite el procedimiento para cada día del año. De esta forma se obtiene una foto con una especie de 8 que representa un analema. Los analemas son un sujeto importante de la astrofotografía.¹ Una imagen que incluye un eclipse total de sol en una de sus imágenes se denomina Tutulema²

Proyección gnomónica

Ejemplo de diseño de reloj con el trazado del sistema horario civil; se puede ver cómo cada una de las horas representa un analema.

Otra forma más sencilla es empleando una vara o estaca clavada en el suelo, sobre una superficie con la que se pueda hacer marcas estables a lo largo de un intervalo de tiempo de un año. La estaca tendrá una cierta altura h y su extremo arrojará una sombra que acaba en un extremo; si se toma a una cierta hora la posición de la sombra, y se repite cada 24 horas la misma operación, se obtendrá la proyección gnomónica del analema para ese instante. Esta proyección permite crear un tipo de relojes solares denominado reloj solar de tiempo civil, donde las líneas rectas de la escala se convierten en "ochos" para cada hora de tiempo civil.³

Proyección estereográfica

Una variante de esta forma de representar un analema es representándola en el cristal de una ventana (por ejemplo), fijado un punto de observación marcar cada 24 horas la posición del Sol vista desde el punto de observación ya prefijado el primer día y repetir la operación cada 24 horas. El resultado es una analema proyectada estereográficamente sobre la ventana.

Etimología

La palabra "analemma" procede del griego para indicar el pedestal de un reloj de sol, y proviene del verbo griego "analambanein", que significa "llevar, reanudar, reparar". El analema es el pedestal que soporta al reloj de sol. Antiguamente la palabra "analema" aparece en ciertos tratados de gnomónica relacionada con la forma especial de construir un reloj de sol, abatiendo las circunferencias notables de tal forma que se tiene una proyección ortográfica sobre el plano del reloj.⁴ Para los antiguos (hasta bien entrado el siglo XVIII) la palabra analema significaba el procedimiento de construcción geométrica de relojes de sol; este método fue demostrado geométricamente y revisado completamente por el matemático alemán Christoph Clavius, 1537-1612,⁵ Posteriormente este concepto fue cambiando a lo largo de la historia hasta el concepto con el que se entiende hoy en día.⁶

Historia

Analema de Vitrubio, tal y como lo describe en el Libro IX de su "Re architectura".

Ya en la Edad Media la necesidad de determinar el instante del equinocio para determinar los primeros analemas, que se calcularon por Paolo del Pozzo Toscanelli en el año 1475, se empleó el diseño de una de las primeras meridianas capaces de proporcionar con gran precisión no sólo el evento del mediodía, sino también la época del año. Esta meridiana fue construida en la catedral de Santa María del Fiore, Florencia, Italia.⁷ La meridiana se construyó sobre el suelo en forma de una tira de mármol de gran longitud y en una pared meridional se practicó un agujero que permitiera pasar un 'punto' luminoso sobre la tira de mármol indicando en una escala la fecha del año. El método de construcción de estas meridianas fue mediante un procedimiento geométrico antiguo denominado "analema".

Los avances mecánicos del siglo XVIII hicieron que los relojes mecánicos fueran cada vez más precisos, y con la llegada de los relojes de péndulo fue posible medir minutos de tiempo con gran precisión. En este instante se empezó a percibir la diferencia entre la hora solar (medida por los relojes solares) y el tiempo civil (medida por las regulares maquinarias de los relojes mecánicos), la que está dada por la ecuación de tiempo. Es posible que fuera por esta fecha cuando la palabra analema se fuera confundiendo poco a poco del procedimiento de la gnomónica a la representación en el espacio de la figura.

Características

Tres parámetros orbitales afectan la forma y el tamaño del analema: la oblicuidad (23.45°), la excentricidad, y el ángulo del equinoccio con respecto del periápside.